专题21.1 四边形与多边形及其内角和（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.1 四边形与多边形及其内角和 教学目标 1. 掌握四边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。 2. 掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。 3. 掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。 教学重难点 1. 重点 （1）四边形及其内角和与外角和； （2）多边形及其内角和与外角和； （3）正多边形及其相关计算。 2. 难点 （1）探索多边形的对角线分多边形的数量问题； （2）多边形截角的分类讨论； （3）与多边形及其多边形的组合图形有关的计算。 知识点01 四边形及其内角和 1. 四边形及其相关概念： 名称 定义 图示 四边形 在平面内，由不在同一直线上的四条线段收尾顺次连接 组成的图形。如图中有四边形ABCD 边 组成四边形的各条线段是四边形的边。 四边形ABCD的边是AB、BC、CD、AD 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点。 四边形ABCD的顶点是点A、B、C、D 对角线 连接四边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做四边形的对角线。 四边形ABCD的对角线是AC与BD（未连接） 内角 四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角。 四边形ABCD的内角是∠A、∠B、∠C、∠ADC 外角 四边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四边形的外角。 四边形ABCD的一个外角是∠ADE 2. 四边形的内角和与外角和： 四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°。 3. 四边形的不稳定性： 四边形是不稳定的，在生活中常用到四边形的不稳定性质。如伸缩门... 【即学即练1】 1．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝　 　 ． 【即学即练2】 2．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 知识点02 多边形及其内角和 1. 多边形及其相关概念： 名称 定义 多边形 在平面内，由n（n≥3）条线段收尾顺次连接的图形叫做n变形 边 组成多边形的各条线段是多边形的边 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做多边形的对角线。 内角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 外角 多边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 凸多边形 画出多边形的任意一边所在的直线，如果整个多边形在这条直线的同一侧，那么这个多边形是一个凸多边形（若没有特别说明，多边形都指的是凸多边形） 正多边形 每条边相等，每个内角也相等的多边形叫做正多边形 2. 多边形的对角线： ...... 总结：一个n边形从一个顶点引出的多边形的对角线条数为 条，多边形所有对角线条数是 条。一个顶点的对角线把多边形分成了 个三角形。 3. 多边形的内角和与外角和： 多边形的内角和计算公式为 ；任意多边形的外角和都等于 。 4. 正多边形及其相关计算： (1) 正多边形的每个内角计算： 因为正多边形的内角和为，每个内角都相等且有个内角，所以正多边形的每个内角度数为： 。 (2) 正多边形的每个外角计算： 正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。 (3) 正多边形的内角与外交关系： ； 【即学即练1】 3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（　　） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【即学即练2】 4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【即学即练3】 5．六边形的内角和为（　　） A．720° B．630° C．540° D．360° 【即学即练4】 6．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　 　 边形． 【即学即练5】 7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（　　） A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【即学即练6】 8．一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为2520°，则原多边形的边数是 　 ． 【即学即练7】 9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 【即学即练8】 10．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 　 　 ． 题型01 根据四边形的内外角和求角度 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝110°，则∠A的度数是（　　） A．110° B．50° C．70° D．35° 【变式1】如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　） A．150° B．180° C．240° D．270° 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【变式3】如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　 °． 题型02 多边形的对角线及其分成三角形问题 【典例1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为　 　 ． 【变式1】过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是 　 　 ． 【变式2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【变式3】已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为　 ． 题型03 多边形的内角和与外角和 【典例1】如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 　 　 ． 【变式1】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【变式2】若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为　 　 °． 【变式3】已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【变式4】若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 题型04 多边形的截角问题 【典例1】一个八边形截掉一角后是　 　 边形． 【变式1】将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为1800°，则原多边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．以上都是 【变式2】如果一个正多边形的每个外角都为45°． （1）求这个正多边形的边数； （2）若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 题型05 实际生活与正多边形 【典例1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 【变式1】足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【变式2】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（　　）s． A．24 B．40 C．80 D．240 题型06 正多边形的组合图形的计算 【典例1】如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为　 　 ． 【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度数是（　　） A．12° B．18° C．24° D．30° 【变式2】如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠1的度数是（　　） A．118° B．122° C．128° D．132° 1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 7．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 8．某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD，将点A向下推，使点B，A，E共线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中（　　） A．内角和减少了360° B．内角和增加了180° C．外角和减少了180° D．外角和不变 9．如图，连接AC，若∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 11．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为　 　 ． 12．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 13．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为　 　 ． 14．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　 　 米． 15．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　 　 ． 16．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 17．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： （1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？ （2）明明求的是几边形的内角和？ （3）多加的那个外角为多少度？ 18．如图是一个五角星． （1）∠1是三角形 的外角，∠2是三角形 的外角． （2）请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 19．请仔细观察图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ① 　 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②　 　 （1）观察探究：请自己观察图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整． （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 20．综合与探究 【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． 【应用】 （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝　 　 ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝　 　 ； （2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 四边形与多边形及其内角和 教学目标 1. 掌握四边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。 2. 掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。 3. 掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。 教学重难点 1. 重点 （1）四边形及其内角和与外角和； （2）多边形及其内角和与外角和； （3）正多边形及其相关计算。 2. 难点 （1）探索多边形的对角线分多边形的数量问题； （2）多边形截角的分类讨论； （3）与多边形及其多边形的组合图形有关的计算。 知识点01 四边形及其内角和 1. 四边形及其相关概念： 名称 定义 图示 四边形 在平面内，由不在同一直线上的四条线段收尾顺次连接 组成的图形。如图中有四边形ABCD 边 组成四边形的各条线段是四边形的边。 四边形ABCD的边是AB、BC、CD、AD 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点。 四边形ABCD的顶点是点A、B、C、D 对角线 连接四边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做四边形的对角线。 四边形ABCD的对角线是AC与BD（未连接） 内角 四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角。 四边形ABCD的内角是∠A、∠B、∠C、∠ADC 外角 四边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四边形的外角。 四边形ABCD的一个外角是∠ADE 2. 四边形的内角和与外角和： 四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°。 3. 四边形的不稳定性： 四边形是不稳定的，在生活中常用到四边形的不稳定性质。如伸缩门... 【即学即练1】 1．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝　180°　 ． 【答案】180°． 【解答】解：∵∠1＝72°，∠2＝108°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝180°﹣108°＝72°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝360°﹣108°﹣72°＝180°， 故答案为：180°． 【即学即练2】 2．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】B 【解答】解：连接AC， ∵BC、CD的垂直平分线交于A点， ∴AB＝AC，AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD， 在△ABC中，∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC， 同理，∠ACD＝90°∠CAD， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝180°（∠BAC+CAD）＝180°∠BAD， ∵∠BAD＝80°， ∴∠BCD＝140°． 故选：B． 知识点02 多边形及其内角和 1. 多边形及其相关概念： 名称 定义 多边形 在平面内，由n（n≥3）条线段收尾顺次连接的图形叫做n变形 边 组成多边形的各条线段是多边形的边 顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做多边形的对角线。 内角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。 外角 多边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 凸多边形 画出多边形的任意一边所在的直线，如果整个多边形在这条直线的同一侧，那么这个多边形是一个凸多边形（若没有特别说明，多边形都指的是凸多边形） 正多边形 每条边相等，每个内角也相等的多边形叫做正多边形 2. 多边形的对角线： ...... 总结：一个n边形从一个顶点引出的多边形的对角线条数为 条，多边形所有对角线条数是 条。一个顶点的对角线把多边形分成了 个三角形。 3. 多边形的内角和与外角和： 多边形的内角和计算公式为 ；任意多边形的外角和都等于 360° 。 4. 正多边形及其相关计算： (1) 正多边形的每个内角计算： 因为正多边形的内角和为，每个内角都相等且有个内角，所以正多边形的每个内角度数为： 。 (2) 正多边形的每个外角计算： 正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。 (3) 正多边形的内角与外交关系： 180° ； 【即学即练1】 3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（　　） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【解答】解：从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线的条数为：14﹣3＝11（条）．故选：A． 【即学即练2】 4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，n﹣2＝7， 解得：n＝9， 即这个多边形是九边形． 故选：C． 【即学即练3】 5．六边形的内角和为（　　） A．720° B．630° C．540° D．360° 【答案】A 【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 故选：A． 【即学即练4】 6．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　六　 边形． 【答案】六． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2， 解得：n＝6，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【即学即练5】 7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（　　） A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【答案】C 【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是7或8或9． 故选：C． 【即学即练6】 8．一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为2520°，则原多边形的边数是 　15　 ． 【答案】15 【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n． 根据题意得：（n﹣2）•180＝2520， 解得：n＝16． 则原来的多边形的边数是16﹣1＝15． 故答案为：15． 【即学即练7】 9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 【答案】B 【解答】解：∠ABC＝180°﹣（360°÷6）＝120°． 故选：B． 【即学即练8】 10．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 　66°　 ． 【答案】66°． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△CDF是等边三角形， ∴CB＝CF＝CD，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD108°， 设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°， 根据题意得：∠CBF+∠BCD+∠CDF+∠BFD＝180°×（4﹣2）， 即x+108+60+x+60＝360， 解得：x＝66， ∴∠CBF＝66°． 故答案为：66°． 题型01 根据四边形的内外角和求角度 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝110°，则∠A的度数是（　　） A．110° B．50° C．70° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝110°， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝70°， ∵∠ABE是四边形ABCD的外角， ∴∠ABE＝110°， ∴∠ABE＝∠D， ∴∠D＝110°， ∴∠A＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠B＝360°﹣70°﹣110°﹣110＝70°． 故选：C． 【变式1】如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　） A．150° B．180° C．240° D．270° 【答案】D 【解答】解：∵∠5＝90°， ∴∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°， ∵∠3+∠4+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°， 故选：D． 【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC（180°﹣∠ABC）＝90°（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 【变式3】如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　100　 °． 【答案】100． 【解答】解：如图， 根据多边形外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4＝360°， ∵∠1+∠2+∠3＝280°， ∴∠4＝360°﹣280°＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣∠4＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100． 题型02 多边形的对角线及其分成三角形问题 【典例1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：过n边形的一个顶点可以画6条对角线， 由题意得n﹣3＝6，解得n＝9． 故答案为：9． 【变式1】过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线， ∴n﹣3＝7， 解得n＝10． 故答案为：10 【变式2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形， ∴n﹣2＝5，即n＝7． 故选：C． 【变式3】已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可以引出（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形可知： 设这个多边形的边数是n，则n﹣2＝10， 解得n＝12， 即这个多边形的边数是12， 故答案为：12． 题型03 多边形的内角和与外角和 【典例1】如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设这个多边形的边数是x， 180×（x﹣2）＝720， 解得：x＝6． 故答案为：6． 【变式1】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【答案】C 【解答】解：设这个多边形为n， 180°（n﹣2）＝360°×4， 解得：n＝10． 故选：C． 【变式2】若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为　120　 °． 【答案】120． 【解答】解：设多边形的内角度数为x， 根据题意得这个内角相邻的外角度数是2x， 所以x+2x＝180°， 解得x＝60°， 所以外角度数是120°， 故答案为：120． 【变式3】已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】D 【解答】解：∵正多边形的一个内角为150°， ∴与这个内角相邻的外角为：180°﹣150°＝30°， ∵正多边形的每个内角都相等， ∴正多边形的每个外角都相等，都为30°， ∵正多边形的外角和为360°， ∴正多边形的本数为：360°÷30°＝12， ∴这个正多边形是正十二边形， 故选：D． 【变式4】若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：∵多边形的内角和为360°，一个多边形的每一个外角都是60°， ∴这个多边形的边数为：360°÷60°＝6． 故选：A． 题型04 多边形的截角问题 【典例1】一个八边形截掉一角后是　7或8或9　 边形． 【答案】7或8或9 【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1， ∴八边形截掉一角后是7或8或9边形， 故答案为：7或8或9． 【变式1】将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为1800°，则原多边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．以上都是 【答案】D 【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1800°， 解得n＝12， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是11或12或13． 故选：D． 【变式2】如果一个正多边形的每个外角都为45°． （1）求这个正多边形的边数； （2）若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和． 【答案】（1）8； （2）1260°． 【解答】解：（1）由题意可得：360°÷45°＝8， 即这个正多边形的边数为8； （2）∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点）， ∴截完角后所形成的多边形为九边形， 则其内角和为：（9﹣2）×180°＝1260°． 题型05 实际生活与正多边形 【典例1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【解答】解：正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为180°﹣45°＝135°． 故选：C． 【变式1】足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】D 【解答】解：根据题意得，足球的一块白色皮块为正六边形， ∴足球的一块白色皮块的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°． 故选：D． 【变式2】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（　　）s． A．24 B．40 C．80 D．240 【答案】C 【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时，正好走了一个正多边形， ∴正多边形边数：n＝360°÷15°＝24， ∴一共走了：24×10÷3＝80s， 故选：C． 题型06 正多边形的组合图形的计算 【典例1】如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为　108°　 ． 【答案】108°． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED108°， 在△ABE和△EAD中， ∵， ∴△ABE≌△EAD（SAS）， ∴∠AEB＝∠EDA， ∴∠DPB＝∠EDA+∠DEP＝∠AEB+∠DEP＝∠AED＝108°， 故答案为：108°． 【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度数是（　　） A．12° B．18° C．24° D．30° 【答案】B 【解答】解：∠BCD＝（5﹣2）×180°÷5＝108°， ∠DCF＝90°， ∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝108°﹣90°＝18°． 故选：B． 【变式2】如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠1的度数是（　　） A．118° B．122° C．128° D．132° 【答案】D 【解答】解：如图， ∵， ∵∠1+∠2+∠3＝360°， ∴∠1＝132°， 故选：D． 1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 180（n﹣2）＝720， 解得：n＝6， 360°÷6＝60°． 故选：B． 2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：9﹣3＝6（条）． 故选：A． 3．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：5+2＝7（边）． 故选：B． 4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得： 180•（n﹣2）＝3×360， 解得n＝8． 故选：C． 5．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：延长FA与直线b交于点H， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠2＝∠H， ∵a∥b， ∴∠3＝∠H， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°， 若∠1＝40°，则∠2的度数是20°． 故选：B． 6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：如图，由正八边形的对称性可知，点O是正八边形的中心， 所以∠DAO∠DOE22.5°， 故选：B． 7．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：设图1中BC，FM交于点G，所以∠FGB＝∠CGM， ∴折叠， ∴图2中，∠CGM＝∠PGC， ∴∠FGB＝∠CGM＝∠PGC， ∵∠FGP＝2∠BGF， ∴∠FGP+∠BGF+∠PGC＝4∠PGC＝180°， ∴∠PGC＝45°． 故选：C． 8．某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD，将点A向下推，使点B，A，E共线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中（　　） A．内角和减少了360° B．内角和增加了180° C．外角和减少了180° D．外角和不变 【答案】D 【解答】解：变化过程中，外角和不变，都是360°，内角和减少了180°． 故选项D正确． 故选：D． 9．如图，连接AC，若∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 【答案】C 【解答】解：设AC和BE交于点F，AD和BE交于点G， ∴∠AGB是△BDG的外角，∠AFE是△EFC的外角， ∴∠AGB＝∠B+∠D，∠AFE＝∠C+∠E， 由条件可知∠AGB+∠AFE＝∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°， ∵∠AGB+∠AFE+∠A＝180°， ∴3∠A+20°+∠A＝180°， 解得∠A＝40°， 故选：C． 10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 【答案】C 【解答】解：由条件可知， ∵AB＝BC， ∴， ∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°， 故选：C． 11．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴m﹣3＝8， ∴m＝11， ∵n边形没有对角线， ∴n＝3， ∴m﹣n＝8． 故答案为：8． 12．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 　144°　 ． 【答案】144° 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴每个内角的度数为：， ∴∠A＝∠E＝108°， ∵∠A+∠E+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣108°﹣108°＝144°， 故答案为：144°． 13．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则∠BAC的度数为　114°　 ． 【答案】114°． 【解答】解：根据题意可知，正五边形的内角为：， 正六边形的内角为：， AB、AC分别平分正八边形与正六边形的一个内角， ∴． 故答案为：114°． 14．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　20　 米． 【答案】20 【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°， 由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边， ∴小明一共走了10×2＝20米， 故答案为：20． 15．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　14　 ． 【答案】14． 【解答】解：用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． ∵D4＝2，， ∴D5＝5， ∵， ∴D6＝14； 故答案为：14． 16．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 【答案】（1）16； （2）5． 【解答】解：（1）由多边形内角和的计算方法可得， 180°×（x﹣2）＝1080°， 解得x＝8， 即这个正多边形为正八边形， 所以正八边形的周长为8×2＝16； （2）由于正八边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°， 正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n的值为5． 17．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： （1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？ （2）明明求的是几边形的内角和？ （3）多加的那个外角为多少度？ 【答案】（1）见解析； （2）十三边形； （3）40°． 【解答】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和； （2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形是十三边形； （3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°． 18．如图是一个五角星． （1）∠1是三角形FCE 的外角，∠2是三角形BDL 的外角． （2）请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【答案】（1）FCE；BDL； （2）180°． 【解答】解：（1）∠1是三角形FCE的外角，∠2是三角形BDL的外角． 故答案为：FCE；BDL． （2）∵∠2＝∠B+∠D，∠1＝∠C+∠E， ∴∠B+∠D+∠C+∠E＝∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠A＝180°， ∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180°． 19．请仔细观察图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①n﹣3　 多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 …… ②　n（n﹣3）　 （1）观察探究：请自己观察图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整． （2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）n﹣3，n（n﹣3）； （2）135个． 【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）； 故答案为：n﹣3，n（n﹣3）； （2）∵3×6＝18， 18×（18﹣3）＝135（个）． 答：数学社团的同学们一共将拨打电话为135个． 20．综合与探究 【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． 【应用】 （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝　120°　 ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝　125°　 ； （2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【答案】（1）120°；125°； （2），理由如下见解析； （3）∠A+∠D＝2∠BPC． 【解答】解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， 由条件可知， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°． 若∠BAC＝70°， ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴，， ∴， ∵∠BAC＝70°， ∴， 故答案为：120°；125°； （2）；理由如下： ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴，， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB ＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ； （3）∠A+∠D＝2∠BPC． 如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，， 由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E， ∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°， ∴ ， 即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $