第二章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·强化卷）高一数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【详解】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 2．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由向量共线基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，则，解得. 故选：A 3．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，即与的夹角为. 故选：B. 4．在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：B    5．已知中，，，，则下列结论正确的有（    ） A．为锐角三角形 B．面积为 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用正弦定理可判断C选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，最大，则， 因为，则，故为钝角三角形，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，C错； 对于D选项，由平面向量数量积的定义可得，D错. 故选：B. 6．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，即可求出. 【详解】由正弦定理，即，所以， 又，所以，所以或； 当时，当时， 所以 或. 故选：D 7．如图，在中，为边的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得. 【详解】为的中点，， ． 故选：D. 8．中，，，，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量积的运算，可得时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，设，则，则，即可得最小值， 【详解】由题意知，向量，且， 可得点D在边BC上，， 所以，则，即， 所以时以C为直角的直角三角形． 如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及其应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，求得时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标分别求出向量的模，数量积，以及利用坐标判断向量的平行和垂直关系． 【详解】 ,故选项A错误； ，故选项B错误； 故选项C错误； 故． 故选：D 10．在中，有如下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．内一点G满足，则G是的重心 C．若，则的形状为等腰三角形 D．内一点P满足，则 【答案】BD 【分析】根据向量的数量积运算公式和线性运算公式化简向量关系式判断各选项即可. 【详解】由可得，所以，由此仅可得为锐角，但可能为钝角三角形，A错， 设的中点为，由可得，所以，所以G是的重心,B对， 由可得，所以，由此可得的形状为直角三角形，C错， 由可得，即，故，D对， 故选：BD. 11．正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（    ） A．向量，夹角的余弦值是 B．若，则 C．若，则 D．若，非零向量，则的最小值为 【答案】AD 【分析】选项A可以通过图形分析；选项B可以通过向量的基底运算求以及求的值；选项C可以利用选项B中的结论计算；选项D中可以通过表示出，然后两边同时平方计算出，发现可以表示成关于的二次函数，从而求出的最小值 【详解】因为O，A，B，C是该正六角星的顶点，所以，即向量，夹角的余弦值是，故A正确； 因为 ，则若， ，故B错误； 因为 ，故C错误； 因为，所以 ，令，所以，即当时， 所以的最小值为，故D正确 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 【答案】 【分析】根据向量共线定理得存在实数，使得，再结合不共线得，最后解方程即可得答案. 【详解】因为，，， 所以，存在实数，使得，即， 因为向量不共线， 所以，解得. 13．已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】设的中点为，连接，，由为的重心可得，由于为的外心，过点作，垂足为，可得，同理可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接，， 由于为的重心，则一定在线段上，且， 所以， 由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 14．已知锐角的内角的对边分别为．若向量，，且，，则角______；的面积的取值范围为______． 【答案】 【分析】由坐标表示出向量平行的条件，利用正弦定理化角为边，交由余弦定理求得角，再由正弦定理把用表示，用三角形的面积公式求得面积，利用正切函数性质得范围． 【详解】由可知，， 由正弦定理得即， ∴，又，∴， 又由正弦定理，得 ∴，是锐角三角形，∴， ∴，，，故的面积的取值范围为．                   故答案为：；． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，. （1）若，其中，求的坐标； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，结合已知条件，解得即可； （2）先求，再求，化简计算即可. 【详解】（1）设， ，①，且，若，得，②， 联立①②，解得，，即. （2） ， ，且，若与的夹角为， ， . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题． 16．设、、分别是的内角、、的对边．已知，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由求得角的值，由正弦定理求出的值，再由大边对大角定理可求得角的值； （2）利用余弦定理求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积． 【详解】（1），且，所以， 由正弦定理可得，所以， ，，因此，； （2）由余弦定理可得， 可得，，解得， 所以. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 17．已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由得，再根据夹角公式计算即可； （2）根据向量模的计算公式计算即可； （3）根据共线向量定理求解即可. 【详解】（1）∵，∴，，， 设向量与的夹角为，则，又∵ ∴． （2）由向量模的计算公式得：． （3）∵，∴，∴， ∴，解得． 【点睛】本题考查向量的夹角，模，及共线向量基本定理等知识，考查运算能力，是基础题. 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质可得，解得即可求解. （2）利用余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）由和正弦定理得 ， ． 因为， 所以． 因为，所以， 所以，． （2）因为，，所以 由余弦定理可得， 所以 所以，的面积为． 19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【详解】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面向量及其应用单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 2．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知中，，，，则下列结论正确的有（    ） A．为锐角三角形 B．面积为 C． D． 6．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，在中，为边的中点，，则（   ） A． B． C． D． 8．中，，，，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，有如下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．内一点G满足，则G是的重心 C．若，则的形状为等腰三角形 D．内一点P满足，则 11．正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（    ） A．向量，夹角的余弦值是 B．若，则 C．若，则 D．若，非零向量，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 13．已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 14．已知锐角的内角的对边分别为．若向量，，且，，则角______；的面积的取值范围为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，. （1）若，其中，求的坐标； （2）若与的夹角为，求的值. 16．设、、分别是的内角、、的对边．已知，． （1）若，求； （2）若，求的面积． 17．已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量，，，求的值． 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，的周长为，求的面积． 19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $