精品解析： 天津市静海区团泊学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年天津市静海区团泊学校八年级（下）第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 在，，中与可以合并的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：，与可以合并， ，与可以合并； ，与不可以合并； 则与可以合并的个数有2个． 故选：C． 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：两个较小数的平方和等于最大数的平方的整数叫勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：、因为，所以是勾股数； 、因为不是整数，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 故选：A． 5. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 6. 如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形中位线定理推出，由线段的中点定义得到，于是得到的周长． 【详解】解：为的中位线， ， 、分别是和的中点， ， 的周长． 7. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可． 【详解】A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形； B、∵，∴，故能判定△ABC是直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=，故不能判定△ABC是直角三角形； D、∵，故能判定△ABC是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 8. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9. 下列命题的逆命题中，真命题有（ ） 全等三角形的对应角相等； 如果，那么； 两直线平行，同位角相等； 等腰三角形的两个底角相等． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据全等三角形的判定定理、实数的立方运算、平行线的判定定理、等腰三角形的判定定理判断，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形． ∵边长不同的三角形对应角相等，但不全等，∴该逆命题是假命题． ②原命题为如果，那么，逆命题为如果，那么． ∵立方运算中，立方相等的两个数底数一定相等，∴该逆命题是真命题． ③原命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为同位角相等，两直线平行． 根据平行线的判定定理可知该逆命题是真命题． ④原命题为等腰三角形的两个底角相等，逆命题为两个角相等的三角形是等腰三角形． 根据等腰三角形的判定定理可知该逆命题是真命题． 综上，真命题共有个． 10. 如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明得到，所以，设，则，然后在中利用勾股定理得到，从而解方程得到的长． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即． 11. 跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作关于轴的对称点，连接，则光线从点到点经过的路线长为，作与交于点，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接， 则，且三点共线， 作与交于点． ∴光线从点到点经过的路线长为： ， 即光线从点到点经过的路线长是． 12. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算的结果是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后计算括号内的二次根式减法，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 14. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用积的乘方公式的逆运算先把算式转化为，再利用平方差公式化简后相乘即可求解，掌握积的乘方公式的逆运算的运用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 16. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】如图，先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 则A所代表的正方形的面积为100， ∴A所代表的正方形的边长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 18. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法进行计算再进行加减计算即可求解； （2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ． ， ∴， 是直角三角形，， ． 21. 如图，在中，，，以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，在图中的内有一点，若，且，，求的边长． （3）如图3，将图中的四边形折叠，使点与点重合折痕为，直接写出的比值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，进而算出，再证明，进而证出四边形是平行四边形； （2）根据是等边三角形，作辅助线，得到是等边三角形，是直角三角形，由勾股定理得：的长，由此可知：，则，根据周角计算，最后利用勾股定理求的长； （3）设，由折叠可得：，再利用三角函数可计算出，再利用勾股定理表示出线段与的数量关系，得：，作辅助线，构建直角三角形，同理设，根据勾股定理列方程得出，最后计算的比值即可． 【小问1详解】 证明：中，为的中点， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由得：是等边三角形， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的边长为； 【小问3详解】 解：如图3，过作，交的延长线于， 在中，， ， 设，由折叠可得：， 在中，， ， 解得：， 即， ， ， ， 中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 22. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求周长． 【答案】（1）详见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：、分别是、的中点， ， ， ， ， ∴的周长． 23. 如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中有格点，则 ______； （2）请用无刻度的直尺画出图中中边上的高结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示，且 ______； （3）如图2，求的面积． 【答案】（1） （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查格点三角形与勾股定理的应用．利用勾股定理求格点之间的距离，利用割补法求三角形面积是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用割补法先求出三角形的面积，再利用等面积法求即可； （3）根据（2）即可求解的面积． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 小问2详解】 解：如图为所求作的线段， ， ，， ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）知的面积为． 24. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，； ，；… ，；… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【答案】（1）n， （2）它是第32个三角形，见解析 （3）11.25 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用，规律探究，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系． （1）由勾股定理及直角三角形的面积求解； （2）利用（1）的规律代入求出n即可； （3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可． 【小问1详解】 因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得： ， ， ， …， ， ∴＝n． Sn＝•1•＝ 故答案为：n， 【小问2详解】 当时，即＝， 解得：n＝32 ∴它第32个三角形． 【小问3详解】 ＝+…+ ＝11.25 ∴的值为11.25． 25. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为 （2）不能成功，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）过点作，垂足为，利用勾股定理进行求解即可； （2）延长到点，勾股定理求出长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得． 在中，． 根据勾股定理，得， ． 答：风筝离地面的垂直高度为． 【小问2详解】 不能成功． 理由：如图，延长到点，使， 此时． 在中，． 根据勾股定理，得． ， 不能成功． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市静海区团泊学校八年级（下）第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，中与可以合并个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 5，12，14 5. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 6. 如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 下列命题的逆命题中，真命题有（ ） 全等三角形的对应角相等； 如果，那么； 两直线平行，同位角相等； 等腰三角形的两个底角相等． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（    ） A. B. C. D. 11. 跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（    ） A. B. C. D. 12. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算结果是______． 14. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 15. 计算：___________． 16. 已知，则_____． 17. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______． 18. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是__________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 21. 如图，在中，，，以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，在图中的内有一点，若，且，，求的边长． （3）如图3，将图中的四边形折叠，使点与点重合折痕为，直接写出的比值为______． 22. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 23. 如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）如图1，在网格中有格点，则 ______； （2）请用无刻度直尺画出图中中边上的高结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示，且 ______； （3）如图2，求的面积． 24. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ，； ，；… ，；… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______． （2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出值． 25. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $