第1章 三角形的证明及其应用 回顾与思考-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

回顾 知 识回 顾 1.三角形内角和与外角 (1)三角形三个内角的和等于 (2)全等三角形的性质：全等三角形的对应 边相等、 相等 (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角， 2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两 腰 ,等腰三角形的两个底角 (2)等腰三角形的 互相重合，简称“三 线合一” 3.等腰三角形的判定： 4.等边三角形的性质：等边三角形的每条 边都相等，每个内角都等于 5.等边三角形的判定：(1) (2) 6.直角三角形的有关性质： (1)直角三角形中，30°所对的直角边等于 (2)直角三角形斜边的中线等于 7.线段的垂直平分线：线段垂直平分线上 的点到 的距离相等 8.角平分线：角平分线上的点到角两边的 相等 课 后 演 练 【基础过关】 1.(福建中考)某数学兴趣小组为探究平行线的 第一章三角形的证明及其麦用 与思考 有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式 摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF= 60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为() A.5° B.15° C.25° D.35 2.(菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a- b)2+√2a-b-3+|c-3√2|=0，则△ABC 是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 3.(淮安中考)如图，在△ABC中，AB的垂直平 分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE.若 AE=4,EC=2,则BC的长是 () A.2 B.4 C.6 D.8 VD 第3题图 第4题图 4.(天津中考)如图，在△ABC中，分别以点A 和点C为圆心，大于2AC的长为半径作弧 (弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M,N 两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点 D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5, 则AB的长为 A.9 B.8 C.7 D.6 5.若点P在等边三角形ABC的BC边的垂直 平分线上，则使△PAB、△PAC、△PBC均为 指南针·课堂优化·八年征下册·数学(BS) 等腰三角形的P点个数有 ) A.1个B.4个 C.7个 D.10个 6.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分 线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC, 那么∠A= D 第6题图 第7题图 7.(成都中考)如图，在△ABC中，AB=AC,点 D,E都在边BC上，∠BAD=∠CAE,若 BD=9,则CE的长为 8.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD为 ∠BAC的角平分线，CD=6cm,BD=10cm, 求AC的长 第8题图 第9题图 9.如图，在锐角△ABC中，AC边上的高为4， ∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+ MN的最小值为 10.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC =90°，点E是AC的中点，连接BE、 BD、DE (1)求证：△BED是等腰三角形； 2 (2)当∠BAD为多少时，△BED是等腰直角 三角形. 【能力提升】 11.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP= 5cm,点M和点N分别是射线OA和射线 OB上的动点，△PMN周长的最小值是 5cm,则∠AOB的度数是 B M -N 第11题图 第12题图 12.（朝阳中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(5,0)，点M的坐标为(0,4)，过点 M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若 △MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 6 13.(绍兴中考)如图，在△ABC中，∠A=40°，点 D,E分别在边AB,AC上，BD=BC=CE, 连接CD,BE. (1)若∠ABC=80°，求∠BDC,∠ABE的 度数； (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说 明理由. 2 第一章三角形的证明及其金用 核 心 素养 14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， BD是△ABC的角平分线，DEL⊥AB于E. (1)如图1，连接CE,求证：△BCE是等边三 角形； (2)如图2，点M为CE上一点，连接BM,作 等边△BMN,连接EN,求证：EN∥BC; (3)如图3，点P为线段AD上一点，连接 BP,作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q, 探究线段PD,DQ与AD之间的数量关系， 并证明. 图1 图2 图3指南针·课堂优化·八年乡 7.A8.D9.D10.24°11.78°12.略8.12cm 9.4 第2课时尺规作图 10.（1)证明略 (2)∠BAD=45° 课后演练 1.30°12.(04或（④，4或10,4） 1.C2.D3.D4.D5.①AB 13.(1)∠BDC=50°，∠ABE=209 2ABMN②MN线段AB (2)∠BEC+∠BDC=110° 6.②③④7.90°8.29.略10.511.514.(1)证明略(2)证明略 12.(1)证明略(2)证明略(3)BG>CE (3)DQ=AD+PD,证明略 5角平分线 第二章 不等式与不等式组 知识梳理 1.这个角两边的距离2.两边距离相等 不等式及其性质 3.三条边 第1课时不等式 课后演练 1.B2.D3.A4.2.45.156.证明略 知识梳理 7.B8.A9.D10.4:5:611.2或6 1.不等式4.x>0x<0x≤0x≥0 12.(1)AD+AB=AC,证明略 课后演练 (2)仍成立，证明略 1.A2.C3.A4.C5.C6.B7.B 8.B9.4x-2(25-x)≥6010.4 回顾与思考 11.(1)x+1<0(2)2x-3≥10 知识回顾 (3)设小明的年龄为x岁，小李的年龄 1.(1)180°(2)对应角 为y岁：x<y 2.（1)相等 相等(2)顶角平分线 底边 12.C13.B14C15.a<1< 的中线底边的高线 3.等角对等边4.60 16.a<-b<b<-a 5.(1)三个角都相等的三角形是等边三角 17.(1)8x<400(2)9x>400 形(2)有一个角等于60°的等腰三角形 18.(1)当0<x≤200时，0.1x≤18；当x> 是等边三角形 200时，0.2x-20≤18 6.(1)斜边的一半(2)斜边的一半 (2)0.2x-20>30 7.线段两端8.距离 19.(1)>(2)=(3)>(4)> 课后演练 (5)>,用字母表示为a2+b≥2ab(当 1.B2.D3.C4.D5.B6.87°7.9 a=b时等号成立) 183 下册·数学参考答案(BS) 第2课时不等式的解集 知识梳理 1.(1)不等式成立(2)所有解 课后演练 1.C2.C3.D 4.无数4,5,6（答案不唯一） 5.(1)最大4(2)122 6.略7.A8.D9.C10.x≥3 11.(1)x<-1(2)-3≤x<2(3)x≥-2 12.m>213.114.x<-5 15.(1)x<2(2)略 16.(1)l>20cm.(2)l<16πcm.(3)l=4时， 圆的面积大；1=10时，圆的面积大， (4)通过(3)问可得到猜想，周长相同的 正方形和圆，圆的面积大 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 1.同一个代数式不变 > 2.不变> > 3.改变 < 课后演练 1.D2.C3.B4.A5.B 6.(1)<(2) 7.(1)<<>(2)< 8.(1)>(2)≤9.m<-2 10.(1)x>5(2)x<-5 (3)x<号 (④)x<-25(5)x≤ (6)x≥ 3 2 山x≥-】≤-号2.x<m打 13.>14.略15.A<B 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式及其解法 知识梳理 1.整式2.ax+b>0或ax+b<0(a≠0) 3.x>a或x<a 4.(1)去分母 (2)去括号(3)移项 (4)合并同类项(5)系数化为1 课后演练 1.D2.-23.A4.D5.B 6.x≥17.k>2 8.1)z< 图略 (2)x<2图略 (3)x>2图略 (4)x>0图略 9.1-x<-1-y 10.B11.z>-号 12.1013.A14.a>115.x>n 16.（1)略(2)-2<x<6 (3)x<-2或x>12 第2课时一元一次不等式的应用 知识梳理 1.设未知数 找出不等关系 解不等式 确定x的取值 课后演练 1.C2.C3.D4.A5.A6.8 7.338.833 9.(1)购买一份A款材料包需16元，购买 一份B款材料包需18元 (2)至少购买A款材料包35份 10.4≤m<711.12≤m<1512.330 13.(1)应选用A种食品3份，B种食品 2份 184