第一次月考学情评估检测卷（培优卷） 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

第一次月考学情评估检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第十九章二次根式+第二十章勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需同时满足两个条件：、被开方数不含分母；、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： 、被开方数为，含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，是能开得尽方的平方数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 、被开方数为，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 3．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 4．一个直角三角形的两边长分别为，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分第三边为直角边和斜边两种情况解答即可求解． 【详解】解：当第三边为直角边时，第三边长为； 当第三边为斜边时，第三边长为； 综上，第三边长是或． 5．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 6．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴的整数部分，小数部分 ∵， ∴． 7．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 8．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先利用垂直平分线的性质得到相等线段，再通过两次勾股定理计算出的长度． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ． 在中，，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得：； 9．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 10．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，应满足的条件是___________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件是开方数为非负数得到，根据分式有意义的条件是分母不为0得到，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， 需满足， 解得且． 12．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】将原式变形后，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式化简即可得到结果. 【详解】解： ． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 14．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 15．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 三、解答题（7小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简，合并同类项，再计算除法即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 18．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为H，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为、的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）令等腰三角形的钝角为，则点在边的垂直平分线上，据此即可画图； （3）面积是的正方形的边长为，根据，可以确定正方形的边长是以、为直角边的直角三角形的斜边， 据此画图即可． 【详解】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 21．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用勾股定理可得答案； （2）确定，求出当时，，，再根据三角形面积公式可得答案； （3）如图，设运动时间为时，，得，进一步得，再根据得到关于的方程，求解后可得答案； （4）如图，设运动时间为时，，连接，得，，，，再根据勾股定理推出，得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴边的长为； （2）解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：）， ∴点从点到点的运动时间为：， 点从点到点的运动时间为：， ∴， 当时，，， ∴，此时点在线段上，如图， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，设运动时间为时，， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时点在线段上， ∴， ∴； （4）解：如图，设运动时间为时，，连接， 此时点在线段上， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 解得：． 22．阅读材料：等式，（），（），它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)填空：与______互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为______； (2)比较大小：______；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解； （2）利用分子有理化，然后比较大小即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； （2）解：∵， ， 而， ， 故答案为：； （3）解： ． 23．如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，证明，根据证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出； （2）方法同（1）； （3）分点在上和在的延长线上两种情况，结合勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； 综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为； （2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下： ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴在中，， ∵， ∴； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； ②当点在的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴， ∵在中，， ∴； 综上，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考学情评估检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：第十九章二次根式+第二十章勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 4．一个直角三角形的两边长分别为，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 5．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 6．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 7．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 9．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，应满足的条件是___________． 12．计算的结果是___________． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 14．如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 15．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 三、解答题（7小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 19．已知，，求的值． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． (1)在图①中，画出线段，使； (2)在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； (3)在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 21．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： (1)边的长为______． (2)当时，求的面积． (3)当时，求的长． (4)当时，求的值． 22．阅读材料：等式，（），（），它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)填空：与______互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为______； (2)比较大小：______；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 23．如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为______，并猜想和、之间的数量关系：______； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $