专题5.1 分式及其基本性质 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题5.1 分式及其基本性质 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1分式的判断 题型2分式的规律问题 题型3按要求构造分式 题型4分式无意义的条件 题型5分式有意义的条件 题型6分式的求值 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 题型9判断分式变形是否正确 题型10求使分式变形成立的条件 题型11利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型12最简分式 题型13巩固测试 知识梳理 知识点一、分式的概念 1.一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且分母 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义的条件：分母≠0，即B≠0 3.分式的值为 0 的条件：分子=0，且分母≠0 知识点二、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：= , (C≠0) 知识点三、分式基本性质的应用 1.符号法则: 分子、分母、分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变。 - = = - 2.约分:把分子、分母的公因式约去，化为最简分式（分子与分母没有公因式）。 3.通分:把几个异分母分式化为同分母分式，关键是确定最简公分母。 知识点四、常见易错点总结 1.分式有意义 ⇔ 分母不为 0， 2.分式值为 0 ⇔ 分子为 0 且 分母不为 0， 3.运用性质时，乘除的整式不能为 0， 4.约分只能约去公因式，不能随意去掉分子或分母中的项， 题型解读 题型1分式的判断 1．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母a含字母，是分式； 的分母m含字母，是分式； 的分母是常数，不是分式； 中π是常数，分母不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； ∴ 分式共有3个． 2．下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 3．某旅行团有游客人，若每个人住1间房，则有1个人无房住，可知客房间数为_____． 【答案】 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题意，总人数等于房间数乘以每间房人数再加上余下的人，因此房间数等于总人数减除以每间房人数． 【详解】解：由题意可得，客房的间数为， 故答案为：． 题型2分式的规律问题 1．已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 3．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的一列数发现分子和分母的变化规律是（为正整数），然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第100个数为． 故答案为：． 题型3按要求构造分式 1．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 2．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 3．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产____件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产_______件产品． 【答案】 15 【分析】本题考查列分式以及求值，理解题意，准确列出代数式是解题关键． 根据工作总量、工作时间与工作效率的关系，原计划每天生产件，现在提前1天，每天生产件，代入计算得15． 【详解】解：原计划x天生产60件产品，则原计划每天生产件产品， 现在需要比原计划提前1天完成任务，即现在所用时间为天，工作总量仍为60件，因此现在每天生产件产品． 当时，现在每天生产件产品． 故答案为：，15． 题型4分式无意义的条件 1．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选：B． 2．当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 题型5分式有意义的条件 1．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且． 2．下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．分式的值为0，那么x的值为_______． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零，先求解分子等于零得到x的可能值，再根据分母不为零舍去不符合条件的值，得到最终结果． 【详解】解：若分式的值为， 根据分式值为零的条件可得： 解，解得或， 又，即， 因此． 题型6分式的求值 1．若分式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，约分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过已知条件用含的式子表示，再代入所求分式化简计算，也可利用分式基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得， 原式 ， 故选：D． 2．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 3．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知等式用含y的代数式表示，再代入所求分式，约分后即可得到计算结果． 【详解】解：∵， ∴，且， 将代入得： ． 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 3．写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 1．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为整数，根据题意求出建校n周年对应年份为，列出式子，化为，则要使得能够整除，则n为1991的因数，据此即可解答． 【详解】由题可知，建校n周年对应年份为， 则年份除以建校周年n为， 要使得能够整除，则n为1991的因数， ∵， ∴或或或，共4个， 故选：B． 2．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 3．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 题型9判断分式变形是否正确 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A选项：，变形错误； B选项：，变形错误； C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确； D选项：，变形错误， 只有选项C正确． 2．若，的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，解题思路是将，分别替换为，，化简后与原分式对比，值不变的即为正确选项. 【详解】解：A选项：，的值均扩大为原来的倍， 可得新分式为， ， 分式的值改变， 故A选项不符合题意； 选项B，新分式为， 分式的值改变， 故B选项不符合题意； 选项C，新分式为， 分式的值改变， 故C选项不符合题意； 选项D，新分式为，和原分式相等， 分式的值保持不变， 故D选项符合题意； 故选：D. 3．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 题型10求使分式变形成立的条件 1．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 2．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 3．若，则“？”所代表的分子是__________． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 【答案】B 【分析】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的倍， 即分式的值扩大到倍． 2．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用已知条件对所求式子变形，再结合完全平方的非负性推导得到的取值范围，进而求出所求式子的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵对任意实数，，都有 展开得 把，代入得 ，即 ∵，不等式两边同乘得，即 ∴ ∴，即的最小值为． 3．分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 题型12最简分式 1．下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子分母没有除1以外公因式的分式，据此进行判断即可. 【详解】解：选项A中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项B中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项C中，分子与分母没有除1以外的公因式，∴是最简分式； ∵ 选项D中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式. 2．下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 【答案】D 【分析】根据因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，该变形不是因式分解，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若使分式有意义，则，解得：，原说法错误，故此选项不符合题意； C．，原说法错误，故此选项不符合题意； D．是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义，掌握相应的知识点是解题的关键． 3．计算： __________ (结果写成最简分式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 巩固测试 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误； B、，变形正确； C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误； D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误． 故选：B 2．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值． 【详解】方法一：∵， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴设，（）， 则． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解． 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 4．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 5．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 6．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 二、填空题 7．化简：=______． 【答案】 【分析】约去分子与分母的公因式即可. 【详解】解：． 8．若式子的值等于0，则x的值为________． 【答案】 3 【分析】根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），联立求解x的值． 【详解】解：要使式子的值为0，需满足以下条件： 1. 分子为0且二次根式有意义：，即，解得， 2. 分母不为0：， 当时，，满足二次根式有意义的条件，且，满足分母不为0的条件， 因此，x的值为3． 9．已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 10．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 三、解答题 11．化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式． 13．已知，且x为奇数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式有意义的条件． 根据分式和二次根式有意义的条件确定x的值，再化简后代入即可求解． 【详解】解：由题意，得，， 解得， ∵x为奇数， ∴， ∵， ∴原式． 14．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 15．阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 分式及其基本性质 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1分式的判断 题型2分式的规律问题 题型3按要求构造分式 题型4分式无意义的条件 题型5分式有意义的条件 题型6分式的求值 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 题型9判断分式变形是否正确 题型10求使分式变形成立的条件 题型11利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型12最简分式 题型13巩固测试 知识梳理 知识点一、分式的概念 1.一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且分母 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义的条件：分母≠0，即B≠0 3.分式的值为 0 的条件：分子=0，且分母≠0 知识点二、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或同除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：= , (C≠0) 知识点三、分式基本性质的应用 1.符号法则: 分子、分母、分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变。 - = = - 2.约分:把分子、分母的公因式约去，化为最简分式（分子与分母没有公因式）。 3.通分:把几个异分母分式化为同分母分式，关键是确定最简公分母。 知识点四、常见易错点总结 1.分式有意义 ⇔ 分母不为 0， 2.分式值为 0 ⇔ 分子为 0 且 分母不为 0， 3.运用性质时，乘除的整式不能为 0， 4.约分只能约去公因式，不能随意去掉分子或分母中的项， 题型解读 题型1分式的判断 1．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 3．某旅行团有游客人，若每个人住1间房，则有1个人无房住，可知客房间数为_____． 题型2分式的规律问题 1．已知，则的值________； 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 3．观察下面一列数：，，，，，，则第个数为__________． 题型3按要求构造分式 1．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 3．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产____件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产_______件产品． 题型4分式无意义的条件 1．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 2．当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 题型5分式有意义的条件 1．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 3．分式的值为0，那么x的值为_______． 题型6分式的求值 1．若分式，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．若，则________． 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．写出使分式的值为正数的的一个值_____． 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 1．2022年是宁波外国语学校建校31周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 3．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 题型9判断分式变形是否正确 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 3．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 题型10求使分式变形成立的条件 1．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 3．若，则“？”所代表的分子是__________． 题型11利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 2．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 3．分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 题型12最简分式 1．下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 3．计算： __________ (结果写成最简分式) 巩固测试 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 5．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 3、 7．化简：=______． 8．若式子的值等于0，则x的值为________． 9．已知（且），，，，，则等于______． 10．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 三、解答题 11．化简下列分式： (1)； (2)． 12．已知，求分式的值． 13．已知，且x为奇数，求的值． 14．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 15．阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $