2026年中考数学一轮总复习 二次函数压轴题（特殊三角形问题）综合类题型训练

2026年中考数学总复习二次函数压轴题（特殊三角形问题）综合类题型训练 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； 3．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 7．综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． (1)A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； (2)求抛物线的解析式； (3)点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； (4)在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 8．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 10．如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）： ①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由； ②求出面积的最大值及此时的点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限． (1)如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式； (2)平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点． ①若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的横坐标； ②取的中点，连接，，试探究是否存在最大值？若存在，直接写出该最大值；若不存在，请说明理由． 12．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； (3)当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为 ； (4)抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为 ． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 2．(1) (2)的最大值为11，此时． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）过P点作轴交直线于H，由二次函数的性质可得出，对称轴为直线，再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到，再运用待定系数法求出直线的解析式为：，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过P点作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴，， ∴ ∴当时，即时，的最大值为11． 3．(1) (2)8 (3)存在，点D坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 4．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 5．(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 6．(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． 7．(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)抛物线的解析式为 (3)当时，的面积最大，最大值是9 (4)存在点或，使为直角三角形 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）过点P作轴于D，交于点E，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出，利用配方法即可解决最值问题； （4）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点Q的坐标为，则，，，分、及三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：6，0；0，； （2）解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：过点P作轴于D，交于点E，如图1所示． 设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是9； （4）解：当时，有， 解得：，， ∴点C的坐标为， 设点Q的坐标为， 则，，， 分以下三种情况讨论： 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 方程无解． 综上所述：在直线上存在点或，使为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及勾股定理． 8．(1) (2)，的最大值为 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）设二次函数的解析式为，将、、代入解析式计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，由题意可得，，得到，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）由（2）可得，，，由勾股定理可得，，结合为等腰三角形，分三种情况：当时，；当时，；当时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将、、代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将、代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时， ∴； （3）解：由（2）可得：，，， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，两点重合，不符合题意； 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点,，符合题意； 当时，，此时点,，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊三角形问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 10．(1) (2)①为直角三角形，理由见解析；②面积的最大值，此时 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求二次函数解析式，二次函数与直角三角形，二次函数与面积综合； （1）把代入计算即可； （2）①设直线下方的抛物线上有一点动点，过作轴于，先求出，当点M是抛物线的顶点，，此时，得到，再结合，得到，即可得到为直角三角形； ②由结合得到，当时，最大，此时． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：令，解得， ∴，， ∴， 设直线下方的抛物线上有一点动点， 过作轴于， ①为直角三角形，理由如下： ∵的顶点，点M是抛物线的顶点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； ②∵在直线下方， ∴，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∴． 11．(1) (2)①或或或；②存在最大值，最大值为 【分析】（1）利用两点距离计算公式可得，则根据等腰直角三角形的定义和勾股定理可推出，设，则，解方程组可求出点B的坐标，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式； （2）①求出直线解析式为；设平移后点P的坐标为，则平移后的抛物线解析式为，则可求出，得到；可求出点B到直线的距离为；当点P为直角顶点时，，则可得到此时点M和点B到直线的距离都为，故，求出直线的解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为或；同理可得当点Q为直角顶点时， 点M的坐标为或；当点M为直角顶点时，可求出，则可求出点M到的距离为；取的中点F，连接，则，可证明点F到的距离等于点M到的距离，则，同理可求出点M的坐标为 ②如图所示，取的中点F，连接，则，由三角形中位线定理可得，可证明四边形是平行四边形，得到；作点B关于直线的对称点，连接，可证明点在y轴上，则；要使有最大值，则有最小值，即要有最小值，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且点B为直角顶点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得或， ∵点B在第四象限， ∴， ∴， ∵抛物线过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵顶点在直线上滑动， ∴可设平移后点P的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 由（1）可知， ∴， 设点B到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， 当点P为直角顶点时，， ∴此时点M和点B到直线的距离都为， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 当点Q为直角顶点时，， ∴此时点M和点B到直线的距离都为， ∴， 同理可得点M的坐标为或； 当点M为直角顶点时，则， ∴， ∴， 设点M到的距离为， ∴ ∴， ∴， ∴点M到的距离为； 如图所示，取的中点F，连接，则， ∴， ∴点F到的距离等于点B到的距离的一半， ∴点F到的距离等于， ∴点F到的距离等于点M到的距离， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或； ②如图所示，取的中点F，连接，则， ∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，作点B关于直线的对称点，连接， ∵， ∴， 由对称性可得， ∴， ∴， ∴点在y轴上， ∴； ∵， ∴要使有最大值， ∴有最小值， ∴要有最小值， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 13．(1)，顶点D坐标为 (2)存在， (3)点E坐标为或或或 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 14．(1) (2)当时， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； （3）解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； （4）解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $