专题05 规律探究题（6题型1重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题05 规律探究题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 高频易错点规避方法 【考点02】 解题大招秒杀技巧 【考点03】 综合题突破策略 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】数字数列规律 【题型02】循环规律 【题型03】数阵 / 数表规律 【题型04】图形计数规律 【题型05】坐标规律 【题型06】代数式/等式规律 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】综合规律（高频压轴） 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 规律探究题是中考数学高频考点，侧重考查观察、归纳、推理、建模能力，是区分度较高的题型。 关键能力与思维瓶颈 1. 必备关键能力 · 观察分析能力：快速识别 “变” 与 “不变”，捕捉相邻项、项数与项值关系。 · 归纳推理能力：从特殊到一般，猜想通项 / 规律表达式。 · 数学建模能力：将图形 / 情境转化为数列、函数模型。 · 验证反思能力：代入前几项验证规律，修正错误。 · 运算转化能力：符号处理、裂项、作差 / 作商、周期计算。 2. 常见思维瓶颈 · 观察片面：只看表面，忽略二阶差、奇偶项、周期等深层规律。 · 归纳不准：通项公式写错、项数 / 周期计算错误（如余数为 0 对应末项）。 · 数形脱节：图形规律不会转化为数字规律，坐标规律不会建模。 · 畏难情绪：复杂规律不敢尝试，缺乏 “大胆猜想、小心验证” 的意识。 · 步骤缺失：只写结果，不写规律推导，导致逻辑漏洞。 命题前瞻与备考策略 1. 题型与难度 · 形式稳定：以选择、填空为主，少量出现在解答题前半段，分值 2-5 分。 · 难度平稳：基础题（等差 / 等比、简单图形）+ 中档题（混合、循环、数阵）+ 少量压轴（坐标 / 函数 / 综合），无偏题怪题。 2. 命题趋势 · 素养导向：强化数学抽象、逻辑推理、数学建模，弱化机械记忆。 · 情境化：结合生活、科技、数学文化（如杨辉三角、点阵），体现应用价值。 · 综合化：与函数、几何、坐标、新定义融合，考查知识迁移。 · 创新化：跨学科、操作探究、开放探究题增多，答案不唯一。 3.备考策略 · 分类突破：按数字、图形、坐标、综合四大模块，逐个攻克。 · 错题复盘：整理易错点（项数、周期、符号、裂项），形成错题本。 · 方法提炼：总结拆分数法、分组定位、二次作差、余数定位、数形转化等大招。 ◇考点 01 高频易错点规避方法 易错类型 具体错误表现 规避方法 项数计算错误 从第m到第n项，误算项数为n-m 牢记：项数=n-m+1（例：5-15共11项） 周期余数错位 余数为0时，误对应周期第一项 余数为0→对应周期最后一项，余数1→第一项 符号规律混淆 分不清与的符号 代入n=1验证：n=1时，， 裂项相消错误 漏写系数，如误将写成 牢记系数匹配，拆分后通分验证 图形计数漏算 数图形时重复或遗漏，规律提炼错误 按顺序数（从少到多），数前3-4项，转化为数字规律验证 通项验证缺失 写出通项后，不代入前几项验证，导致错误 必代入n=1,2,3验证，不符合则修正通项 数形脱节 图形规律不会转化为数字规律，坐标规律不会建模 先数图形个数/坐标数值，转化为数字数列再求解 ◇考点 02 解题大招秒杀技巧 拆分数法：混合规律拆成符号 + 数字 + 结构三部分，分别找规律再组合。 二次作差法：一阶差无规律，作二阶差，若为常数则是二次函数型。 分组定位法：周期 / 分组规律，先定组，再定组内位置。 余数定位法：循环问题用 “总数 ÷ 周期”，余数定项。 数形转化法：图形规律先数个数，转化为数字规律求解。 待定系数法：二阶数列设 ，代入 3 个值解方程组。 ◇考点 03 综合题突破策略 分步拆解：复杂题拆成 “数字 + 图形 + 坐标 + 函数” 小模块。 特殊值代入：先算前几项，找规律再推广。 逆向验证：写出通项后，代入n=1,2,3验证是否符合。 回归模型：最终规律多为等差、等比、二次、周期四类模型。 ◇题型 01 数字数列规律 方｜法｜提｜练 1. 等差数列：通项公式 ，求和公式 （为首项，d为公差） 2. 等比数列：通项公式 （q≠0，q为公比） 3. 平方/立方数列：（平方）、（立方） 4. 符号交替：（偶正奇负）、（奇正偶负） 5. 二阶数列：二次作差为常数，设 ，代入3项求解 6. 裂项相消：核心式 、 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 典例2（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 变式2（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下： ，，，， ，… 按照以上规律，完成下列问题： (1)______； (2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例； (3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）． ◇题型 02 循环规律 方｜法｜提｜练 循环规律：找到周期T，第n项对应n÷T的余数（余0对应周期末项） 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 变｜式｜巩｜固 变式1观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 变式2如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点坐标是__________． 变式3（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为________ 变式4（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是______． ◇题型 03 数阵 / 数表规律 方｜法｜提｜练 数阵/数表：观察横行、竖列、对角线规律（如杨辉三角） 典｜例｜精｜析 典例1（2026·湖北十堰·一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： (1)写出的展开式的第四项为________； (2)在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则________； (3)小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（）具有一次函数关系；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则________； (4)小慧所在的“发现者”小组则发现展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出展开式第一项为________，第二项为________； ②请写出的展开式第三项：________； ③计算________． 典例2（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·江西上饶·一模）观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（    ） A．32 B．45 C．1013 D．1014 变式2（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 变式3（2026·广西玉林·一模）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“型框”框住四个数． (1)用含的代数式表示__________；__________． (2)【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． (3)【迁移运用】是否存在这样的型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． ◇题型 04 图形计数规律 方｜法｜提｜练 1. 计数规律：图形个数、线段/角/三角形数量，转化为数字规律求解 2. 递变规律：图形边长、面积、周长的增量规律，多为等差型 3. 坐标规律：分别分析横、纵坐标的变化规律，再组合通项 4. 操作规律：折叠、旋转中找不变量（对称轴、旋转中心），提炼规律 典｜例｜精｜析 典例1（2026·重庆·模拟预测）小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（    ） A．44 B．49 C．54 D．59 典例2（2026·重庆·二模）用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图⑧需要小木棒的根数是（    ） A．31 B．36 C．41 D．46 典例3（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·重庆大渡口·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（   ） A．53 B．69 C．85 D．100 变式2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 变式3（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 变式4（2026·安徽阜阳·一模）下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的． (1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个． (2)有没有可能黑点比白点少2025个?如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由． ◇题型 05 坐标规律 方｜法｜提｜练 分别分析横、纵坐标规律→组合通项。 典｜例｜精｜析 典例1（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 典例2（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 变式3（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 变式4（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． ◇题型 06 代数式/等式规律 方｜法｜提｜练 1. 等式结构：分离“不变部分”与“随n变化部分”，用n表示变量 2. 代数式递推：整式、分式、根式的通项表达，结合数字规律 3. 数学文化：杨辉三角、斐波那契数列（） 典｜例｜精｜析 典例1（2026·江苏苏州·模拟预测）观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 典例2（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江佳木斯·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为______． 变式2（2025·宁夏银川·一模）观察以下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为__________． ◇重难 01 综合规律（高频压轴） 方｜法｜提｜练 1. 函数关联：一次/二次函数背景下的动点、坐标规律 2. 跨学科融合：结合生活、科技情境，转化为数学规律 3. 操作探究：拼图、折叠、旋转中的规律提炼，分步拆解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 典例2（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 变式2（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 变式3（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． ◇测能力 1．（2026·陕西西安·一模）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形：第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点，…，按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是__________个． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，是由同样大小的铜币按一定的规律组成的图案，第1个图案有3个铜币，第2个图案有5个铜币，第3个图案有7个铜币，…，则第______个图案有21个铜币． 3．（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有________个． 4．（2025·宁夏固原·三模）如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是_______． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2）．观察图1、图2，请你探究出三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律，并用这个规律，写出图3幻方中的值：________． 6．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 7．（2025·陕西商洛·二模）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是______． 8．（2026·陕西西安·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，●代表氧原子，代表氢原子．第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． ◇提能力 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是______． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 4．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 5．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 6．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 7．（2026·安徽·二模）综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 图形 算式 图形 算式 8．（2026·安徽芜湖·一模）【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 规律探究题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 高频易错点规避方法 【考点02】 解题大招秒杀技巧 【考点03】 综合题突破策略 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】数字数列规律 【题型02】循环规律 【题型03】数阵 / 数表规律 【题型04】图形计数规律 【题型05】坐标规律 【题型06】代数式/等式规律 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】综合规律（高频压轴） 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 规律探究题是中考数学高频考点，侧重考查观察、归纳、推理、建模能力，是区分度较高的题型。 关键能力与思维瓶颈 1. 必备关键能力 · 观察分析能力：快速识别 “变” 与 “不变”，捕捉相邻项、项数与项值关系。 · 归纳推理能力：从特殊到一般，猜想通项 / 规律表达式。 · 数学建模能力：将图形 / 情境转化为数列、函数模型。 · 验证反思能力：代入前几项验证规律，修正错误。 · 运算转化能力：符号处理、裂项、作差 / 作商、周期计算。 2. 常见思维瓶颈 · 观察片面：只看表面，忽略二阶差、奇偶项、周期等深层规律。 · 归纳不准：通项公式写错、项数 / 周期计算错误（如余数为 0 对应末项）。 · 数形脱节：图形规律不会转化为数字规律，坐标规律不会建模。 · 畏难情绪：复杂规律不敢尝试，缺乏 “大胆猜想、小心验证” 的意识。 · 步骤缺失：只写结果，不写规律推导，导致逻辑漏洞。 命题前瞻与备考策略 1. 题型与难度 · 形式稳定：以选择、填空为主，少量出现在解答题前半段，分值 2-5 分。 · 难度平稳：基础题（等差 / 等比、简单图形）+ 中档题（混合、循环、数阵）+ 少量压轴（坐标 / 函数 / 综合），无偏题怪题。 2. 命题趋势 · 素养导向：强化数学抽象、逻辑推理、数学建模，弱化机械记忆。 · 情境化：结合生活、科技、数学文化（如杨辉三角、点阵），体现应用价值。 · 综合化：与函数、几何、坐标、新定义融合，考查知识迁移。 · 创新化：跨学科、操作探究、开放探究题增多，答案不唯一。 3.备考策略 · 分类突破：按数字、图形、坐标、综合四大模块，逐个攻克。 · 错题复盘：整理易错点（项数、周期、符号、裂项），形成错题本。 · 方法提炼：总结拆分数法、分组定位、二次作差、余数定位、数形转化等大招。 ◇考点 01 高频易错点规避方法 易错类型 具体错误表现 规避方法 项数计算错误 从第m到第n项，误算项数为n-m 牢记：项数=n-m+1（例：5-15共11项） 周期余数错位 余数为0时，误对应周期第一项 余数为0→对应周期最后一项，余数1→第一项 符号规律混淆 分不清与的符号 代入n=1验证：n=1时，， 裂项相消错误 漏写系数，如误将写成 牢记系数匹配，拆分后通分验证 图形计数漏算 数图形时重复或遗漏，规律提炼错误 按顺序数（从少到多），数前3-4项，转化为数字规律验证 通项验证缺失 写出通项后，不代入前几项验证，导致错误 必代入n=1,2,3验证，不符合则修正通项 数形脱节 图形规律不会转化为数字规律，坐标规律不会建模 先数图形个数/坐标数值，转化为数字数列再求解 ◇考点 02 解题大招秒杀技巧 拆分数法：混合规律拆成符号 + 数字 + 结构三部分，分别找规律再组合。 二次作差法：一阶差无规律，作二阶差，若为常数则是二次函数型。 分组定位法：周期 / 分组规律，先定组，再定组内位置。 余数定位法：循环问题用 “总数 ÷ 周期”，余数定项。 数形转化法：图形规律先数个数，转化为数字规律求解。 待定系数法：二阶数列设 ，代入 3 个值解方程组。 ◇考点 03 综合题突破策略 分步拆解：复杂题拆成 “数字 + 图形 + 坐标 + 函数” 小模块。 特殊值代入：先算前几项，找规律再推广。 逆向验证：写出通项后，代入n=1,2,3验证是否符合。 回归模型：最终规律多为等差、等比、二次、周期四类模型。 ◇题型 01 数字数列规律 方｜法｜提｜练 1. 等差数列：通项公式 ，求和公式 （为首项，d为公差） 2. 等比数列：通项公式 （q≠0，q为公比） 3. 平方/立方数列：（平方）、（立方） 4. 符号交替：（偶正奇负）、（奇正偶负） 5. 二阶数列：二次作差为常数，设 ，代入3项求解 6. 裂项相消：核心式 、 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 典例2（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 变式2（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下： ，，，， ，… 按照以上规律，完成下列问题： (1)______； (2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例； (3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）． 【答案】(1)15 (2)真命题，理由见解析 (3)24 【分析】（1）根据题中示例解答即可． （2）根据题意得出，再根据和一定有一个偶数，得出是整数，即可证明． （3）若或，求出，分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得后一个数比前一个数依次多， 故； （2）解：真命题； 证明：， 和一定有一个偶数， 是整数， 一定是8的倍数加1，得证． （3）解：若，则， 若，则， 分析奇偶性： ①若为偶数，，则，是24的倍数； ②若为奇数，为偶数，即，则，仍是24的倍数， 所以是24的倍数加1． ◇题型 02 循环规律 方｜法｜提｜练 循环规律：找到周期T，第n项对应n÷T的余数（余0对应周期末项） 典｜例｜精｜析 典例1（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 典例2（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 【答案】 正数 B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处． 【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应， ∴A处是正数；每4个数为一组循环， ∵， ∴2025排在对应的B处， 故答案为：正数，B． 变｜式｜巩｜固 变式1观察下列算式：①；②；③；………，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故答案为：． 变式2如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点坐标是__________． 【答案】 【分析】先分别求出A1的坐标是（-1，-3），A2的坐标是（-5，1），A3的坐标是（1，7），A4的坐标是（9，-1），从中找出规律，依规律计算即可． 【详解】解：从图中可以看出A1的坐标是（-1，-3）；A2的坐标是（-5，1）；A3的坐标是（1，7） A4的坐标是（9，-1）； 由题意可知，∵2021÷4=503…1， ∴点A2021的坐标是A1的坐标循环后的点． 依次循环则A2021的横坐标是， A1，A5，A,9……，纵坐标是可以用（n为自然数）表示． 当时， ∴． ∴A2021的坐标是； 故答案为：． 变式3（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 变式4（2025·湖南娄底·一模）在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，点坐标规律探究，数形结合是解答本题的关键．作于点H，求出舞动了100米时所在位置是点E．求出米，米，进而可求出点E的坐标． 【详解】解：作于点H， ∵， ∴舞动了100米时所在位置是点E． ∵菱形的边长为1米，， ∴米， ， ∴米，米， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为， ∴舞动了100米时所在位置的坐标是． 故答案为：． ◇题型 03 数阵 / 数表规律 方｜法｜提｜练 数阵/数表：观察横行、竖列、对角线规律（如杨辉三角） 典｜例｜精｜析 典例1（2026·湖北十堰·一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： (1)写出的展开式的第四项为________； (2)在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则________； (3)小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（）具有一次函数关系；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则________； (4)小慧所在的“发现者”小组则发现展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出展开式第一项为________，第二项为________； ②请写出的展开式第三项：________； ③计算________． 【答案】(1) (2)6 (3)①一致；验证见解析；②20； (4)①；；②；③或1000000000 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、因式分解法解一元二次方程、数字类规律探索 【分析】（1）根据题意可得的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，即可求解； （2）根据题意得的展开式各项系数和，再结合，即可求解； （3）①根据题意得：m是第五行第三个数，即10，再把代入计算即可；②根据题意，列出方程，即可求解； （4）①根据题中规律解答即可；②根据题意可得第n行第3个数为，即可求解；③ 根据题意可把原式变形为即可求解． 【详解】（1）解：的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，为：1，6，15，20，15，6，1，， ∴第四项为； （2）解：根据题意得的展开式各项系数和， ∵少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，且， ∴； （3）解：①一致，验证如下： 根据题意得：m是第五行第三个数，即10， 当时，， ∴函数m的值与“杨辉三角形”中的值一致； ②∵展开式第三项的系数为190， ∴，即， 解得：（舍去）， 即； （4）①展开式第一项为，第二项为； ②根据题意得：每一行的第3个数依次为1，3，6，10，15，……， 由此发现，第n行第3个数为， ∴的展开式第三项的系数为：， ∴的展开式第三项为； ③． 典例2（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·江西上饶·一模）观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（    ） A．32 B．45 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于2025，解得为正整数即成立，否则舍去． 【详解】解：根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：，若，解得，为正整数，符合题意； 下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，都不为正整数，舍去． 变式2（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式3（2026·广西玉林·一模）综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“型框”框住四个数． (1)用含的代数式表示__________；__________． (2)【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． (3)【迁移运用】是否存在这样的型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式、计算多项式乘多项式 【分析】（1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）结合（2）中可求出，然后根据b、c是正整数即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，理由如下： ∵， ∴； （3）解：假设存在， ∵，， ∴， ∴， ∵b、c是正整数， ∴， ∴不符合题意， ∴不存在． ◇题型 04 图形计数规律 方｜法｜提｜练 1. 计数规律：图形个数、线段/角/三角形数量，转化为数字规律求解 2. 递变规律：图形边长、面积、周长的增量规律，多为等差型 3. 坐标规律：分别分析横、纵坐标的变化规律，再组合通项 4. 操作规律：折叠、旋转中找不变量（对称轴、旋转中心），提炼规律 典｜例｜精｜析 典例1（2026·重庆·模拟预测）小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（    ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】C 【分析】根据前几个图形，发现腰果仁的粒数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①组腰果仁的粒数为， 第②组腰果仁的粒数为， 第③组腰果仁的粒数为， ， ∴第n组腰果仁的粒数为， ∴第⑪组腰果仁的粒数为． 典例2（2026·重庆·二模）用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图⑧需要小木棒的根数是（    ） A．31 B．36 C．41 D．46 【答案】C 【分析】通过观察图形，分析出后一个图形比前一个图形多 5 根小木棒，从而得出第个图形所需小木棒根数，最后将代入计算即可． 【详解】解：由图可知：图①需要小木棒的根数为：； 图②需要小木棒的根数为：； 图③需要小木棒的根数为：； ； 第个图形需要小木棒的根数为； 当时，需要小木棒的根数为； 故选：C． 典例3（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·重庆大渡口·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（   ） A．53 B．69 C．85 D．100 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律探索，合理找出变化规律是解题的关键． 分析出变化规律后求解即可． 【详解】解：①有5颗棋子，； ②有8颗棋子，； ③有13颗棋子，； ④有20颗棋子，； ∴⑨有颗棋子； 故选：C． 变式2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 变式3（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 变式4（2026·安徽阜阳·一模）下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的． (1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个． (2)有没有可能黑点比白点少2025个?如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)16； (2)有可能， 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）由前3个图形中白点、黑点的个数得到规律，即可得到答案； （2）根据（1）的结果列方程求解解答即可. 【详解】（1）解：第1个图中白点1个，黑点1个， 第2个图中白点 个，黑点个， 第3个图中白点个，黑点个， ∴第4个图中白点，黑点个， 第n个图中白点个，黑点个， ∴第个图形中，白点和黑点总数的和为， 故答案为：16，； （2）解：有可能， 由题意，得， 解得，， ∵n是正整数， ∴， ∴黑点比白点有可能少2025个. ◇题型 05 坐标规律 方｜法｜提｜练 分别分析横、纵坐标规律→组合通项。 典｜例｜精｜析 典例1（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 典例2（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解． 【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4， ∵，由图可知，为循环周期， ∴的坐标为，即为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 变式3（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 变式4（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． ◇题型 06 代数式/等式规律 方｜法｜提｜练 1. 等式结构：分离“不变部分”与“随n变化部分”，用n表示变量 2. 代数式递推：整式、分式、根式的通项表达，结合数字规律 3. 数学文化：杨辉三角、斐波那契数列（） 典｜例｜精｜析 典例1（2026·江苏苏州·模拟预测）观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律的探究．通过观察已知等式，左边均为连续整数的平方差，右边均为奇数，且与序号n相关，推导出第n个等式即可求解． 【详解】解：∵，，，，…… ∴第n个等式为， 故答案为：． 典例2（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·黑龙江佳木斯·二模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意推导一般性规律即可． 【详解】解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为：， 故答案为：． 变式2（2025·宁夏银川·一模）观察以下等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为__________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．根据前几个等式左右式子的变化，进而可得结论． 【详解】解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：， …… 按照以上规律，第n个等式为， 故答案为： ◇重难 01 综合规律（高频压轴） 方｜法｜提｜练 1. 函数关联：一次/二次函数背景下的动点、坐标规律 2. 跨学科融合：结合生活、科技情境，转化为数学规律 3. 操作探究：拼图、折叠、旋转中的规律提炼，分步拆解 典｜例｜精｜析 典例1（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 典例2（2025·吉林长春·二模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据： 1 2 3 4 5 6.8 8.6 10.4 (1)请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； (2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； (3)如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度． 【答案】(1)在给定的平面直角坐标系中描出相应的点，见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接在平面直角坐标系中描点； （2）利用待定系数法求解，并检验； （3）先求出增中一个型碗增加的度数，再结合（2）求得的一次函数表达式求解． 【详解】（1）解：如图． （2）观察发现描出的各点在同一条直线上， 设这条直线的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：. 这条直线对应的函数表达式为； 检验：当时，； 当时，． 表中所有数据都满足函数，所以这些点在同一条直线的图象上； （3）∵把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm， ∴每增加一个型碗，高度增加为（）， ∴个型碗增加的高度为（）， ∴一个型碗的高度为（）， ∵由（1）可知型碗满足函数， ∴把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，这些碗的总高度为（）． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 变式2（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【知识点】数字类规律探索、分式乘除混合运算 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个 变式3（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． ◇测能力 1．（2026·陕西西安·一模）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形：第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点，…，按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是__________个． 【答案】 【分析】根据图形总结规律：第幅图中圆点的个数为，即可得解． 【详解】解：由题意可知，第一幅图3个圆点，， 第二幅图7个圆点， 第三幅图11个圆点， 第四幅图15个圆点，， … 观察发现，第幅图中圆点的个数为， 则第一百幅图中圆点的个数是个． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，是由同样大小的铜币按一定的规律组成的图案，第1个图案有3个铜币，第2个图案有5个铜币，第3个图案有7个铜币，…，则第______个图案有21个铜币． 【答案】10 【分析】仔细观察每一个图形中铜币的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图1有个铜币； 图2有个铜币； 图3有个铜币； 图4有个铜币； … 图n有个铜币， 当， 解得：． 3．（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有________个． 【答案】38 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：由图形可得：第①个图形有个， 第②个图形有个， 第③个图形有个， 第④个图形有个， …， 故第⑩个图形有个, 故答案为：． 4．（2025·宁夏固原·三模）如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是_______． 【答案】10 【分析】本题考查图形规律探索．由图可得，甲烷中“”的个数是；乙烷中“”的个数是；丙烷中“”的个数是；按此规律即可求解． 【详解】解：由图可得，甲烷中“”的个数是； 乙烷中“”的个数是； 丙烷中“”的个数是； 则可知丁烷中“”的个数是． 故答案为：． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2）．观察图1、图2，请你探究出三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律，并用这个规律，写出图3幻方中的值：________． 【答案】4 【分析】本题考查了数字类的规律、代数式的求值，解一元一次方程，找到三阶幻方中数和数之间的数量关系所呈现的规律是解题的关键．观察图2可得三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，根据这个规律，结合图3即可求解． 【详解】解：观察图2可得三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， 用这个规律，由图3得，， ． 故答案为：4． 6．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 7．（2025·陕西商洛·二模）著名数学家华罗庚曾经谈到我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是其中一例．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，找到每行第三个数的规律是解题的关键．通过观察发现，从第三行开始，每行的第三个数是 ，由此求解即可． 【详解】解：第三行的第三个数是， 第四行的第三个数是， 第五行的第三个数是， ， 第行的第三个数是 第行的第三个数是， 故答案为：． 8．（2026·陕西西安·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，●代表氧原子，代表氢原子．第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第种化合物有个氢原子，据此解答即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第种化合物有个氢原子， 第种化合物有个氢原子， 第种化合物有个氢原子， 第种化合物有个氢原子， ， ∴第种化合物有个氢原子， 当时，， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是， 故答案为：． 9．（2026·山东枣庄·一模）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的性质 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. ◇提能力 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由题意可得旋转三次完成一周，点在第三象限，每变化一次腰长增加，且，，，进而得到点在第三象限，，又由得，利用三角函数求出点到的距离和到的距离即可求解，由已知找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； ， ∵绕点每次顺时针旋转， ∴旋转三次完成一周， ∴点在第三象限， ∵每变化一次腰长增加， ∴，，， ∵， ∴点在第三象限，且， ∵， ∴， ∴点到的距离为，到的距离为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意先求得，，，得出规律，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ ∴直线与坐标轴的夹角为 ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形，为斜边 ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ …… ∴ ∴的坐标为 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 4．（2025·江苏扬州·一模）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)3016；5625 (2)①详见解析；②99 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据上述的运算规律计算，即可求解； （2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到，然后计算出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴另一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴这两个两位数分别为，， 根据题意得：这个运算规律为， 证明：左边 右边， ∴左边右边； ②由①得：， ∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘， ∴新的两个两位数分别为，， ∴ ， ∴ ， ， ∵a，b为正整数， ∴为整数， ∴能被99整除， ∴这个两位数的最大值为． 5．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键． （1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答； （2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 6．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 【答案】(1)9 (2)55 (3)105 (4)336 (5)⑤ ⑥ 【知识点】图形类规律探索、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据题意，得到在的网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为，即可得出结果； （2）易得网格中，“正网格正方形”的个数为， （3）观察可知网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数，进行求解即可； （4）根据（2）（3）规律进行求解即可； （5）根据题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵在网格中，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个）， 在网格中，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）， ∴在的网格中，边长为4的“正网格正方形”有1个，边长为3的“正网格正方形”有（个），边长为2的“正网格正方形”的个数为（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）； （2）解：由题意，可知：网格中，“正网格正方形”的个数为， ∴在网格中，“正网格正方形”的个数共有（个）； （3）解：观察可知：网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数， ∵在网格中，“正网格正方形”的个数共有55个；“斜网格正方形”的个数和50个， ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； ∴在网格中，“斜网格正方形”的个数和105个； （4）解：由（3）结合表格数据可知：在网格中，“斜网格正方形”的个数为个， 在网格中，“正网格正方形”的个数共有个； ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； （5）解：． 设，则 ． 7．（2026·安徽·二模）综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)8 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意求出，时S的值，可得到规律即可解答； （2）根据，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：问题一： 图形 算式 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； （2）解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． 8．（2026·安徽芜湖·一模）【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②；③； (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】（1）①观察图形规律即可求解；②观察图形规律即可求解；③利用①的计算结论即可求解； （2）利用①的计算结论即可求解． 【详解】（1）解：①观察图形知，，， ……， 一般地：， 故答案为：； ②，，，……， 一般地：， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解：． 证明：由（1）得：， ， ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $