专题04 整式的乘法易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题04 整式乘法易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单项式乘法 1 题型二、单项式乘法求字母或代数式的值 2 题型三、单项式乘法的应用 3 题型四、多项式乘多项式 5 题型五、多项式乘法与图形面积 6 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型七、多项式乘法的化简求值 9 题型八、多项式乘法的实际应用 11 题型九、多项式乘法中的规律性计算 11 题型十、多项式乘法中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单项式乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 3．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的法则，注意同底数幂相乘的运算法则． 题型二、单项式乘法求字母或代数式的值 5．若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值． 6．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可． 【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键． 7．若，则的值为________. 【答案】2 【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 解之得 ， ∴=1+1=2. 【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键. 8．若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、单项式乘法的应用 9．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 10．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 11．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 12．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 题型四、多项式乘多项式 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练运用整式乘法法则是解题的关键．本题运用整式乘法法则进行运算即可，而且逆用乘法的分配律可以简化计算． 【详解】解： 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 题型五、多项式乘法与图形面积 17．下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清根据面积公式求阴影部分面积时各种数量之间的关系．根据题意可以画出相应的图形，从而求出阴影部分的面积，从而判断题目中的结论正确与否． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积的是 如图2，阴影部分的面积的是， 如图3，阴影部分的面积的是 如图4，阴影部分的面积的是， 综上：①②③④都可以表示阴影部分的面积． 故选D． 18．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 【答案】/ 【分析】观察图形，拼成的长方形的两边长与两正方形边长之间的关系，求出长方形的另一边长，即可求出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据图形可得，拼成的长方形的一边长为，另一边长为， 则这个长方形的面积为：． 19．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 20．如图①，在某住房小区的建设中，为了改善业主的宜居环境，小区准备在一个长为、宽为的长方形草坪上修建两条宽度均为的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修建三条宽度均为的通道（如图②），剩余草坪的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题需要计算两条通道的面积,可通过长方形面积公式分别计算两条通道的面积,再减去重叠部分的面积. 【详解】解：（1） ． 故通道的面积共有． （2） ． 故剩余草坪的面积为． 【点睛】对于有多个通道的图形,计算剩余面积时,要清晰分析通道的数量、各通道的尺寸以及重叠部分的情况,通过 “总面积 - 通道总面积（调整重叠部分）” 来求解,关键是准确处理重叠区域的面积. 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 22．若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故选：A． 23．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为_____________． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 24．我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 依据题意： 解得：． 题型七、多项式乘法的化简求值 25．化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】 当，时，原式 26．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先运用整式的运算法则化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 27．若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，将多项式展开，合并同类项，根据不含项得到m值，再把化简，再代入计算即可． 【详解】解： 由题意得， ∴， ∴ ． 28．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式以及多项式除以单项式进行计算即可化简，最后代入、的值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型八、多项式乘法的实际应用 29．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 30．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意：，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 31．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（）；（）（）当时， 方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， 方案合算； 【分析】（）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案； （）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可； 【详解】解：（）根据材料得， ∴ 故填答案为：； （）由图知： ∴ ∵是正整数 ∴ ∴ ∴ （）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，为正整数， ∴当时，，故，此时方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时方案合算； 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键． 32．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九、多项式乘法中的规律性计算 33．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 34．阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大 到小排列，就可以得到下面的等式： ，等式右边只有一项，系数为1； ，等式右边有两项，系数分别为1，1； ，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； ，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 结合以上材料解决以下问题： (1)的展开式共________项，其中最中间一项的系数为________； (2)已知，请直接写出n的值：________； (3)如果已知，求和代数式的值． 【答案】(1)七；20 (2) (3)， 【分析】本题考查了贾宪三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可得展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； （2）根据即可求解； （3）把，分别代入式子，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得展开式有七项，系数分别是，，，，，，， 最中间项的系数是20． 故答案为：七，20； （2）解：∵ 又， ∴． 故答案为：． （3）解：∵， ∴当时，， ； ∵当时，， ． 35．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据表中规律，写出的展开式； (2)多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； (3)请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）． 【答案】(1) (2)n次项式，第三项的系数为： (3) (4)1 【分析】本题考查的是多项式乘法的规律性问题，找出规律是解题的关键． （1）可以根据题意写出答案， （2）分别用、、去探究它们之间的关系，找出规律即可， （3）分别用、、先求出它们的系数和，找出规律即可， （4）通过观察可把正负号转化为的偶次方和奇次方，然后把式子转化为题中所给的形式即可得出答案． 【详解】（1）解：观察表中信息可写出： ； （2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为， 当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为 当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为， …… ∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为； （3）解：当时，多项式的各项系数之和为：， 当时，多项式的各项系数之和为： ， 当时，多项式（的各项系数之和为： ， …… 多项式展开式的各项系数之和为； （4）解： ． 36．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③2或0 【分析】本题考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）①把，代入所得的规律中即可得到答案； ②把，代入所得的规律中即可得到答案； ③根据规律可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：； （2）解：观察归纳规律可得， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，， 当，时， ， 即， 故答案为：； ②同①，当，时， ， 即； ③∵， ∴，即， ∴当时，， 当时，， 故答案为：2或0． 题型十、多项式乘法中的新定义问题 37．给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． (1 )根据特征系数对的定义即可解答； (2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； (3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案． 【详解】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：； （2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ； （3）解：根据题意得， 令，则， ， ， ． 故答案为：4． 38．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，则是的“好多项式”，但不是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？是不是的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”． （2）解： ， ∵B是A的“极好多项式”，， ∴， ∴且， 解得． 39．定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于的方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解： ， 是的“好多项式” （2）解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 40．定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 【答案】(1)同号相乘、异号相除；0． (2)3 (3) 【分析】本题主要考查有理数的运算，整式运算等知识点，解审清题意、归纳出“？”运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的例子可以总结出“？”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）根据（1）中的结论先分别运算M和N，然后再进行整式的加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，“？”运算法则：两数进行“？”运算时，同号相乘，异号相除； 0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： （3）解：∵， ∴，，， ， ， ∴ 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的法则进行计算，进而确定的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 3．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索．观察可知把看成常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看成常数， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， 而中，项就是第二项， 展开式中含项的系数是6， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 5．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则________． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 6．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 【详解】根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 7．（25-26八年级上·北京·期中）已知式子的结果中不含项，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项的条件，令项的系数为零求解即可． 【详解】解：， ， ∵式子的结果中不含项， ∴， 解得． 故答案为． 8．（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，则代数式的值为______； （3）已知，则代数式的值为______． 【答案】 3 10 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、整式的化简求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先由得出，再运用多项式乘多项式法则计算，然后将代入计算即可． （2）先由得出，然后运用整式的四则混合运算法则计算，然后将代入计算即可； （3）由可得、、 ，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）∵， ∴，， ， ∴ ． 故答案为10． 9．（25-26八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式是解题的关键． 根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 10．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 11．（25-26七年级下·湖南永州·期中）阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可； （）根据已知条件，先求出，再根据面积公式列式求解即可； 本题考查了整式的运算，理解阅读材料的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴另一个多项式为； （3）解：∵长方形的周长是长方形的周长的倍， ∴， 整理得：， ∴长方形的面积为：． 12．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式乘法易错压轴题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单项式乘法 1 题型二、单项式乘法求字母或代数式的值 2 题型三、单项式乘法的应用 3 题型四、多项式乘多项式 5 题型五、多项式乘法与图形面积 6 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 题型七、多项式乘法的化简求值 9 题型八、多项式乘法的实际应用 11 题型九、多项式乘法中的规律性计算 11 题型十、多项式乘法中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单项式乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算：______． 4．计算： (1)． (2)． 题型二、单项式乘法求字母或代数式的值 5．若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若，则的值为________. 8．若 ，则求的值． 题型三、单项式乘法的应用 9．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 11．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 12．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 题型四、多项式乘多项式 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．计算： (1) (2) 15．计算：． 16．计算：． 题型五、多项式乘法与图形面积 17．下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 18．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的面积为______． 19．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 20．如图①，在某住房小区的建设中，为了改善业主的宜居环境，小区准备在一个长为、宽为的长方形草坪上修建两条宽度均为的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)若修建三条宽度均为的通道（如图②），剩余草坪的面积为多少平方米？ 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 22．若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 23．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为_____________． 24．我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)计算求所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 题型七、多项式乘法的化简求值 25．化简求值：已知，，求代数式的值． 26．先化简再求值：，其中，． 27．若关于x的多项式的展开式中不含项，求的值． 28．先化简，再求值：，其中，． 题型八、多项式乘法的实际应用 29．如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 30．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 31．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 32．有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 题型九、多项式乘法中的规律性计算 33．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 34．阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大 到小排列，就可以得到下面的等式： ，等式右边只有一项，系数为1； ，等式右边有两项，系数分别为1，1； ，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； ，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 结合以上材料解决以下问题： (1)的展开式共________项，其中最中间一项的系数为________； (2)已知，请直接写出n的值：________； (3)如果已知，求和代数式的值． 35．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据表中规律，写出的展开式； (2)多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； (3)请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）． 36．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知，______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据以上规律解决： ①计算：______； ②； ③，则______． 题型十、多项式乘法中的新定义问题 37．给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 38．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，则是的“好多项式”，但不是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？是不是的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 39．定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 40．定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 3．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 5．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则________． 6．（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 7．（25-26八年级上·北京·期中）已知式子的结果中不含项，则的值为___________． 8．（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，则代数式的值为______； （3）已知，则代数式的值为______． 9．（25-26八年级上·北京丰台·期末）计算：． 10．（24-25七年级下·北京·期末）关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 11．（25-26七年级下·湖南永州·期中）阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 12．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $