解三角形：周长与边长最值问题、面积最值问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：周长与边长最值问题、面积最值问题讲义 解三角形：周长与边长最值问题、面积最值问题讲义 考点目录 周长与边长最值问题 面积最值问题 知识点解析 核心原理：利用正余弦定理统一边角，将最值目标式转化为单变量三角函数或代数表达式，结合三角函数有界性/基本不等式/函数单调性求解，全程遵循三角形内角、三边约束条件。 一、周长与边长最值问题 解题思路（2大核心方法，优先三角函数法） 方法1：三角函数法（主流，适配已知一角+对边/邻边关系） 1. 边角互化：设未知角为变量（如，），由正弦定理将所有边表示为该角的三角函数，周长/边长转化为； 1. 化简函数：通过三角恒等变换将化为或形式； 1. 求最值：结合变量定义域，利用函数有界性（）求最值，验证取等条件。 方法2：基本不等式法（适配已知一边+一角，求两边和/积最值） 1. 确定定值条件：如已知边、角，由余弦定理得（定值）； 1. 转化目标：周长，将作为整体，由基本不等式/，结合余弦定理求/的范围； 1. 求最值：代入目标式得周长/边长最值，注意取等条件（，即三角形为等腰时取等）。 关键：边长单独最值需同时满足三边关系（两边之和大于第三边），避免结果超出约束。 二、面积最值问题 核心公式 （优先选已知角对应的面积公式，减少变量）。 解题思路（2大方法，与周长问题适配一致） 方法1：基本不等式法（高频，适配已知一边+一角） 1. 锁定面积公式：如已知角，用，为定值，只需求的最大值； 1. 结合余弦定理：由已知边（如）得，利用基本不等式求（定值）； 1. 求面积最值：将最大值代入面积公式，得，取等条件。 方法2：三角函数法（适配已知两角/边的比例关系，无明确定值边/角） 1. 边角互化：设单变量角，由正弦定理将面积公式中两边化为该角的三角函数，转化为单变量三角函数； 1. 化简求最值：恒等变换后结合三角函数有界性求最值，注意角的定义域。 三、注意事项 1. 所有最值均需验证取等条件（能否构成三角形，即角在、三边满足关系）； 1. 优先选择已知角作为核心变量/面积公式的夹角，减少计算量； 1. 若含参数，先按常规方法求最值，再结合参数范围调整结果。 考点一 周长与边长最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期； (2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）. 周期； （2）由可知，，化简得， ，，， ； （3）由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 例2．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知的角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)直角三角形，且． (2)． 【详解】（1）由，得，即. 由余弦定理，故， 化简得，即， 所以为直角三角形，且. （2）由，，设，，则，， 周长. 令，， ， . 因 ，故 ，所以易得 . 分子分母同除以 ，并利用正切和角公式： ，由 时，得， 因此 ，故. 例3．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 例4．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 变式2．（25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，故， 将其代入等式得，即， 整理得， 由，得，解得， 又，故． （2）由余弦定理代入可得，则， 由基本不等式，可得， 则，由可得，当且仅当时等号成立， 所以， 则周长的最大值为. 变式3．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 变式4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【详解】（1）因为， 则， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. 考点二 面积最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 例2．（25-26高三上·山东青岛·月考）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求A； (2)求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 所以，因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以，设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得，所以，， 所以， 因为， 所以． （2）由（1）知，则， 由正弦定理得，所以， 所以△ABC的面积为 ， 由，得， 从而得，故当，即时， △ABC的面积取得最大值． 例3．（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 例4．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. （2）由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 变式2．（24-25高一下·江苏南京·月考）三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知， 由正弦定理：， 则，即. 因为，所以， 根据得：. （2）由余弦定理可得：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的最小正周期为， ∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是， ∴， ∴，解得， ∵，则， ∵图象的一条对称轴为， ∴， ∵，∴， 又∵的最大值是4， ∴，则． （2）∵，∴， 又，∴，即， 在中，， 当且仅当时取等号，则， 则的面积为， 所以的面积的最大值为． 变式4．（24-25高一下·河北张家口·月考）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①向量，，且， 则， 由正弦定理可得， 即， 即， 即，因为，所以， 所以，又，所以； 若选②， 由正弦定理可得， 由余弦定理，又，所以； （2）由（1）得，又，由正弦定理， 所以，， 所以的面积 ， 由为锐角三角形，而，所以，所以， 则，所以， 则， 所以面积的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：周长与边长最值问题、面积最值问题讲义 解三角形：周长与边长最值问题、面积最值问题讲义 考点目录 周长与边长最值问题 面积最值问题 知识点解析 核心原理：利用正余弦定理统一边角，将最值目标式转化为单变量三角函数或代数表达式，结合三角函数有界性/基本不等式/函数单调性求解，全程遵循三角形内角、三边约束条件。 一、周长与边长最值问题 解题思路（2大核心方法，优先三角函数法） 方法1：三角函数法（主流，适配已知一角+对边/邻边关系） 1. 边角互化：设未知角为变量（如，），由正弦定理将所有边表示为该角的三角函数，周长/边长转化为； 1. 化简函数：通过三角恒等变换将化为或形式； 1. 求最值：结合变量定义域，利用函数有界性（）求最值，验证取等条件。 方法2：基本不等式法（适配已知一边+一角，求两边和/积最值） 1. 确定定值条件：如已知边、角，由余弦定理得（定值）； 1. 转化目标：周长，将作为整体，由基本不等式/，结合余弦定理求/的范围； 1. 求最值：代入目标式得周长/边长最值，注意取等条件（，即三角形为等腰时取等）。 关键：边长单独最值需同时满足三边关系（两边之和大于第三边），避免结果超出约束。 二、面积最值问题 核心公式 （优先选已知角对应的面积公式，减少变量）。 解题思路（2大方法，与周长问题适配一致） 方法1：基本不等式法（高频，适配已知一边+一角） 1. 锁定面积公式：如已知角，用，为定值，只需求的最大值； 1. 结合余弦定理：由已知边（如）得，利用基本不等式求（定值）； 1. 求面积最值：将最大值代入面积公式，得，取等条件。 方法2：三角函数法（适配已知两角/边的比例关系，无明确定值边/角） 1. 边角互化：设单变量角，由正弦定理将面积公式中两边化为该角的三角函数，转化为单变量三角函数； 1. 化简求最值：恒等变换后结合三角函数有界性求最值，注意角的定义域。 三、注意事项 1. 所有最值均需验证取等条件（能否构成三角形，即角在、三边满足关系）； 1. 优先选择已知角作为核心变量/面积公式的夹角，减少计算量； 1. 若含参数，先按常规方法求最值，再结合参数范围调整结果。 考点一 周长与边长最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期； (2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 例2．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知的角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的取值范围． 例3．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 例4．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 变式2．（25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 变式3．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 变式4．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 考点二 面积最值问题 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 例2．（25-26高三上·山东青岛·月考）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求A； (2)求△ABC面积的最大值． 例3．（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 例4．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 变式2．（24-25高一下·江苏南京·月考）三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求面积的最大值. 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 变式4．（24-25高一下·河北张家口·月考）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $