第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版七年级下册

第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000000207毫米，将数据0.00000000207用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 7．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 8．如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式： ①；②；③；④． 其中正确的有（    ）    A．② B．①③ C．①④ D．④ 9．已知实数a、b、c满足，下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，且，则 -的值为（ ） A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则________． 12．因式分解：______． 13．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 14．已知． （1）若，则自然数______； （2）若是一个完全平方数，则自然数______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．先化简，再求值：，其中，． 16．分解因式： (1)； (2)． 17．观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 18．阅读理解： 若满足．求的值． 解：设，，则，，． 解决问题： (1)若满足．求的值； (2)若满足，求的值． 19．【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 20．【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值是_____； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积． 21．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 22．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 23．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000000207毫米，将数据0.00000000207用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 3．下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项符合题意； 故选：D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 故选：A． 6．若是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．或7 C．7 D．9 【答案】B 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：B． 7．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D． 8．如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式： ①；②；③；④． 其中正确的有（    ）    A．② B．①③ C．①④ D．④ 【答案】C 【详解】由平移法可得，种花土地总面积是以为边长的正方形， 种花土地总面积； 种花土地的面积等于大正方形的面积减去阴影部分的面积， 即种花土地总面积为， ①④正确， 故选：C． 9．已知实数a、b、c满足，下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、当，时，，即，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，，则，所以或，当时，，此时，当时，，此时，故本选项不符合题意； D、若，而，则，所以，即，故本选项符合题意； 故选：D． 10．已知，且，则 -的值为（ ） A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044 【答案】A 【详解】因为， 所以， 整理，得， 则， 即． 因为， 所以， 即． 由，得， 所以． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知，则________． 【答案】81 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 12．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 13．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 14．已知． （1）若，则自然数______； （2）若是一个完全平方数，则自然数______． 【答案】 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．先化简，再求值：，其中，． 【详解】解：原式， 将，，代入得 原式． 16．分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．观察下列式子中的运算规律： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式 ； (2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性． 【详解】（1）解：由题意得：第4个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 18．阅读理解： 若满足．求的值． 解：设，，则，，． 解决问题： (1)若满足．求的值； (2)若满足，求的值． 【详解】（1）解：设，， 则，， ． 的值为15． （2）解：设，， 则，， ， ， 解得：， ， 的值为． 19．【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 20．【阅读理解】 换元法是一种重要的方法，体现了整体思想．举例如下： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ， 那么． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值是_____； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别是m，10，13，正方形与正方形的面积之和为89，且边的延长线与边交于点P．求长方形的面积． 【详解】（1）解：设，则，， 那么． （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∴的值为23． （3）解：由题意得，，则长方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之和为89，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴长方形的面积为40． 21．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： 共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共9项，所有项系数的和为， 故答案为：9，256； （3）解： ， ∴可取，， 即原式． 22．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴长方形的面积； （2）解：对图形作字母标记如图， ∵， ∴，， 由图可知，，， ，， ； （3）解：对图形作字母标记如图， 由图可知：，，，， ，， ， 的值总保持不变， 的值与无关， ，即． 23．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $