专题05 第6章 两个计数原理及排列组合（3考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选择性必修第二册）

清单05 第6章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 【答案】120 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤： 第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法； 第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法； 第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法； 而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位. 故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有个. 故答案为：120. 【变式1-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分类加法计数原理 【分析】先分类再分步计数即可. 【详解】男女生相间，则分两类排法：“男女男女男女”与“女男女男女男”，且两类排法数相同. 每类排法都可以分两个步骤： 第一步，先排男生，从5名男同学中选3位排在男生位置上，有种方法； 第二步，再排女生，从6名女同学中选3位排在女生位置上，有种方法； 由分步计数原理可得，有种排法. 故两类共有种排法. 故选：A. 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到盒子标号与球号均不同的一种放法，可分三个步骤： 第一步，先放1号球，从标号2、3、4的3个盒子中任选一个放入，有3种放法； 第二步，再放与1号球放入的盒子标号相同的球，有3种放法， 例如，第一步中1号球放入2号盒子；第二步则放2号球，可从1、3、4号盒子中任选一个放入； 第三步，最后放余下两球，只有1种放法. 由乘法原理得，不同的放法有种. 故选：B. 【变式1-3】.（24-25高二上·上海·期末）乘积 (其中)的展开式中共有 项． 【答案】12 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】从中取一项共有3种不同取法，从中取一项有4种不同取法， 由分步乘法计数原理知，该展开式共 (项). 故答案为：12. 【变式1-4】.（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【知识点】数字排列问题 【分析】通过个位数字是0和2，两类情况讨论即可求解； 【详解】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算（） 【例2】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）；（2） 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 【变式2-1】.（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数公式的性质列式求解． 【详解】由， 得，或， 解得：或 故答案为： 【变式2-2】.（24-25高二下·上海·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】（1）由排列组合公式求解即可； （2）由排列组合公式求解即可； 【详解】（1）解：由， 可得, 所以， 解得； （2）解：由， 可得， 化简得， 解得或， 由题意可知， 所以. 【变式2-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】用排列数公式证明、排列数方程和不等式 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. （2） ， 因此，. 【变式2-4】.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列数和组合数的性质依次计算即可求解. 【详解】（1）原方程等价于， 整理得，解得或， 又，所以. （2）原不等式等价于， 即，解得， 又且， 所以原不等式的解集为. 【考点题型三】相邻与不相邻问题（） 【例3】（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【答案】3600 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 【变式3-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 【答案】A 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】运用捆绑法，结合排列定义进行求解即可. 【详解】把甲、乙捆绑在一起，相当于一个人，再与剩下的五人一起全排列， 所以不同的安排方案共有种， 故选：A 【变式3-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用插空法进行求解, 【详解】先安排6个歌唱节目，共有4个空，再将4个舞蹈节目进行插空，故有种排法. 故选：B 【变式3-3】.（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 【变式3-4】.（24-25高二上·上海·阶段练习）行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】由相邻的问题采用捆绑法计算即可. 【详解】将陈老师和姜老师捆绑到一起有种方法， 然后把他们看成一个大元素与剩下的名老师排成一排共有种方法， 则总共有种方法. 故答案为： 【考点题型四】分组与分配问题（） 【例4】（23-24高二上·上海·阶段练习）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有 种. 【答案】150 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】分类讨论一种灯谜印在3个灯笼上及3款灯谜分别印在2个，2个和1个灯笼上的种数，相加即可得. 【详解】①有一种灯谜印在3个灯笼上，有种方法， ②3款灯谜分别印在2个，2个和1个灯笼上，有， 共有种方案. 故答案为：150. 【变式4-1】.（23-24高二下·上海·阶段练习）将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分组分配问题 【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可. 【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小2， 则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数， 所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是， 则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：； 甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中， 此时不同的分组方法数为：； 所以不同的分组方法数为：. 故选：B. 【变式4-2】.（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有 种. 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】分两步，先将书分成3组，再全排列分给三个同学. 【详解】根据题意，分2步进行分析 将4本书分成3组，有1组两本，两组一本，有种分法， 将分好的三组全排列，对应3名学生，有种情况， 则不同的分配方法有种. 故答案为： 【变式4-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为 种． 【答案】36 【知识点】分组分配问题 【分析】4人按照进行分组，利用部分平均分组公式，结合排列组合知识得到答案. 【详解】4位学生分管三项不同的工作，故只能为， 故共有这4位学生干部不同的分管方案种数为种方案数. 故答案为：36 【变式4-4】.（24-25高三·上海·随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老．某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是 种． 【答案】50 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配列式计算即得. 【详解】6名学生分成两组，要求每组不少于2人，则分组情况有两类： 第一类，一组2人一组4人，不同的分配方案为种； 第二类，每组3人，不同的分配方案为种， 所以不同的分配方案共有50种． 故答案为：50 【考点题型五】数字排列问题（） 【例5】（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)能被15整除； (4)比35142小； (5)比50000小且不是5的倍数． 【答案】(1)288 (2)216 (3)66 (4)347 (5)288 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、分类加法计数原理 【分析】转化条件，进行分类与分步计数可得. 【详解】（1）得到一个五位奇数，可以分3步： 第一步，定个位数，从1、3、5中任选一个，有3种方法； 第二步，定首位，从余下除0外的4个数中任选一个，有4种方法； 第三步，定其余位数，从余下4个数中任选3个按序排上，有种方法. 由分步计数原理得，共有个这样的五位数. （2）被5整除且无重复数字的五位数，个数上的数有2类情况： 第一类，当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个； 第二类，当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数， 由分类计算原理共有个这样的五位数． （3）得到一个能被15整除的五位数，个位数字是0或5，且各个位上的数字之和能被3整除， 因为被3整除， 则不取的一个数字为0或3，其余数字之和才被3整除，故分2类： 第一类，不取0，其余数字为1、2、3、4、5， 个位数一定是， 则余下4 个数字全排列，共种排法； 第二类，不取3，其余数字为0、1、2、4、5， 当个位数为0时，则余下4 个数字全排列，共种排法； 当个位数为5时，则先排首位有除0外的3种方法，再排其余位置，有种排法， 则有种排法； 故由分类计数原理得，共个能被15整除的五位数. （4）得到比35142小的一个五位数，可分4类： 第一类，首位比3小的，即首位为1或2， 其余位置从5个中任选4个排列，有个， 第二类，首位是3，千位比5小的，即千位为1、2、3、4任选1个， 其余位置从4个数中任选3个排列，有个， 第三类，当首位为3千位为5，且百位比1小的，即百位为0， 从余下3数中任选2个按序排在个位与十位，则有个， 第四类，当首位为3千位为5百位为1， 满足题意的数有35140,35124,35120,35102,35104,共5个， 由分类计数原理，所以共有个这样的五位数． （5）比50000小且不是5的倍数的五位数，个位不是0与5，首位只能是1、2、3、4，即个位与首位都不取0与5，可分2步： 第一步，定首位与个位，从1、2、3、4中任取2个按序排列，有种方法； 第二步，定其余3位，从余下4个数中任选2个按序排列，有种方法. 由分步计数原理得，共有个这样的五位数. 【变式5-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）从1、2、3、4、5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有（    ） A．9个 B．15个 C．42个 D．51个 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题 【分析】先不考虑条件，任取三个组成无重复数字的三位数，再排除其中同时有2和3，且3在2前边的情况求解. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数共有个， 当三个数字中有2和3时，3在2的前面（不一定相邻）有个， 所以这样的三位数有个. 故选：D. 【变式5-2】.（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 【答案】 【知识点】数字排列问题、全排列问题 【分析】分析可知，个位数有种选择，将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，个位数有种选择， 将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上， 由分步乘法计数原理可知，奇数的个数为个. 故答案为：. 【变式5-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为 ． 【答案】137 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可. 【详解】由题意知，集合中且至多只有一个元素不是5的倍数，其余均是5的倍数． 首先讨论三位数中的5的倍数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位为5时，则百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法原理，这样的5的倍数有个， 最后，再加上单独的不是5的倍数的数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：137． 【变式5-4】.（25-26高三上·上海·单元测试）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个符合下列要求的无重复数字？ (1)五位奇数； (2)能被5整除的五位数. 【答案】(1)288 (2)216 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）根据题意，首先分析末尾数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，再选3个数字，排在中间，有种排法，由分步计数原理，计算可得答案； （2）分两类，当末尾数字是0时，当末尾数字是5时，根据分类计数原理可得． 【详解】（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有种取法，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法，则五位奇数共有（个 （2）被5整除即末尾是0或5，当末尾数字是0时，有种， 当末尾数字是5时，首位数字不能为0，有种取法，再选3个数字，排在中间，有种排法，共可组成种符合题意的五位数， 根据分类计数原理个． 【考点题型六】涂色问题（） 【例6】（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】涂色问题 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域A，有5种颜色可选， ②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;     ③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选; ④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择, 则不同的涂色方案有种; 故选：B 【变式6-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 【变式6-2】.（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）      A．180种 B．192种 C．300种 D．420种 【答案】D 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择， 若区域与区域同色，此时区域有种选择， 若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择， 故有种涂色方法. 故选：D 【变式6-3】.（2024高三·上海·专题练习）如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 种． 【答案】480 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得； 【详解】解：依题意，首先染A区域有种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有种方法 故答案为： 【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题. 【考点题型七】隔板法（） 【例7】（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）把20个相同的小球放到三个编号为1､2､3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 种放法． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法， 即有个不同的符合题意的放法； 故答案为：． 【变式7-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答） 【答案】15 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】因为名额之间无差别，故采用隔板法即可求解. 【详解】7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额， 采用隔板法可知，即从6个空中插入2个隔板， 共有种不同分法， 故答案为：15. 【变式7-2】.（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 【答案】126 【知识点】排列组合综合 【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法. 【详解】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种. 故答案为：126. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有 不同的结果. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意每个运动项目的冠军均有种可能， 所以个运动项目的冠军奖杯的归属有种不同的结果. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 【答案】81 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种. 故答案为：81 3．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 【答案】260 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）从中选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有 个． 【答案】180 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、分类加法计数原理 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，运算分类计数原理进行求解即可. 【详解】以连续三个数构成等差数列有个， 以相隔一个数的3个连续数所构成的等差数列共有个， 以相隔两个数的3个连续数所构成的等差数列共有个，， 所以这样的等差数列最多有个， 故答案为：180 5．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为 . 【答案】 【知识点】写出基本事件 【详解】由已知，一一列举出所有情况，再找出符合条件的情况，作答即可. 【解答】从2，3，8，12中任取两个不同的数字组成的样本点一共有个， 即，，，，，， ，，，，，， 其中为有理数的有，，，，有4种， 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【答案】 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先将七个字全排列，再除以2即可. 【详解】先将七个字进行排列，有种选择， 由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次， 所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义). 故答案为： 7．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有 种. 【答案】 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列. 【详解】首先从四位家长中选三人有种方法， 然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法， 根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【答案】70 【知识点】排列组合综合 【分析】利用插空排列的方法求解. 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩为，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 . 【答案】15 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】先分为与两种情况，然后分别计算不同情况的种数，然后两种情况种数相加即可. 【详解】从所给的5个成绩中，任意选出4个的一个组合， 即可得到四位同学的考试成绩按排列的一个可能情况，故方法有种. 从所给的5个成绩中，任意选出3个的一个组合， 即可得到四位同学的考试成绩按排列的一个可能，故方法有种. 综上可得，满足的这四位同学的考试成绩的所有可能情况共有种. 故答案为：15 10．（24-25高三·上海·课堂例题） ． 【答案】230300 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质计算即得. 【详解】 . 故答案为：230300 二、单选题 11．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题，结合不相邻问题和特殊元素（位置）逐项分析计算得解. 【详解】对A选项：满足条件的摆法有：，故A选项内容正确； 对B选项：满足条件的摆法有：，故B选项内容错误； 对C选项：满足条件的摆法有：，故C选项内容正确； 对D选项：：满足条件的摆法有：，故D选项内容正确. 故选：B 12．（24-25高二上·上海·假期作业）从集合中，选出个数组成的子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先找出和为的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案. 【详解】将和为的数分组：共5组， 只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集. 故选：B 三、解答题 13．（25-26高二上·上海·单元测试）（1）从数字1、2、3、4、5中任取两个数，求这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率； （2）将数字1、2、3、4、5排成一排，求4、5两个数字之间恰有1个数字的概率． 【答案】（1）；（2） 【知识点】计算古典概型问题的概率、相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）分别写出样本空间和事件中的基本事件，由古典概型概率计算公式得到答案； （2）由5个数字全排列得到，利用分步乘法计数原理，分成3步，计算得到，由古典概型概率计算公式得到答案. 【详解】（1）样本空间， 设“这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍”为事件， 则，则，，， 所以，这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为. （2）将5个数字排成一排，， 设“4、5两个数字之间恰有1个数字”为事件， 先选择1个数字放在4、5之间，有3种；再考虑4和5的顺序，有种； 这三个数组成一个整体后，与剩余的两个数字排序，有种， 根据分步乘法计数原理， ，所以4、5两个数字之间恰有1个数字的概率为. 14．（23-24高二下·上海·期末）从0，1，2，3，4，5中选三个数字，组成无重复数字的三位整数，求分别满足下列的数有多少个？ (1)三位奇数； (2)比351大的三位数. 【答案】(1)48 (2)42 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可； （2）分三类：即百位和十位分别是3和5，百位为4，和百位为5，得出结果即可. 【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，3，5中选1个数字，有3种方法； 第2步，排百位，从剩下的5个数字中去掉0选1个，有4种方法． 第3步，排十位，从剩下的4个数字中选1个，有4种方法； 依据分步乘法计数原理， 共有个满足要求的三位奇数． （2）分三个步骤完成： 第1类，百位和十位分别是3和5，则个位有2种方法； 第2类，百位为4，有种方法； 第3类，百位为5，有种方法； 故共有个比351大的三位数． 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目 (1)甲不在最左边乙不在最右边 (2)男生必须排在一起 【答案】(1)3720 (2)720 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】 （1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解. 【详解】（1） 依题意，先排最左边，除去甲外，有种， 余下的6个位置全排有种 但应剔除其中乙在最右边的排法数共种 则符合条件的排法共有种 （2） 将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法 再与其他元素进行全排列，有种排法 故共有种 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (2)将4封标有序号的信放到四个标有的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1)1800 (2)8 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法，进而可得； （2）以组的序号相同分析，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，进而可得. 【详解】（1）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法． 故共有种放法； （2）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，同理可知其它序号相同时各有2种选择， 故共有种放法． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第6章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 【变式1-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）将标有1、2、3、4的四个球放到标号为1、2、3、4的四个盒子里，每只盒子放一个球，则盒子的标号与球号均不相同的放法种数为（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【变式1-3】.（24-25高二上·上海·期末）乘积 (其中)的展开式中共有 项． 【变式1-4】.（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算（） 【例2】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式； （2）解方程. 【变式2-1】.（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【变式2-2】.（24-25高二下·上海·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 【变式2-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 【变式2-4】.（24-25高二上·上海松江·阶段练习）（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 【考点题型三】相邻与不相邻问题（） 【例3】（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【变式3-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 【变式3-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【变式3-4】.（24-25高二上·上海·阶段练习）行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【考点题型四】分组与分配问题（） 【例4】（23-24高二上·上海·阶段练习）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有 种. 【变式4-1】.（23-24高二下·上海·阶段练习）将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有 种. 【变式4-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为 种． 【变式4-4】.（24-25高三·上海·随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老．某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是 种． 【考点题型五】数字排列问题（） 【例5】（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)能被15整除； (4)比35142小； (5)比50000小且不是5的倍数． 【变式5-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）从1、2、3、4、5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有（    ） A．9个 B．15个 C．42个 D．51个 【变式5-2】.（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 【变式5-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为 ． 【变式5-4】.（25-26高三上·上海·单元测试）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个符合下列要求的无重复数字？ (1)五位奇数； (2)能被5整除的五位数. 【考点题型六】涂色问题（） 【例6】（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【变式6-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【变式6-2】.（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）      A．180种 B．192种 C．300种 D．420种 【变式6-3】.（2024高三·上海·专题练习）如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 种． 【考点题型七】隔板法（） 【例7】（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）把20个相同的小球放到三个编号为1､2､3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 种放法． 【变式7-1】.（22-23高二下·上海浦东新·期中）7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答） 【变式7-2】.（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有 不同的结果. 2．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 4．（24-25高三·上海·课堂例题）从中选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有 个． 5．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为 . 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 7．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有 种. 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩为，且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 . 二、单选题 11．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）某手机专卖店新进，，，，，，这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种 B．若，，彼此不相邻，，，，也彼此不相邻，则不同的摆法有72种 C．若，，彼此不相邻，则不同的摆法有1440种 D．若不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种 12．（24-25高二上·上海·假期作业）从集合中，选出个数组成的子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 13．（25-26高二上·上海·单元测试）（1）从数字1、2、3、4、5中任取两个数，求这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率； （2）将数字1、2、3、4、5排成一排，求4、5两个数字之间恰有1个数字的概率． 14．（23-24高二下·上海·期末）从0，1，2，3，4，5中选三个数字，组成无重复数字的三位整数，求分别满足下列的数有多少个？ (1)三位奇数； (2)比351大的三位数. 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分别求不同排列方法的数目 (1)甲不在最左边乙不在最右边 (2)男生必须排在一起 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (2)将4封标有序号的信放到四个标有的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$