2026年中考数学一轮复习 特殊三角形 分层训练

特殊三角形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析） 一、基础题 1．如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，在RtΔABC中，，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点，交BC于点；（3）用圆规在射线OM上截取．连接AD，AE，BE，过点作，垂足为，交AD于点．下列结论： （1）；（2）；（3）；（4）若，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是　 　m． 6．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是　 　． 7．等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为　 　. 8．某房梁如图所示，立柱AD⊥BC， E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB=AC=8m，则DE的长为　 　m. 9．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证： （1）△ABE≌△DCE； （2）∠EAD＝∠EDA． 10．如图，，，，求的度数． 二、能力题 11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，） 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（　　） A．3 B．2 C．2 D．4 13． 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则（　　） A． B． C． D． 14．七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 15．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　 　. 17．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处.B'C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm，则AD=　 　cm 18．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元．（用含a的代数式表示） 19．已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q．若∠FQP＝45°，则EF的长为　 　 ． 20．如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG. （1） 求证： ； （2） 若 ， 求AG的长. 21．一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米(图中小方格的边长代表1cm)? 22．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到AD的距离； （2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）． 三、拓展题 23．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（　　） A． B． C． D．1 24．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　cm．（结果保留） 25．综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如图， 中， 中， （1）【观察感知】 如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求 的度数和线段AD 的长.（结果保留根号） （2）【探索发现】 在图①的基础上，保持 不动，把 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 ②）. ①求线段AD 的长；（结果保留根号） ②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由. 26．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ． （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵， ∴∠ADC=90°， ∴， 又∵， ∴，即， ∴为直角三角形，故选项A不符合题意； B、 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形，故选项B不符合题意； C、 ∵， ∴， ∴，即为直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵，， ∴，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意． 故答案为：D. 【分析】由垂直的定义可得∠ADC=∠BDC=90°，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断A选项；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得出∠A=∠1，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠BAC=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断B选项；根据勾股定理的逆定理可判断出∠ACB=90°，从而根据有一个内角为直角的三角形是直角三角形可判断C选项；由同角的余角相等推出∠A=∠B，只能说明△ABC为等腰三角形，无法说明是直角三角形，据此可判断D选项. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：在等边三角形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【分析】 先由等腰三角形三线合一知BD＝CD＝3、CE＝BE，再由等边对等角结合三角形的内角和可得是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：因为以为圆心，长为半径作弧交于，所以 ， 又因为，所以是等边三角形， ， 已知， 则. 故答案为：D . 【分析】根据作图可知，结合判定为等边三角形，求出长度，再用得到. 4．【答案】（1）D 【解析】【解答】解：由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线， 点0是线段AB的中点，． ∴点G，F分别是AD，AC的中点． ．故（1）正确； 又 ∴四边形ADBE是菱形． 在Rt中， ∴。故（2）正确； ．故（3）正确； ∴． 在Rt中，． 设 ∴解得． 四边形ADBE的周长为25．故（4）正确． 故选D 【分析】由题意可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点0是线段AB的中点，，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角中位线定理可判断（1）；根据菱形判定定理可得四边形ADBE是菱形，根据直角三角形斜边上的中线等斜边的一半可得，再根据勾股定理可判断（2）；根据三角形面积可判断（3）；根据勾股定理可得，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可判断（4）. 5．【答案】12 【解析】【解答】解∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m， ∴另一直角边长=， 故梯子可到达建筑物的高度是12m． 故答案是：12． 【分析】以梯子的长度为斜边，地面与墙分别两直角边构造直角三角形，再用勾股定理求解即可． 6．【答案】或 【解析】【解答】 解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 【分析】可分为两种情况：当的角为顶角时，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为40°；当的角为底角时首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可得出∠A=80°，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出答案为10°。 7．【答案】15 【解析】【解答】解：当3为腰长时 ∵3+3=6 ∴不能构成三角形 当6为腰长时 等腰三角形周长为：6+6+3=15 故答案为：15 【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系分情况讨论，即可求出答案. 8．【答案】4 【解析】【解答】解： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵E是AB的中点， ∴DE=0.5AB=4， 故答案为：4. 【分析】 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算. 9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS） （2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE， ∴AE＝DE， ∴∠EAD＝∠EDA． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE； （2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA． 10．【答案】解：， ， ，， ， ，， ， ． 【解析】【分析】根据题意先求出，再根据三角形的内角和定理求出，最后计算求解即可. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示： ∵点A（1，0）， C（1，2）， ∴ ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2， ∵BD⊥AC， ∴AD=CD=，点D（1，） ∴BD=3， ∴点B（-2，）， ∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，）， 故答案为：A. 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=6， 点E是BC的中点， ∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°， 由折叠得AF=AB， FE=BE=3， ∠AFE=∠B=90°， ∴AF= AD， ∠AFG =∠D = 90°， 在Rt△AFG和Rt△ADG中， ∴ Rt△AFG ≌ Rt△ADG(HL)， ∴FG=DG， 且CG=6-DG， EG=3+FG=3+DG， 解得DG=2， 故答案为： C. 【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C =90°， 则. =3， 由折叠得AF= AB， FE = BE =3， ∠AFE=∠B=90°， 可证明Rt△AFG≌ Rt△ADG， 得FG=DG， 利用勾股定理求得DG=2， 即可求出AG长解答即可. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ AB＝AC＝5， D为BC的中点， BC＝6， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=3， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=∠ADC=90°， ∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°， ∵∠AOE=∠COD， ∴∠EAD=∠OCD， ∴△ADB∽△CDO， ∴， 故答案为：B . 【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【分析】由等腰直角三角形的性质得，根据平行得，即可得到解答即可． 15．【答案】D 【解析】【解答】解：设AB=a 在图甲中 ∵∠A=∠B=60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC=BC=AB=a ∴甲行走的路程=AC+BC=2a 在图乙中 AE+BE=AB=a ∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60° ∴△DAE和△FEB都是等边三角形 ∴AD=DE=AE，DF=FB=EB ∴乙行走的路程=AD+DE+DF+FB=2(AE+BE)=2a 在图丙中 延长AG，BH交于点P ∵∠A=∠B=60° ∴AP=AB=a ∵GH<PG+PH ∴AG+GH+HB<AG+GH+PG+PH=PA+PB=2a ∴丙行走的路程为=AG+GH+HB<2a ∴ 故答案为：D 【分析】设AB=a，分别在三个图中，结合三角形判定定理及性质，三角三边关系求出三人行走的路线，再比较大小即可求出答案. 16．【答案】BE=BC 【解析】【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可以添加BE=BC， 理由：∵CE∥DA， ∴∠A=∠BEC， ∵BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE， ∵∠A=∠B， ∴∠B=∠BEC=∠BCE， ∴△BEC是等边三角形. 故答案为：BE=BC. 【分析】利用平行线的性质和等边对等角可证得∠A=∠BEC=∠BCE，结合已知条件可推出∠B=∠BEC=∠BCE，由此可证得结论. 17．【答案】12 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，为等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵把平行四边形纸片沿对角线折叠，点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12. 【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得，，，从而得，由折叠的性质求出，进而得，最后利用含30°的直角三角形的性质求出的值. 18．【答案】 【解析】【解答】解：如图，作的延长线于， ∴， ∴， ∴购买这种草皮至少需要（元）， 故填：． 【分析】如图，作的延长线于，则，，根据购买这种草皮至少需要，计算求解即可． 19．【答案】2 【解析】【解答】解：在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4 在△ABM和△MCP中 ∴△ABM≌△MCP(SAS) ∴∠BAM=∠CMP，AM=MP ∴∠AMP=90° ∴△AMP是等腰直角三角形 ∴∠MAP=45° ∵∠FQP=45° ∴∠MAP=∠FQP ∴AM∥EF ∵AE∥MF ∴四边形AEFM是平行四边形 ∴EF=AM ∴ 故答案为：2 【分析】在BC上找一点M，使得BM=2，连接AM，PM，则MC=BC-BM=4，根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△MCP(SAS)，则∠BAM=∠CMP，AM=MP，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AMP是等腰直角三角形，则∠MAP=45°，根据直线平行判定定理可得AM∥EF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AEFM是平行四边形，则EF=AM，再根据勾股定理即可求出答案. 20．【答案】（1）证明：由折叠可得 四边形是正方形， 在和中 ； （2）解： ∵∴ ∵E是BC的中点 ∴ ∵∴ 设 ∴ 在Rt△GBE中 ∵（勾股定理） ∴ 解得 ∴. 【解析】【分析】(1)已知折叠后FC=DC，且DC=AD，结合公共边DC和直角条件，可利用HL定理证明全等； (2)已知 ，需通过坐标系或几何关系求AG的长度，通过折叠后的对称性确定点F坐标，进而求出EF的方程，找到与AB的交点G，计算AG的距离. 21．【答案】解：所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28cm.故本题答案为28cm. 【解析】【分析】本题要运用3次勾股定理的运算，分别求AB，BC，CD，最后求和计算答案. 22．【答案】（1）解：过点B作BE⊥AD于点E，如图 在Rt△ABE中， ∵∠A=30° ∴ 即点B到AD的距离是20m. （2）解：由(1)可知 在△ABD中，由三角形的外角性质可知 ∴ ∵BE⊥AD ∴△BDE是等腰直角三角形 ∴DE=BE=20m ∴AD=AE+DE= 在Rt△ACD中， ∵∠A=30° ∴ 【解析】【分析】(1)首先构造出点B到AD的距离(即线段BE)，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长度； (2)在(1)的基础上求出AE的长度，利用三角形的外角性质求出，证明△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE的长度，进而求出AD的长度，再次利用含30°角的直角三角形的性质可求CD的长度。 23．【答案】D 【解析】【解答】解：∵顶角A的正对记作，这时，且 ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】根据顶角的正对的定义，结合等边三角形三边关系即可求解. 24．【答案】30π 【解析】【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60° ∴ ∴这个“莱洛三角形”的周长是3×10π=30π 故答案为：30π 【分析】根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°，再根据弧长公式即可求出答案. 25．【答案】（1）解：根据题意， 可得， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图3， 过点作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②， 理由如下： ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出的度数，解直角三角形得的长，最后求的长即可； （2）①过点作于，求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而利用勾股定理得，，进而求的长即可； ②根据等腰直角三角形的性质得，从而得，即可得证. 26．【答案】（1）①是；②50，③10， （2）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形， ∴和互为“旋转位似图形”。 （3）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，。 【解析】【解答】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转位似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． 【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义，即可判断。 ②根据“旋转位似图形”易得，根据 ，易得，最后再根据三角形内角和定理：，代入数据即可求解。 ③根据（1）易得，然后再根据相似三角形的性质，可得 ，代入数据，求出AC的值，根据 ，易证，最后再根据相似三角形的性质： ，代入数据，即可求解。 （2）根据 ，易证，然后再根据相似三角形的性质，可得，进而易证，根据 ，可证 ，进而可得 ，最后根据“旋转位似图形”的定义即可证明结论； （3）过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质和正弦函数的定义，可得AG和AB的值，然后再根据“旋转位似图形”的定义可得，然后再根据相似三角形的性质： ，代入数据即可求出AE的值，根据，然后再根据正弦函数的定义：，代入数据求出的值、，然后再根据，最后运用勾股定理：，代入数据即可求解。 （1）解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转位似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． （2）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形， ∴和互为“旋转位似图形”． （3）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $