专题05 乘法公式易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题05 乘法公式易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、运用平方差公式进行运算 1 题型二、平方差公式与几何图形 2 题型三、运用完全平方公式进行运算 3 题型四、完全平方公式与几何图形 5 题型五、通过对完全平方公式变形求值 6 题型六、求完全平方公式中的字母系数 8 题型七、乘法公式中的整体思想 9 题型八、利用乘法公式的非负性求值 11 题型九、乘法公式中的配方法求最值 11 题型十、乘法公式的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、运用平方差公式进行运算 1．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A．410 B．401 C．140 D．104 【答案】D 【分析】根据“幸福数”定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导得出“幸福数”的倍数特征，再判断选项即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（其中n为正整数）， 由题意得“幸福数”为： ∴“幸福数”一定能被整除． A选项：，不能被整除，不符合． B选项：，不能被整除，不符合． C选项：，不能被整除，不符合． D选项：，能被整除，符合． 2．若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性，解题的关键是掌握平方差公式．依据平方差公式求得，结合，可求得 【详解】解：， ， ，， ． 故选：A． 3．观察：； ， 那么，________． 【答案】 【分析】通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 题型二、平方差公式与几何图形 5．如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，解题的关键是理解题意；由题意可设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 7．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 8．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (2)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（1）中的公式，求、的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：延长交于点，通过和，可得； （2）根据题意可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：①延长交于点， 则 ； ②， ∴； （2）解：根据题意可得， 由（1）知， 则，即， 联立得， 解得． 题型三、运用完全平方公式进行运算 9．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 10．已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 11．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据整式乘法运算法则和乘法公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 12．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)4 (3)20 【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2的面积即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）根据，，求出的值，再根据求出的值，由代入计算即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，图2中四个长方形的面积为， 所以有； （2）解：∵，， ∴由（1）得：； （3）解：∵四边形，四边形为正方形，边长分别为x，．， ，， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 题型四、完全平方公式与几何图形 13．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)13 【分析】（1）利用阴影两部分求和、总面积减去空白部分面积计算即可； （2）由（1）的两种方法即可得出； （3）利用，将变形为，再计算即可． 【详解】（1）解：由图可得阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）可得： ． 14．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 15．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 16．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五、通过对完全平方公式变形求值 17．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 18．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）得 ∴ ． 19．把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求xy的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据进行运算，即可求解； （3）设，则，再由进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， 解得； （2）解：， ， ； （3）解：设，则， ， 即． 20．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （3）利用（2）中结论进行作答即可． 【详解】（1）解：图②中画有阴影的小正方形的边长等于， 故答案为：； （2）解：观察图②，代数式，与之间的等量关系为：. 故答案为：； （3）解：①由（2）知：， ， ②． 题型六、求完全平方公式中的字母系数 21．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 【详解】解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 22．若是一个完全平方式，则m的值为______． 【答案】7或 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 利用完全平方公式的结构特征判断出的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：7或． 23．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 24．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 题型七、乘法公式中的整体思想 25．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整体思想结合平方差公式运算求解即可； （2）利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， ， ， ， ， ． 26．阅读下列材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是整体思想．整体思想是数学解题方法中常见的一种思想，请你运用这种思想解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设元将式子看成整体，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出代数式的值； （2）设元后，先求出两个元的差，再利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出代数式的值． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：设， 则． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式的变形与整体思想的应用，掌握通过设元将代数式看成整体，利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解题的关键． 27．阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式的变形运用，整体代入计算的运用，掌握整式的混合运算法则，完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的“整体思想”的运算方法即可求解； （2）将代数式变形为，再运用整体代数计算即可； （3）运用完全平方公式变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：， ∵， ∴原式． （3）解：已知，， ∴，， ∵ ， ∴ ． 28．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． （3）解：能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除. 题型八、利用乘法公式的非负性求值 29．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性证明； （3）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性分别求出、，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时，有最小值是， （2）解：， ， ， 多项式的值总是正数； （3）解：∵， 则， ， ，， ，， ， 又， ∴边长为的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 30．阅读下列材料： “ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，则______； (2)已知a，b，c是等腰的三边长，且a、b满足，求的周长； (3)若（x、y为实数），求W的最小值． 【答案】(1) (2)的周长为17 (3)最小值为6 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，将变形为，进而可以判断得解； （2）依据题意，将变形为，进而可以求出a，b，然后进行分类讨论即可得解； （3）依据题意，将变形为，再结合，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴，即． ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． （2）解：由题意，∵， ∴． ∴． ∴，． ①当，时，，故不合题意； ②当，时，周长为：． ∴的周长为17． （3）解：由题意， ． 又对于任意实数x，y有，， ∴当，时，即时，最小值为6． 31．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）12 【分析】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）利用配方法得出最小值即可； （2）利用非负数的性质得出、、的值，进一步求得周长即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式取得最小值是． （2）， ， ，，， ，．， 的周长． 32．阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ． ． (2)已知，求的值． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2) (3)的周长为7 【分析】（1）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键； （2）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键； （3）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先先根据例题凑成3个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c的值，最后代入即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴的周长为． 题型九、乘法公式中的配方法求最值 33．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 34．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 35．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 36．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 题型十、乘法公式的新定义问题 37．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 38．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 【答案】(1)是 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够对多项式进行变形，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （2）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （3）利用完全平方式对多项式进行变形，得到，根据新定义得到，计算即可求解； （4）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：是； （2）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：2； （3）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解： ， ∴多项式关于对称． 故答案为：． 39．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 40．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用和代数式的求值，关键是通过条件确定的符号． 由平方差公式可得，结合和的条件，即可求出的值，再代入求解． 【详解】， ． ，即， ． ， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C纸片， ∵取纸片张，取纸片张， ∴面积和为， ∵要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴，是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需张C纸片， 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 6．（25-26八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为____________． 【答案】28 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据正方形的性质表示出，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ， ， ， ， 两个阴影部分都是正方形且面积和为60， ， ， ， 重叠部分的面积为28， 故答案为：28． 7．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，正确理解完成平方式的结构是解题的关键．根据完全平方公式，将多项式与的形式比较，通过系数关系求解的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式，可表示为， 比较系数，得， 所以；， 所以， 中间项系数满足， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 因此，的值为。 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京海淀·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．    （1）观察图2的面积关系，写出正确的等式：______； （2）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，则图中阴影部分面积和为______． 【答案】 8 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）根据图形得到，，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴， 故答案为：； （2）由题知：，， 则，则， ∴， ∴（负值舍去）， 图中阴影部分面积为：， 故答案为：8． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． 9．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键． 先根据已知条件和等式的性质求出，再根据乘法公式进行化简，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ； 将代入上式得， 原式． 10．（25-26七年级上·北京·期中）如图1所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于_____； (2)请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1__________；方法2__________． (3)比较（2）中的方法1和方法2，试写出，，这三个代数式之间的等量关系：___________________________________． (4)若，，请利用（3）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)6 【分析】本题主要考查完全差平方公式和完全和平方公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全和平方和比它们的完全差平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． （1）观察图2可知阴影部分正方形的边长等于长方形的长减去宽． （2）方法1：用大正方形的面积减去4个小长方形的面积计算；方法2：直接用正方形的面积公式计算． （3）由（2）得大正方形的面积减去4个小长方形的面积=小正方形的面积，由此可得 ，，这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）中的等量关系计算即可． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：． （2）解：方法1：， 方法2：， 故答案为：，． （3）解：由（2）得， 故答案为：． （4）解：由（2）得， ∴， 解得． 11．（25-26八年级上·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 【答案】(1)5 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，运用完全平方公式进行推导是解决本题的关键． （1）通过检查每个数是否能表示为两个整数的平方和，确定平方和数即可求解； （2）利用平方和数的恒等式性质，结合给定条件推导n的表达式即可； （3）通过代数恒等式证明两个平方和数的积仍是平方和数 【详解】（1）解：根据题意得，5可以表示为， 19不能表示为两个整数的平方和， 33也不能表示为两个整数的平方和， ∴平方和数是5， 故答案为：5； （2）解：由题意得，，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， （3）证明：设两个平方和数分别为和（a，b，c，d均为整数）， ∴ ， ∵和均为整数， ∴可以表示为两个整数的平方和， ∴是平方和数． 12．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 【答案】任务1：①②③；任务2：4；任务3： 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 任务1：根据平行四边形及正方形，长方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：将原式化为，再用平方差公式求解； 任务3：先乘以，再连续运用平方差公式即可求解． 【详解】解：任务1： 图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式， 故答案为：①②③； 任务2： ； 任务3： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 乘法公式易错压轴题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、运用平方差公式进行运算 1 题型二、平方差公式与几何图形 2 题型三、运用完全平方公式进行运算 3 题型四、完全平方公式与几何图形 5 题型五、通过对完全平方公式变形求值 6 题型六、求完全平方公式中的字母系数 8 题型七、乘法公式中的整体思想 9 题型八、利用乘法公式的非负性求值 11 题型九、乘法公式中的配方法求最值 11 题型十、乘法公式的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、运用平方差公式进行运算 1．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A．410 B．401 C．140 D．104 2．若有理数、满足，则（   ） A． B． C． D． 3．观察：； ， 那么，________． 4．计算： (1)； (2)． 题型二、平方差公式与几何图形 5．如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 6．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 7．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 8．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (2)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（1）中的公式，求、的值． 题型三、运用完全平方公式进行运算 9．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，则的值是___________． 11．化简：． 12．如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 题型四、完全平方公式与几何图形 13．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 14．阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 15．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 16．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 题型五、通过对完全平方公式变形求值 17．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 18．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 19．把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求xy的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 20．如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： ①若，，求的值； ②若，求的值． 题型六、求完全平方公式中的字母系数 21．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 22．若是一个完全平方式，则m的值为______． 23．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 24．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 题型七、乘法公式中的整体思想 25．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 26．阅读下列材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是整体思想．整体思想是数学解题方法中常见的一种思想，请你运用这种思想解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 27．阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 28．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 题型八、利用乘法公式的非负性求值 29．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 30．阅读下列材料： “ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，则______； (2)已知a，b，c是等腰的三边长，且a、b满足，求的周长； (3)若（x、y为实数），求W的最小值． 31．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求的最小值． 解：原式 ，， 当时，原式取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值． （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边，，满足，求的周长． 32．阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ． ． (2)已知，求的值． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 题型九、乘法公式中的配方法求最值 33．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 34．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 35．把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 36．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 题型十、乘法公式的新定义问题 37．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 38．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 39．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 40．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）若，且，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 3．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 4．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 5．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是______． 6．（25-26八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为____________． 7．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 8．（25-26八年级上·北京海淀·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．    （1）观察图2的面积关系，写出正确的等式：______； （2）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，则图中阴影部分面积和为______． 9．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 10．（25-26七年级上·北京·期中）如图1所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于_____； (2)请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1__________；方法2__________． (3)比较（2）中的方法1和方法2，试写出，，这三个代数式之间的等量关系：___________________________________． (4)若，，请利用（3）中的结论，求的值． 11．（25-26八年级上·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 12．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $