专题03 一元二次方程（4知识&5题型&3易错）（期中复习知识清单）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题03 一元二次方程（4知识&5题型&3易错） 【清单01】一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【清单02】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 3.配方法解一元二次方程一般步骤 1 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 2 移项：把常数项移到方程右边； 3 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； 4 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 4.用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 5.因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，．那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【清单04】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【题型一】认识一元二次方程 【例1-1】（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【例1-3】（24-25九年级上·福建·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例1-4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 【变式1-2】（24-25九年级上·四川巴中·期中）若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【变式1-4】（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【题型二】解一元二次方程 【例2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【例2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程： 【例2-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【例2-4】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 【变式2-3】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【题型三】一元二次方程根的判别式的应用 【例3】（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【变式3-1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4-1】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【例4-2】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【例4-3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【变式4-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【变式4-4】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【题型五】一元二次方程的应用 【例5-1】（传播问题）（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【例5-3】（数字问题）（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【例5-4】（营销问题）（24-25九年级上·重庆·期中）学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． (1)求第一批购入A、B两款读物的数量； (2)今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 【例5-5】（工程与增长率问题）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【例5-6】（行程问题）（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【例5-7】（握手、循环赛问题）（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【例5-8】（与图形有关问题）（24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【例5-9】（动态几何问题）（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【变式5-1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【变式5-4】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【变式5-5】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【变式5-6】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【变式5-7】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【题型一】错用平方根的定义而漏解 1.（23-24九年级上·河北保定·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） 原方程           甲                乙                          丙            丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2.（22-23九年级上·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型二】解一元二次方程常见错误 3.（在系数化为1时，忘记常数项）（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 4.（方程两边都加上一次项系数一半的平方，忘记右边）（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 5．（用因式分解法时，去括号忘记变号）（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 6.（用因式分解法和公式法时出错）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【题型三】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 7.在学习一元二次方程的根与系数关系一课时，老师出示了这样一个问题：已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，求m的值．某同学的解答如下框：请判断该同学的解答是否完整？若完整，请在框内打“√”；若不完整，请你把解答过程补充完整． 由题意得：，， ， ∴，解得：或， ∴m的值为7或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（4知识&5题型&3易错） 【清单01】一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【清单02】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 3.配方法解一元二次方程一般步骤 1 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 2 移项：把常数项移到方程右边； 3 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； 4 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 4.用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 5.因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，．那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【清单04】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【题型一】认识一元二次方程 【例1-1】（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 【例1-2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 【例1-3】（24-25九年级上·福建·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例1-4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 【变式1-1】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 【答案】B 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 【变式1-2】（24-25九年级上·四川巴中·期中）若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25九年级上·吉林·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：由条件可知：， ． 故答案为：． 【题型二】解一元二次方程 【例2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）用适当方法解方程： 【答案】 【详解】解： ， ， ∴． 【例2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ∴． 【例2-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 则 ∴ ∴ ∴； （2） 整理得到， 则 ∴ ∴ ∴ 【例2-4】（24-25九年级上·甘肃武威·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 移项得， ， 即：， 则或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）用合适的方法解方程：． 【答案】． 【详解】解：， ， ∴，． 【变式2-2】（24-25九年级上·全国·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得． 【变式2-3】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 【题型三】一元二次方程根的判别式的应用 【例3】（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 【变式3-1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【详解】（1）解：， 整理得：， ， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 矩形的对角线长度大于边长， 为对角线，， 解得：， 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 【题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4-1】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 【例4-2】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 【例4-3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 【变式4-1】（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 【变式4-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 【变式4-4】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 【题型五】一元二次方程的应用 【例5-1】（传播问题）（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【例5-3】（数字问题）（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 【例5-4】（营销问题）（24-25九年级上·重庆·期中）学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． (1)求第一批购入A、B两款读物的数量； (2)今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 【详解】（1）解：设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，根据题意，得 ， 解这个方程，得， ∴． 答：第一批购入A款读物1500本，B款读物300本； （2）解：设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，根据题意，得： ， 化简，得， 解这个方程，得（不符合题意，舍去）． 答：A款读物的单价上涨了15元． 【例5-5】（工程与增长率问题）（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【例5-6】（行程问题）（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【例5-7】（握手、循环赛问题）（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 【例5-8】（与图形有关问题）（24-25九年级上·河南郑州·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 【例5-9】（动态几何问题）（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 【变式5-1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【详解】解：设多种x棵树， 则， 整理得：， 解得， 答：应多种5棵桃树． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 【变式5-4】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 【变式5-5】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 【变式5-6】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 【变式5-7】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 【题型一】错用平方根的定义而漏解 1.（23-24九年级上·河北保定·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） 原方程           甲                乙                          丙            丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，或， ∴丁错误， 故选：D． 2.（22-23九年级上·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：对于丙的化简，应该是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方， 应该为，即 故选C 【题型二】解一元二次方程常见错误 3.（在系数化为1时，忘记常数项）（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 【详解】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 4.（方程两边都加上一次项系数一半的平方，忘记右边）（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ (1)小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） (2)请利用配方法正确解方程． 【详解】（1）解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解： ． 5．（用因式分解法时，去括号忘记变号）（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 【详解】任务一： ①移项； ②二，去括号时，没有变号； 故答案为：移项，二，去括号时没有变号； 任务二： 则或 解得：， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 6.（用因式分解法和公式法时出错）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 【题型三】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 7.在学习一元二次方程的根与系数关系一课时，老师出示了这样一个问题：已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，求m的值．某同学的解答如下框：请判断该同学的解答是否完整？若完整，请在框内打“√”；若不完整，请你把解答过程补充完整． 由题意得：，， ， ∴，解得：或， ∴m的值为7或． 【详解】解：该同学的解法不正确． 正确解法为： ∵有两个实数根， 设原方程的两个实数根为a、b，则，， ， ， 又， ， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $