3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其爱用 3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质 知 识梳 1.如图，直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落 理 在直线a上，点B落在直线b上，若∠1=15°， 1.直角三角形的性质定理及勾股定理 ∠2=25°，则∠ABC的大小为 (1)直角三角形的两锐角互余， (2)勾股定理：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方. -b B 2.直角三角形的判定定理 A.40° B.45° C.50° D.55° (1)有两个角互余的三角形是直角三角形， 2.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度 (2)如果三角形两条边的平方和等于第三 数为 () 条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 A.100° B.120° C.135° D.140° 3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题 3.（黄石中考)如图，在△ABC中，∠B=50°，CD 的条件和结论分别是另一个命题的 和 ⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线 ,那么这两个命题称为互逆命题，其中 相交于点E,F为边AC的中点，CD=CF,则 一个命题称为另一个命题的 ∠ACD+∠CED= 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过 证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定 理称为 ,其中一个定理称为另一 个定理的 5.任何命题都有逆命题，但每个定理 A.125° B.145° C.175° D.190° 有逆定理 知识点2命题 6.尺规作直角三角形 4.(玉林中考)下列命题中，其逆命题是真命题 (1)作射线CN;(2)过点C作射线CN的垂 的是 () 线CM;(3)在射线CM上截取CB=a;(4)以点 A.对顶角相等 B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线 B.两直线平行，同位角相等 CN于点A;(5)连接AB;ABC就是所要作的直 C.全等三角形的对应角相等 角三角形 D.正方形的四个角都相等 课 演练 5.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行； ②若a2=b,则a=b;③锐角与钝角互为补 【基础过关】 角；④相等的角是对顶角.它们的逆命题是真 命题的个数是 () 知识点1)直角三角形的性质 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ·15· 挡南针·课堂忧化·八年低下册·数学(BS) 知识点3勾股定理 【能力提升】 6.(福建中考)如图，某研究性学习小组为测量 学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校 11.如图，圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm, 附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°， 小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路 ∠C=90°，AC=2km.据此，可求得学校与工 线如图，则最短路程为 厂之间的距离AB等于 ( A.2km B.3km C.23km D.4km 第11题图 第12题图 12.如图，OP=1,过P作PP1⊥OP且PP1=1, 第6题图 第8题图 得OP1=√2；再过P1作PP2⊥OP1且P1P2 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=12, =1,得OP2=√3；又过P2作P2P3⊥OP2且 则点C到AB的距离是 P2P3=1,得OP3=2;…依次继续作下去， A.碧9 B号 c号 D.33 得OP1022 4 8.如图，直线1过正方形ABCD的顶点B,点A, 核心 素 养 C到直线1的距离分别是1和2，则正方形的 13.如图，它是由四个相同的直角三角形与中间 边长 的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方 9.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周 形的面积为13cm2,每个直角三角形两直角 髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此 边的和是5cm,求中间小正方形的面积. 图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四 边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG △CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若 EF=2,DE=8,则AB的长为 G 图1 图2 10.如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边， 使点D落在BC边上的点F处，若AB=8, 且△ABF的面积为24，求EC的长， ·16·指南针·课堂优化·八年级下册·数学参考答案(BS) 指南针·课堂优化·八年级下册·数学同步参考答案 第一章三角形的证明及其应用10.180°11.m 12.210 2.(1)相等(2)等腰 课后演练 课后演练 1.C2.C3.C4.B5.B6.D7.A 13.98° (58+9 1.A2.B3.B4.B5.②③④ 1三角形内角和定理 8.√59.1010.EC=3 6.(1)证明略(2)∠BDE的度数是30° 14.(1)∠EAD=12° (2)∠G= 11.10cm12.√/102313.1cm 第1课时三角形内角和定理 7.28.等边9.60°等边 第2课时直角三角形的全等判定 知识梳理 15.(1)①80°②略 (2)∠BFE至少是113 10.61号12.3￥9 2 知识梳理 1.180°2.(2)对应角 1.斜边直角 课后演练 2 等腰三角形 13.(1)AM=10-2t,AN=t (2)t=10 2.(1)直(2)平方和平方(3)互余 1.D2.B3.35°4.略 (3=号，CN-2 (4)一半 5.∠A=40°，∠B=60°，∠C=80 第1课时 等腰三角形的性质 3.正整平方和平方勾股数 6.C7.100°8.略9.C 知识梳理 第3课时 含30°角的直角三角形 课后演练 10.B11.360°12.40 1.(1)相等 知识梳理 1.A2.C3.A4.B5.D6.D7.12 13.(1)∠1+∠2=90°(2)∠1+∠2=2a (2)顶角平分线底边上的中线底边 1.一半30°2.一半3.45 8.AE-CDBC=DF或AC=EF或AE-CF 14.(1)∠BAD=40°(2)33.5 上的高 课后演练 9.3cm10.路11.712.25 15.190+20120°+30 (3)顶角的平分线（底边上的中线或底边 上的高)所在的直线 1.D2.B3.2034.2√3 13.号 (2)t=1或2 (2)120°- 3Q,理由略 2.(1)等边三角形(2)相等60(3)一三 5.(1)∠F=30°(2)DF=4 3.不成立反证法 6.B7.B8.2.5129.33 4线段的垂直平分线 (3)n-1)×180°_1 课后演练 10.45或15或75°11.20 第1课时线段的垂直平分线 第2课时三角形的外角 1.C2.A3.B4.B5.D6.34 12.(1)AP的长为2(2)不发生变化，ED=3 知识梳理 知识梳理 7.∠A=45°8.B9.6√3 3直角三角形 1.线段两个端点的距离2.垂直平分线 1.反向延长线 10.略11.62.5°或27.5°12.60 3.一点三个顶点 2.推论(1)不相邻的两个内角的和 13.(1)略(2)不变.∠QMC=60 第1课时 直角三角形的性质 课后演练 (2)不相邻的内角 (3)∠QMC大小不变.∠QMC=120° 知识梳理 1.B2.C3.D4.A 课后演练 第2课时等腰三角形的判定 3.结论条件逆命题 5.(1)2+23(2)20° 1.D2.A3.C4.36°，48°，96°5.78°知识梳理 4.互逆命题逆定理 6.∠BCE=50°7.C8.C9.C 1.(1)两条边相等(2)所对的边也相等5.不一定 6.(1)AD=33 (2)证明略 2 181 182