专题05 平面直角坐标系与一次函数和反比例函数（题型专练6大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 平面直角坐标系与一次函数和反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：点的坐标特征与规律探究 题型02：函数图象的判断与信息提取 题型03：一次函数的图象、性质与解析式确定 题型04：反比例函数的图象、性质与 k 的几何意义 题型05：一次函数与反比例函数综合 题型06：函数背景下的动点问题与动态图象分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 点的坐标特征与规律探究 典例引领 【典例01】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【典例02】（2025·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C ． D． 方法透视 考向解读 此题型考查对平面直角坐标系中点的坐标几何意义的理解，是函数学习的基础。中考中常以选择题、填空题形式出现，考察点包括：由点求坐标、由坐标描点；各象限内及坐标轴上点的符号特征；关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征；点的平移、旋转规律。近年来，与图形变换（如周期性图形）结合的坐标规律探究题成为热点，要求考生具备观察、归纳和推理能力。 方法技能 熟记基础：牢记各象限(,)、(,)、(,)、(,)；轴(,)，轴(,)；关于轴对称(,)，关于轴对称(,)，关于原点对称(,)。 掌握变换：点平移(,)后为（右加左减，上加下减）。旋转需结合图形，常构造直角三角形利用勾股定理或三角函数求解。 探究规律：对于规律探究题，采用“从特殊到一般”的思路。先写出前几个点的坐标，观察横坐标、纵坐标分别与序号的关系，寻找周期性或递推规律，再用含的代数式表示，最后代入验证。 变式演练 【变式01】（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【变式02】（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为______． 题型02 函数图象的判断与信息提取 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间 【典例02】（2024·湖南长沙·模拟预测）匀速地向如图所示的一个空容器里注水，最后把容器注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（    ） A．B． C． D． 方法透视 考向解读 此题型考查函数概念的本质——“变化过程中变量间的对应关系”，以及从图象中获取信息的能力。中考常结合行程、工程、消费等实际情境，以选择题或填空题考查。要求能判断图象是否表示函数关系；能根据文字描述选择对应图象；能从图象中读取关键点（起点、终点、交点、转折点）的含义，并计算速度、价格、工作量等。 方法技能 理解概念：对于图象，用“竖线检验法”判断是否为函数图象（任意垂直于轴的直线与图象最多一个交点）。 分析图象：关注横轴（自变量）、纵轴（因变量）代表的实际意义。斜率（倾斜程度）代表变化速率。水平线段代表“静止”或“不变”；上升线段代表“增加”；下降线段代表“减少”。 联系实际：将图象分段，将每一段与情境描述中的阶段一一对应。交点通常表示“相遇”、“价格相同”等；与坐标轴的交点表示“初始状态”。 变式演练 【变式01】（2025·湖南岳阳·模拟预测）小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：）的对应关系如图所示，则从学校到文具店的路程是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·湖南株洲·模拟预测）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【变式03】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 题型03 一次函数的图象、性质与解析式确定 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【典例02】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 这是核心基础题型，贯穿中考各类题型。单独考查时，以选择、填空或小问形式出现。重点考察：根据、符号判断图象所经象限及增减性；由两点坐标或、值求解析式（待定系数法）；一次函数图象的平移规律（“左加右减”作用于，“上加下减”作用于整体函数值）。 方法技能 图象与性质：口诀“正一三，负二四；正上移，负下移”。，随增大而增大；，随增大而减小。 待定系数法：设，代入两组(,)值，解关于、的方程组。 图象平移：直线平移个单位：沿轴平移为（左加右减）；沿轴平移为（上加下减）。抓住平移前后不变这一核心。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 【变式02】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 【变式03】（2026·湖南永州·一模）长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 题型04 反比例函数的图象、性质与k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【典例02】（2024·湖南·模拟预测）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 方法透视 考向解读 反比例函数是中考重要考点，的几何意义是高频考点和难点。常以选择题、填空题或与一次函数结合的综合题形式出现。考察：根据符号判断图象所在象限及增减性；由图象上一点坐标求；利用的几何意义求图形面积（矩形或三角形）；比较同一图象上不同点的函数值大小。 方法技能 图象与性质：，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；，图象在二、四象限，每个象限内随增大而增大。图象关于原点中心对称。 的几何意义：若点是反比例函数图象上任意一点，过作轴、轴垂线，则所得矩形面积为，所得直角三角形（连接、与垂足）面积为。这是解决相关面积问题的核心工具。 比较大小：必须在同一象限内比较。不同象限时，直接由正负判断。 变式演练 【变式01】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【变式02】（2026·湖南长沙·一模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2024·湖南株洲·模拟预测）函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为____________ 题型05 一次函数与反比例函数综合 典例引领 、【典例01】（2026·湖南·一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数 (k为常数，)的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【典例02】（2025·湖南·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   方法透视 考向解读 这是代数综合的经典题型，常作为解答题出现。综合考查函数图象、方程、不等式、几何图形等多方面知识。主要考察：求交点坐标（联立解析式解方程）；根据交点求函数解析式及值；根据图象比较函数值大小或求不等式解集；求由交点、坐标原点等构成的三角形或四边形的面积。 方法技能 求交点：将两个函数解析式联立成方程组，解出的、即为交点坐标。 解不等式：看图象。例如求的解集，即找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分所对应的范围。注意交点值以及图象的间断点（反比例函数图象与坐标轴无交点）。 求面积：常用“割补法”。若三角形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接用面积公式。若为一般三角形，常用“铅垂高×水平宽÷2”的方法。有时利用的几何意义转化面积更为简便。 变式演练 【变式01】（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．    (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．    (1)求点A的坐标． (2)分别以点O、A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交x轴于点D．求线段的长．    【变式03】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 题型06 函数背景下的动点问题与动态图象分析 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． (1)求m、n的值； (2)求一次函数的表达式； (3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【典例02】（2025·湖南衡阳·一模）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（    ） A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2 方法透视 考向解读 此题型是函数与几何动态问题的初步结合，难度中等偏上，区分度好。常以选择题或填空题压轴形式出现。考察：分析动点运动过程中，相关线段长度、图形面积与运动时间的函数关系，并判断其大致图象；或根据描述的运动过程，选择对应的函数图象。 方法技能 分段分析：将动点的整个运动过程按照速度变化、方向改变或触及边界等关键事件，分成几个阶段。 建立模型：在每一阶段，分析目标量（如面积）与时间的关系是线性（一次函数）还是非线性（二次函数或其他）。例如，当动点匀速运动，且面积与的关系是底或高线性变化时，是的二次函数，图象为抛物线的一部分。 验证端点：计算（或判断）每个阶段起点和终点时目标量的值，与图象的起点、终点、转折点进行匹配，排除错误选项。 变式演练 【变式01】（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 【变式02】（2024·湖南衡阳·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 【变式03】（2024·湖南宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （   ） A． B． C． D． 题●型●训●练 1．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 2．2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 6．（2025·湖南·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，的阻值为 B．当托盘上货物的质量为时， C．在一定范围内，随的增大而减小 D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 7．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 8．函数中，自变量的取值范围是______． 9．（2026·湖南·模拟预测）如图，的三个顶点在反比例函数上(点在点的右侧)，，，若点的坐标为，则的面积为___________． 10．（2026·湖南长沙·一模）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 11．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面直角坐标系与一次函数和反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：点的坐标特征与规律探究 题型02：函数图象的判断与信息提取 题型03：一次函数的图象、性质与解析式确定 题型04：反比例函数的图象、性质与 k 的几何意义 题型05：一次函数与反比例函数综合 题型06：函数背景下的动点问题与动态图象分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 点的坐标特征与规律探究 典例引领 【典例01】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 【典例02】（2025·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 方法透视 考向解读 此题型考查对平面直角坐标系中点的坐标几何意义的理解，是函数学习的基础。中考中常以选择题、填空题形式出现，考察点包括：由点求坐标、由坐标描点；各象限内及坐标轴上点的符号特征；关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征；点的平移、旋转规律。近年来，与图形变换（如周期性图形）结合的坐标规律探究题成为热点，要求考生具备观察、归纳和推理能力。 方法技能 熟记基础：牢记各象限(,)、(,)、(,)、(,)；轴(,)，轴(,)；关于轴对称(,)，关于轴对称(,)，关于原点对称(,)。 掌握变换：点平移(,)后为（右加左减，上加下减）。旋转需结合图形，常构造直角三角形利用勾股定理或三角函数求解。 探究规律：对于规律探究题，采用“从特殊到一般”的思路。先写出前几个点的坐标，观察横坐标、纵坐标分别与序号的关系，寻找周期性或递推规律，再用含的代数式表示，最后代入验证。 变式演练 【变式01】（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】B 【分析】根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式02】（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 【变式03】（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，根据同圆的半径相等可知：在上，且半径为，通过画图可知，当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， ∴在上，且半径为， 在轴上取，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴， ∴，且， ∴，即的最大值为， ∵是的中点，则， 故答案为：． 题型02 函数图象的判断与信息提取 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 【典例02】（2024·湖南长沙·模拟预测）匀速地向如图所示的一个空容器里注水，最后把容器注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高（升高的速度越来越快）， 所以符合题意的函数图象为选项C． 故选：C． 方法透视 考向解读 此题型考查函数概念的本质——“变化过程中变量间的对应关系”，以及从图象中获取信息的能力。中考常结合行程、工程、消费等实际情境，以选择题或填空题考查。要求能判断图象是否表示函数关系；能根据文字描述选择对应图象；能从图象中读取关键点（起点、终点、交点、转折点）的含义，并计算速度、价格、工作量等。 方法技能 理解概念：对于图象，用“竖线检验法”判断是否为函数图象（任意垂直于轴的直线与图象最多一个交点）。 分析图象：关注横轴（自变量）、纵轴（因变量）代表的实际意义。斜率（倾斜程度）代表变化速率。水平线段代表“静止”或“不变”；上升线段代表“增加”；下降线段代表“减少”。 联系实际：将图象分段，将每一段与情境描述中的阶段一一对应。交点通常表示“相遇”、“价格相同”等；与坐标轴的交点表示“初始状态”。 变式演练 【变式01】（2025·湖南岳阳·模拟预测）小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：）的对应关系如图所示，则从学校到文具店的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到行驶速度，由此得到路程． 【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为， ∴从学校到文具店的路程是． 【变式02】（2025·湖南株洲·模拟预测）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式03】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 题型03 一次函数的图象、性质与解析式确定 典例引领 【典例01】（2024·湖南长沙·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 【典例02】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【详解】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 方法透视 考向解读 这是核心基础题型，贯穿中考各类题型。单独考查时，以选择、填空或小问形式出现。重点考察：根据、符号判断图象所经象限及增减性；由两点坐标或、值求解析式（待定系数法）；一次函数图象的平移规律（“左加右减”作用于，“上加下减”作用于整体函数值）。 方法技能 图象与性质：口诀“正一三，负二四；正上移，负下移”。，随增大而增大；，随增大而减小。 待定系数法：设，代入两组(,)值，解关于、的方程组。 图象平移：直线平移个单位：沿轴平移为（左加右减）；沿轴平移为（上加下减）。抓住平移前后不变这一核心。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移及直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：如图， 当直线向下平移过点C时，可得， 所以此时直线是的切线， 此时直线与轴交于点， 所以把直线：向下平移2个单位后成为的切线， 故选：A． 【变式02】（2025·湖南长沙·模拟预测）一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数图象的平移，画一次函数图象，熟练掌握平移规则，是解题的关键： （1）根据图象过原点，得到，进行求解即可； （2）根据两直线平行，值相等，得到，进行求解，描点，连线画出函数图象即可； （3）根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 所以， 解得， 故m的值为3． （2）因为函数图象平行于直线， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． 当时，；当时，， 画出函数图象如图所示， （3）由（1）知，正比例函数的解析式为， 所以此函数图象向下平移4个单位所得函数图象的解析式为． 【变式03】（2026·湖南永州·一模）长沙某文创店主小张计划在网上开设A和B两种产品专卖店．已知：用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等，且A产品的单价比B产品的单价多6元． (1)求A产品和B产品的单价各是多少元？ (2)开业大促期间，小张计划购进两种产品共150个，要求A产品的数量不少于70个．请问：购进A产品多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A产品的单价是16元， B产品的单价是10元 (2)购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元 【分析】（1）设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据“用800元购买A产品的个数与用500元购买B产品的个数相等”，列出方程，即可求解； （2）设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A产品的单价是a元， B产品的单价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：A产品的单价是16元， B产品的单价是10元； （2）解：设购进A产品x个，总费用为w元，根据题意得： ， ∵A产品的数量不少于70个， ∴， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为1920， 答：购进A产品70个时，总费用最低，最低费用是1920元． 题型04 反比例函数的图象、性质与k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 【典例02】（2024·湖南·模拟预测）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 方法透视 考向解读 反比例函数是中考重要考点，的几何意义是高频考点和难点。常以选择题、填空题或与一次函数结合的综合题形式出现。考察：根据符号判断图象所在象限及增减性；由图象上一点坐标求；利用的几何意义求图形面积（矩形或三角形）；比较同一图象上不同点的函数值大小。 方法技能 图象与性质：，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；，图象在二、四象限，每个象限内随增大而增大。图象关于原点中心对称。 的几何意义：若点是反比例函数图象上任意一点，过作轴、轴垂线，则所得矩形面积为，所得直角三角形（连接、与垂足）面积为。这是解决相关面积问题的核心工具。 比较大小：必须在同一象限内比较。不同象限时，直接由正负判断。 变式演练 【变式01】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得． 【变式02】（2026·湖南长沙·一模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点横坐标代入求出对应纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得，，，， ∵， ∴． 【变式03】（2024·湖南株洲·模拟预测）函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为____________ 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方的形面积为．根据反比例函数的中心对称特点可知的面积是，据此列式计算求解即可． 【详解】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 的面积等于两个三角形加上一个长方形的面积和， 则的面积， 又， ∴． 故答案为：2． 题型05 一次函数与反比例函数综合 典例引领 、【典例01】（2026·湖南·一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数 (k为常数，)的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先根据k的符号，得到反比例函数与一次函数都经过第一、三象限或第二、四象限，再根据一次函数与y轴交于负半轴，即可得出结果． 【详解】解：当时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误； ∵一次函数与y轴交于负半轴， ∴D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 【典例02】（2025·湖南·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键． 方法透视 考向解读 这是代数综合的经典题型，常作为解答题出现。综合考查函数图象、方程、不等式、几何图形等多方面知识。主要考察：求交点坐标（联立解析式解方程）；根据交点求函数解析式及值；根据图象比较函数值大小或求不等式解集；求由交点、坐标原点等构成的三角形或四边形的面积。 方法技能 求交点：将两个函数解析式联立成方程组，解出的、即为交点坐标。 解不等式：看图象。例如求的解集，即找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分所对应的范围。注意交点值以及图象的间断点（反比例函数图象与坐标轴无交点）。 求面积：常用“割补法”。若三角形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接用面积公式。若为一般三角形，常用“铅垂高×水平宽÷2”的方法。有时利用的几何意义转化面积更为简便。 变式演练 【变式01】（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．    (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点代入得： 解得： 将代入得： ∴ （2）由得：，解得 所以的坐标分别为 由图形可得：当或时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．    (1)求点A的坐标． (2)分别以点O、A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交x轴于点D．求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可； （2）由题意可得：垂直平分，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质可得，设，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∵， ∴； （2）解：由题意可得：垂直平分， 连接，如图，则， 设， 则，解得， ∴．    【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【变式03】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解． （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴． （3）根据图象得：不等式的解集为或． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 题型06 函数背景下的动点问题与动态图象分析 典例引领 【典例01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点． (1)求m、n的值； (2)求一次函数的表达式； (3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)，或，或 【分析】（1）点和分别代入反比例函数，即可求得m、n的值； （2）将点和分别代入一次函数，解方程组求出k、b的值即得； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，设的表达式为，将点、分别代入求得，得到的表达式为，当时，，即得点P的坐标； （4）设点D的坐标为，根据点A、B、P的坐标分别为、、，当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，得到或；当AB是对角线时，根据中点公式得到；得到点D的坐标为，或，或． 【详解】（1）将点代入反比例函数， 得，，， ∴， 将代入， 得，，， ∴，； （2）将点和分别代入一次函数， 得，， 解得，， ∴； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点， 理由：的周长为最小， 设的表达式为 ∵点、， ∴， 解得，， ∴的表达式为， ∴时，， 故点P的坐标为； （4）D的坐标为，或，或．理由： 由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为， ①当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到， 则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t， 解得或； ②当AB是对角线时， 由中点公式得：， ， 解得； 故点D的坐标为，或，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，轴对称，平行四边形等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，轴对称产生最小值，平行四边形的性质． 【典例02】（2025·湖南衡阳·一模）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（    ） A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2 【答案】A 【分析】求出点C（1，1）到直线y=-2x+7的距离d即可求得PQ的最小值． 【详解】如图，过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点， 此时PQ的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离， ∵⊙C的半径为1， ∴， 故选 A． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 方法透视 考向解读 此题型是函数与几何动态问题的初步结合，难度中等偏上，区分度好。常以选择题或填空题压轴形式出现。考察：分析动点运动过程中，相关线段长度、图形面积与运动时间的函数关系，并判断其大致图象；或根据描述的运动过程，选择对应的函数图象。 方法技能 分段分析：将动点的整个运动过程按照速度变化、方向改变或触及边界等关键事件，分成几个阶段。 建立模型：在每一阶段，分析目标量（如面积）与时间的关系是线性（一次函数）还是非线性（二次函数或其他）。例如，当动点匀速运动，且面积与的关系是底或高线性变化时，是的二次函数，图象为抛物线的一部分。 验证端点：计算（或判断）每个阶段起点和终点时目标量的值，与图象的起点、终点、转折点进行匹配，排除错误选项。 变式演练 【变式01】（2025·湖南娄底·一模）如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，． (1)求点的坐标； (2)点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？ 【答案】(1) (2)当点P运动到这个位置时，的值最小 【分析】（1）过点C作轴交x轴于点E，证明，得出，解直角三角形得出， ，求出，即可得出答案； （2）作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线 ，然后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P即为所求作的点， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ∴ 当时， ∴当点P运动到这个位置时，的值最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线． 【变式02】（2024·湖南衡阳·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， (1)求反比例函数和一次函数的关系式． (2)根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； (3)若动点P在x轴上，求的最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3)10 【分析】（1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出点，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意得到不等式，其x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，利用轴对称性质和两点之间线段最短可知， 的最小值为，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数过点， ， 解得， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知不等式， 即时， x的取值范围为或； （3）解：作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ， 由轴对称性质可知，， 根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，取值最小， 的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 【变式03】（2024·湖南宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将代入得，即可得出点Q所在函数的表达式． 【详解】解：将代入得：， 则点Q的横坐标纵坐标相等， 所以点Q所在函数的表达式为． 故选B． 题●型●训●练 1．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，依据该特征即可求出x的值． 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 又点与关于y轴对称， ． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）2025年中央广播电视总台春节联欢晚会以北京为主会场，以重庆、湖北武汉．西藏拉萨和江苏无锡为分会场、这五个城市的位置如图所示．如果无锡用表示，那么重庆的位置用坐标表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，由无锡的位置坐标可得出“往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度”，结合图中小无锡的位置，即可得出结论． 【详解】解：∵无锡用表示， ∴规定往左为负，往下为负，且每格代表一个单位长度， ∴重庆的位置用坐标表示为， 故选：B． 3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误， ∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确， ∵将代入，得∴图象不经过点，C错误． ∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误． 故选：B． 6．（2025·湖南·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，的阻值为 B．当托盘上货物的质量为时， C．在一定范围内，随的增大而减小 D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 7．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时，_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键． 首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值 【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则, ∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图： 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径， ∴， 在直线中，令，则，令，则求得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 9．（2026·湖南·模拟预测）如图，的三个顶点在反比例函数上(点在点的右侧)，，，若点的坐标为，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质结合反比例函数解析式求出对应线段的长度，最终计算直角三角形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴，即反比例函数解析式为． 过点作平行于轴的直线，过点作于点，过点作于点，则． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵中，， ∴． 设，，则，． 由点的坐标为，可得点的坐标为，点的坐标为． ∵点、均在反比例函数上， ∴ 由①得，③ 由②得，④ ③+④得：，即． 将代入③，得：， 化简整理得：， 解得(舍去)，则． 在中，， ∴． ∴的面积． 故答案为：． 10．（2026·湖南长沙·一模）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】(1)每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 (2)共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； （2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 11．（2026·湖南衡阳·一模）我们约定：点为点的“倍位似点”，当点为函数图象上任意一点时，点均在函数图象上，则称函数为函数的“倍位似函数”．例如，点为点的“2倍位似点”，点为函数图象上任意一点，点均在函数图象上，则称函数为函数的“2倍位似函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)①点的“3倍位似点”为 （填坐标）； ②点为函数图象上任意一点，则函数的“3倍位似函数”为 （填解析式）； (2)函数的“2倍位似函数”图象与直线只有一个公共点，求的值； (3)函数为函数的“2倍位似函数”，直线与函数图象交于，两点，与函数图象交于两点，函数的图象交于两点，这三条线段能否组成一个直角三角形？若能，求出直角三角形面积的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)直角三角形面积的最小值为 【分析】（1）①根据提供信息进行解答即可； ②先求出点的“3倍位似点”，然后得出函数的“3 倍位似函数”即可； （2）先求出函数的“2倍位似函数”关系式，然后联立，根据一元二次方程根的判别式得出，整理得出答案即可； （3）先求出、、，然后分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出三角形面积的最小值，再得出答案即可． 【详解】（1）解：①点的“3倍位似点”为； ②∵点的“3倍位似点”为， 又∵点在函数的图象上， ∴函数的“3 倍位似函数”为； （2）解：由题可知点为函数 图象上一点， ∴点A 的“2倍位似点”为即 ， 消去m得， 联立， 整理得， ∵两个函数图象只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． （3）解：在函数图象上任取一点， 则点的“2倍位似点”为， 即， 消去m得：， 联立， 整理得：， 解得：， 令，， ∴ ， 联立， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 联立 ， 整理得， 解得：， 令，， ∴ ， 由题意知：，，或，，， 设，，这三条线段组成的直角三角形面积为S， ①当时， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ②当时， ， 解得， 即， ∴ ， ∵， ∴当时，S最小，且最小值为； ③当时， ， 解得：，此时，舍去． 综上所述：直角三角形面积的最小值为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $