2.2 简谐振动的回复力和能量 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐振动的描述，系统梳理振幅、周期、频率等物理量的概念及关系，通过情景导学建立认知，进而过渡到相位与表达式的数学描述，最终深入周期性与对称性的运动特性，构建递进式学习支架。 资料以情景导学激发科学探究，结合大量专题讲练强化应用，通过匀速圆周运动投影模型建构简谐运动规律，培养科学思维与推理能力。课中辅助教师引导学生深化理解，课后助力学生通过习题巩固，有效提升物理观念与问题解决能力。

普高物理新教材选修1第2章机械振动 第3讲 简谐振动的回复力和能量（讲义）--学生版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第3讲 简谐振动的回复力和能量 知识点1、简谐运动的回复力 情景导学：如图所示为水平方向的弹簧振子模型。 (1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ (2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 1、回复力 (1)定义：使振动物体回到 的力。 (2)效果：把物体拉回到 位置。 (3)方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向 。 (4)表达式：F＝ ，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“－”表明回复力F与位移x的方向始终 。 2、简谐运动的动力学定义： 理论上可以证明，如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动。即如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置 的大小成 ，并且总是指向 ，物体的运动就是简谐运动。 3、简谐运动中回复力的来源 (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某一力的分力。 4、F＝－kx式中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。 5、简谐运动的加速度特点：由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度a的大小与位移x的大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 6、简谐运动的回复力的规律：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 思考：在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？ 7、回复力的进一步理解 7.1、回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 7.2、简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。 8、判断振动物体是否做简谐运动的方法 8.1．振动物体的回复力满足F＝－kx； 8.2．振动物体的位移x与时间t满足x＝Asin(t＋φ)函数关系； 8.3．振动物体的振动图像是正弦曲线。 专题讲练1 1.1、回复力的理解 1、(多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( 　　) A．回复力是使物体回到平衡位置的力 B．回复力一定是变力 C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反 2、关于简谐运动所受的回复力，下列说法正确的是(　 　) A．回复力一定是弹力 B．回复力大小一定与位移大小成正比，且两者方向相同 C．回复力一定是物体所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反 D．回复力的方向一定指向平衡位置 3、关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　 ) A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据k＝－，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 4、(多选)关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(　 　) A．简谐运动的回复力可能是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零 5、(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　 　) A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 6、(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　 　) A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx 7、 (多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　 　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 8、 如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图像应为( 　) 9、对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　 　) 10、一个弹簧振子一端固定在墙上，当振动过程中，弹簧的最短和最长位置如图所示。弹性势能Ep＝kx2(x为弹簧形变量)，以下四个随弹簧长度变化的图像分别是(　 　) a b c d A 物块加速度 回复力 物块动能 系统弹性势能 B 系统弹性势能 回复力 物块动能 系统机械能 C 弹簧的形变量 物块的速度 系统弹性势能 物块加速度 D 回复力大小 物块的速度 物块加速度 系统机械能 1.2、回复力的计算 1、 (多选)如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为m的物块A，A的上面放置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则(　 　) A．当振动到最低点时，B对A的压力最大 B．当振动到最高点时，B对A的压力最小 C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大 D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大 2、如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动，运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(　 　) A．0～t1内速度在减小，加速度在减小 B．t2～t3内木块受到的摩擦力在增大 C．t2时刻木块受到的摩擦力大小为 D．t3时刻木块受到的摩擦力大小为 3、如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是( 　) A．该简谐振动的振幅为2x1 B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C．物块在A位置时的回复力大小为kx1 D．物块在A位置的回复力大小为kx1－mg 4、(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的 C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 5、如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离△x，释放后振子在AB间振动。设AB＝20cm，振子由A到B时间为0.1s，则下列说法正确的是（　 　） A．振子的振幅为20cm，周期为0.2s B．振子在A、B两处受到的回复力分别为k△x+mg与k△x﹣mg C．振子在A、B两处受到的回复力大小都是k△x D．振子一次全振动通过的路程是20cm 6、如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐运动，运动过程中A、B间无相对运动．设弹簧的劲度系数为k，则当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间的摩擦力的大小等于 ( ) 7、已知光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.5 kg，弹簧的劲度系数为20 N/m.起振时系统具有势能0.06 J和动能0.04 J，则下列说法正确的是(　 　) A．该振动的振幅为0.01 m B．振子经过平衡位置时的速度为0.2 m/s C．振子的最大加速度为4 m/s2 D．若振子在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大 8、某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10 s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50 g的砝码挂在P处，发现树枝在10 s内上下振动了12次.将50 g的砝码换成500 g砝码后，他发现树枝在15 s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近（ ） A.50 g B.200 g C.500 g D.550 g 9、在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（D） A．乘客做简谐运动的回复力是由车对人的支持力提供的 B．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大 C．乘客只有在地心处才处于完全失重状态 D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离成正比 10、如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A的回复力的是 。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为 。 11、如图所示，质量为m的物体A与质量为M的物体B相结合，B与竖直轻弹簧相连并悬于O点，它们一起在竖直方向上做简谐振动．设弹簧的劲度系数为k，当物块向下离开平衡位置的位移为x时，A、B间相互作用力的大小？ 12、如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg 的小球所构成的弹簧振子穿在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子缓慢向右拉10 cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求： (1)振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？ (2)振子在A点的位移； (3)振子在B点的加速度。 1.3、简谐振动的动力学对称性 1、一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时(　 　) A、球所受的合力最大，但不一定大于重力值 B、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值 C、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值 D、球所受弹力最大，但不一定大于重力值 2、如图所示，轻弹簧下端悬挂着质量为M的物块，物块静止后，在其下方轻绳的下端轻轻地挂上一质量为m的钩码，并将钩码m由静止释放。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。已知下列四个关于轻绳对钩码的最大拉力Tm的表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（　 　） A． B． C． D． 3、如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsinθ ，则以下说法正确的是（　 　）（多选） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力为 D．B对C的最大弹力为 4、(多选)如图所示，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k。现将一个质量也为m的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为，则(　 　) A．C和A做简谐运动的振幅为 B．C和A相碰后立即减速向下运动 C．B对地面的最大弹力为5.5mg D．若C物体从更高的位置释放，碰后粘在一起向下运动速度最大的位置会更低 5、如下图所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M的薄板P，另有一质量为m的物块B放在P的上表面。向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？ 6、如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手后，小球做简谐运动，则： （1）小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？ （2）小球运动到最低点时的加速度大小为多少？ 7、如图，质量分别为M、m的物块水平叠放在光滑水平地面上，一劲度系数为k的轻弹簧与M相连，它们以O为平衡位置在B、C间作简谐振动，m与M间动摩擦因数为，m与M始终相对静止。 （1）在从O向B运动过程中，摩擦力对m做正功还是负功？ （2）若它们的振幅为A，求m在振动过程中受到的最大静摩擦力多大？ （3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为多少？ 8、如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求： （1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？ （2）箱子对地面的最小压力大小为多少？ 9、质量为m1、m2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在m1上加一竖直向下的外力F，撤去F后，m2恰能离开地面，则F的大小等于 。 10、如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，将小球从弹簧原长处由静止放手，小球在竖直方向做简谐运动，则： (1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？ (2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？ 1.4、简谐振动的证明 1、(多选)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压5 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.4 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管(包括管内液体)，下列说法正确的是(　 　) A．振动过程中机械能守恒 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．位移满足函数式x＝5sin(5πt－) cm D．若向下缓慢按压3 cm后放手，振动频率变小 2、如图，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动， 3、如图所示，倾角为α的斜面体(光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球，开始时，小球静止于O点．压缩弹簧使其长度为时将小球由静止开始释放，重力加速度为g，弹簧弹性势能的表达式Ep＝k(Δx)2，Δx为弹簧形变量。 (1)证明小球所做的运动为简谐运动； (2)求小球振动到最低点时弹簧的弹性势能。 4、如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 知识点2、简谐运动的能量 情景导学：如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 (1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？ (2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ (3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 1、简谐运动的能量转化：指振动系统的机械能。振动过程就是 和 相互转化的过程。 (1)在最大位移处， 最大， 最小为零。 (2)在平衡位置处， 最大， 最小。 2、简谐运动的机械能由振幅决定 (1)简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能 ，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。 (3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 3、能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。 如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。 4、弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示) 位置 Q Q→O（P→O） O O→P（O→Q） P 位移的大小 最大(负值) 减小↓ 0 增大↑ 最大(正值) 速度的大小 0 增大↑ 最大 减小↓ 0 动能 0 增大↑ 最大 减小↓ 0 弹性势能 最大 减小↓ 0 增大↑ 最大 机械能 不变 不变 不变 不变 不变 5、思考：如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。 (1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？ (2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？ 专题讲练2 1、(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　 ) A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等 B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功 C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供 D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒 2、如图所示，一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端连接一个小球，小球放置在光滑水平地面上。弹簧处于原长时，小球在位置O。将小球拉至位置A（弹簧处于弹性限度内），然后由静止释放。释放后，小球从A第一次运动到O的过程中，小球与弹簧所组成系统的机械能（ ） A. 保持不变 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 先增大后减小 3、某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是（　 　） A．振子偏离平衡位置的位移方向向右 B．振子偏离平衡位置的位移正在减小 C．弹簧的弹性势能正在减小 D．振子的速度正在减小 4、如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（ ）（多选） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 D．振子由O运动至P0，所用的时间为 5、如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　 　) A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B．小球做简谐运动的振幅为 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 6、如图所示，弹簧左端固定，右端系住物体m，物体在O点时弹簧处于原长。现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体可以一直运动到B点，如果物体受到的阻力恒定，则（　 　） A．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动 B．物体从A到O先加速后减速 C．物体运动到O点时所受合力为0 D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小 7、把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是(　 　) A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量 8、如图所示，轻弹簧放在光滑的水平面上，左端固定在竖直墙面上，弹簧处于自然伸长状态。一物块放在离弹簧右端一定距离的水平面上的A点，用水平向左的恒力推物块，使物块由静止开始向左运动并压缩弹簧，弹簧右端最大压缩到B点，弹簧的形变始终在弹性限度内，恒力始终作用在物块上，则下列说法正确的是（ 　）（多选） A．物块与弹簧刚接触时，物块的速度最大 B．弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能小于推力F做的功 C．物块在A、B间往复运动 D．物块向左运动和向右运动过程中，速度最大的位置在同一位置 9、如图所示，两根完全相同的轻弹簧和一根张紧的细线，将甲、乙两物块束缚在光滑的水平面上。已知甲的质量小于乙的质量，弹簧在弹性限度范围内。剪断细线后，在两物块运动的过程中（ ） A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的最大速度大于乙的最大速度 C．甲的最大动能小于乙的最大动能 D．甲的最大加速度等于乙的最大加速度 10、如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A．在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面，第二次是当M运动到最大位移处C处时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则（ ） A．A1＝A2＝A B．A1＜A2＝A C．A1＝A2＜A D．A2＜A1＝A 11、如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法不正确的是（　 ）（多选） A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 B．小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小 C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点 D．小球不可能再做简谐运动 12、(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　 　) A．OB越长，系统的机械能越大 B．在运动过程中，物块A的机械能守恒 C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小 D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小 13、如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是（　 　） A．该简谐振动的振幅为2x1 B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C．物块在A位置时的回复力大小为kx1 D．物块到O位置时的动能为kx12﹣mgx1 14、如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　 　) A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 15、如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一重物（可视为质点），重物静止时处于B位置。现用手托重物使之缓慢上升至A位置，此时弹簧长度恢复至原长。之后放手，使重物从静止开始下落，沿竖直方向在A位置和C位置（图中未画出）之间做往复运动。重物运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。关于上述过程（不计空气阻力），下列说法中正确的是（　 　） A．重物在C位置时，其加速度的数值大于当地重力加速度的值 B．在重物从A位置下落到C位置的过程中，重力的冲量大于弹簧弹力的冲量 C．在手托重物从B位置缓慢上升到A位置的过程中，手对重物所做的功等于重物往复运动过程中所具有最大动能 D．在重物从A位置到B位置和从B位置到C位置的两个过程中，弹簧弹力对重物所做的功相同 16、如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长。振动过程中弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则在振动过程中（　 ） A．弹簧的最大弹性势能等于mgA B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变 C．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小为2mg D．物体在最低点时的加速度大小为2g 17、如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的速度大小为v，方向向下，动能为Ek，下列说法错误的是（　 　） A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下则t2﹣t1的最小值小于 B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2﹣t1的最小值为T C．物块通过O点时动能最大 D．当物块通过O点时，其加速度最小 18、原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图3a），质量为m=0.1kg的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距离地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm时，（不计空气阻力，取g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（ ）（多选） A. 物体的动能为1J B. 物体的重力势能为1.08J C. 弹簧的弹性势能为0.08J D. 物体的动能和重力势能之和为2.16J 19、如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　 　) A．在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零 B．在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能 C．在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值 D．在0.4 s时，振子的动能最大 20、如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知 ( ) A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小 B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大 C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 21、如图，一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端连接一个小球，小球放置在光滑水平地面上。弹簧处于原长时，小球在位置O。将小球拉至位置A后由静止释放。释放后，小球从A第一次运动到O的过程中下列各示意图中正确反映小球速度v随时间t变化关系的是（ 　　） A. B. C. D. 知识点3、简谐运动中各物理量的变化 情景导学： 如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐______。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”) 1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。 (1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小； 当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右； 当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左； A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。 2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (4)机械能变化规律：振子振动过程中，动能和势能相互转化，转化过程中机械能守恒。 3、弹簧振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v都随时间做正弦（或余弦）式周期性变化，变化周期为T。 4、分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 4.1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 4.2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 专题讲练3 1、(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)<，如图所示，则(　 　) A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反 B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大 C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小 D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大 2、如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　A　) A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 3、一弹簧振子沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示。由图可知(　 　) A．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为正的最大值 B．在1.0～1.5 s内振子的速度增加，加速度为负值 C．在2.0～2.5 s内振子的速度减小，加速度为负值 D．t＝2.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 4、如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法中正确的是(　 　) A．t＝0.5 s时，小球在O点左侧5 cm处 B．t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的速度相同 C．t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的加速度相同 D．t＝0.5 s到t＝1.5 s过程中，系统的势能在逐渐增加 5、如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是 (　 　) A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置 B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 6、如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置，细杆水平。则振子(　 　) A．从B向O运动过程中动能一直变小 B．从O向C运动过程中加速度一直变小 C．从B经过O向C运动过程中速度一直变大 D．从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大 7、一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　 ) A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3 B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3 C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3 D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3 8、如图所示是弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知(　 　) A．在0.25～0.3 s时间内，回复力越来越小 B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大 C．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 9、质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　 　) A．小球在t＝0.6 s时速度方向向上 B．小球在t＝1.2 s时加速度方向向下 C．小球从A到B过程中，弹簧的弹性势能一直增大 D．该弹簧的劲度系数为100 N/cm 10、如图所示，竖直悬挂的弹簧振子，把小球向下拉一小段距离后，放开小球，下列说法正确的是(　 　) A．小球在振动过程中动量守恒 B．弹簧恢复原长时，小球动能最大 C．弹簧恢复原长时，小球位于振动的平衡位置 D．某四分之一周期的时间内小球的动量变化量可能为零 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 C h1 O h2 B 图3b 图3a $普高物理新教材选修1第2章机械振动 第2讲 简谐振动的描述（讲义）--学生版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第2讲 简谐振动的描述 知识点1、简谐运动的物理量---振幅、周期和频率描述 情景导学：如图甲所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。 (1)分析图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？ (2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？ 1．振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的 距离。 (2)意义：振幅是表示 大小的物理量，是 ，常用字母 表示。振动物体运动的范围是振幅的 。 2、全振动 一个 的振动过程，称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 的。 不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是 的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。（全振动的路径图是封闭的） 3、周期和频率 (1)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 (s)。 (2)频率：物体完成全振动的 与 之比，数值等于 的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。 (3)周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越 ，表示振动越 。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 、与频率成 ，它们间的关系式为ω＝，ω＝ 。 4、对全振动的理解 4.1、振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。 4.2、全振动的三个特征 (1)物理量特征：经过一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：经过一次全振动，振子历时一个周期。 (3)路程特征：经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍。 5、振幅与三个量的关系 5.1、振幅与位移的区别 ①振幅等于最大位移的数值。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 5.2、振幅与路程的关系 ①振动物体在一个周期内的路程为4倍振幅，即4A。 ②振动物体在半个周期内的路程为2倍振幅，即2A。 ③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。 5.3、振幅与周期的关系 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。　 6、个周期内路程与振幅的关系 1．振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2．当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 专题讲练1 1、(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　 　) A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关 2、在1 min内甲振动30次，乙振动75次，则(　 　) A．甲的周期为0.5 s，乙的周期为1.25 s B．甲的周期为0.8 s，乙的周期为2 s C．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为1.25 Hz D．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为0.8 Hz 3、如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　 　) A．振子从B经O到C完成一次全振动 B．振动周期是1 s，振幅是10 cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm 4、如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　 　) A．振动周期是2 s，振幅是8 cm B．振动频率是2 Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是8 cm D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 5、(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　 　) A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率与振幅无关 6、(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 (　 　) A．物体的振动周期是2×10－2 s B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm 7、一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　 　) A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时，质点的振幅为零 8、一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为 (　 　) A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm 9、(多选)如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是 (　 　) A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm D．从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm 10、(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　 　) A．质点振动的频率为4 Hz B．在10 s内质点经过的路程为20 cm C．第5 s末，质点的速度为零，加速度最大 D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm 11、(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为(　 　) A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s 12、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　 　) A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 13、如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是( ) A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在任何位置，它的振幅都是10 cm D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm 14、关于做简谐运动的物体振幅、周期、频率的说法，正确的是 （ ）（多选） A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅越大，周期必然越大，而频率越小 D．做简谐运动的物体频率是一定的，与振幅无关 15、一个弹簧振子，第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1∶T2为 （ ）　　 A．1∶1 　　B．1∶2 　　C．2∶1 　　D．1∶4 16、水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2，则 （ ） A．v1＝2v2 B．2v1＝v2 C．v1＝v2 D．v1＝v2 17、某个质点作简谐运动，从它经过某一位置开始计时，满足下述哪一项，质点经过的时间恰好一个周期( D ) A． 质点再次经过此位置时 B．质点速度再次与零时刻的速度相同时 C. 质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时 D．只有同时满足 A、B 或 B、C 时 18、某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则（ ） A．当质点再次经过此位置时，所经历的时间是一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，所经历的时间为一个周期 C．当质点的加速度与零时刻的加速度再次相同时，所经历的时间是一个周期 D．以上三种说法都不正确 19、振动物体做一次全振动的是 （ ） A．从某一位置再到这一位置时 B．从某一速度再到这一速度时 C．从某一加速度再到这一加速度时 D．从某一位置再到这一位置及具有与前一次有相同的速度时 知识点2、简谐运动的相位、表达式 情景导学：如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题： (1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？ (2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？ (3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？ 1、简谐运动与匀速圆周运动的联系：匀速圆周运动的在某一条直线上投影是简谐运动 设匀速圆周运动的角速度为ω，圆周运动的半径为A，初始时刻半径与x轴方向夹φ角，t时刻半径转过ωt角，此时半径与x轴方向的夹角θ=ωt +φ。可见圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A，半径在x轴方向上的投影就是位移， 圆周运动的向心力mω2A在x轴方向上的投影就是简谐运动的回复力Fx， 位移方程：x = Acos(ωt + φ0)=Acos(t + φ0)=Acos(2t + φ0) 或x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)， 速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ0) 或 v = －ωA cos(ωt +φ0) 加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ0) 或a= －ω2Asin(ωt +φ0) 对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω 是恒定不变的， 根据：Fx =ma ，a= －ω2A cos(ωt +φ0) ，x = Acos(ωt + φ0)，得Fx =－mω2Acosθ=－mω2 x，可以令：mω2 = k ，进一步得出：Fx=－k x，就符合了简谐运动的定义式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。 运动学参量的相互关系：a= －ω2x 2、简谐运动的周期： 由 mω2 = k，得 ω=，ω= ， T = 2π 3、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 4、简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的 ，A为 ，ω为圆频率，T为简谐运动的 ，φ0为 。 (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 5、相位 (1)概念：ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个 所处的状态。物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。它是一个随时间变化的量，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。相位相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 。 6、相位差：如果两个简谐运动的 相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差为 。 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1＞φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 专题讲练2 1、(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 (　 　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋) m，则A的相位滞后B的相位 2、弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是(　 　) A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝4×10－3sin(4πt－) m C．x＝8×10－3sin(2πt＋) m D．x＝4×10－3sin(2πt＋) m 3、(多选)弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin(10πbt＋)，下列说法正确的是(　 　) A．弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 4、(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4 sin (100πt＋)cm，x2＝5 sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　 ) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 5、(多选)如图所示，A、B为两个简谐运动的振动图像，下列说法正确的是(　 　) A．A、B之间的相位差是 B．A、B之间的相位差是π C．B比A超前 D．A比B超前 6、(多选)做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x＝2sin cm，则下列说法正确的是(　 　) A．它的振幅为4 cm B．它的周期为0.02 s C．它的初相位是 D．它在周期内通过的路程可能是2 cm 7、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是( ) A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 8、(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 (　 　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)(m)，则A滞后B 9、有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 (　 　) A．x＝8×10－3sin(4πt＋)m B．x＝8×10－3sin(4πt－)m C．x＝8×10－3sin(4πt＋)m D．x＝8×10－3sin(t＋)m 10、如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，则P做简谐运动的表达式为（　 　） A． B． C． D． 11、质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t）cm，则下列关于质点运动的说法正确的是（　 ） A．质点做简谐运动的振幅为6cm B．质点做简谐运动的周期为2s C．在t＝2s时质点的速度最大 D．在t＝2s时质点的加速度最大 12、如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5s时振子第一次到达C点。若弹簧振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t＋φ0)，则下列说法正确的是（　 　） A．周期T＝0.5s B．振幅A＝20cm C．φ0＝ D．t＝0.125s时，小球的位移为5cm 13、一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动，可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动。振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　 　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 14、(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m。以下说法正确的是(　 　) A．物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m B．物体A、B的周期相等，为100 s C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB D．物体A的相位始终超前物体B的相位 15、某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋)cm，则(　 　) A．质点的振幅为3 m B．质点的振动周期为 s C．t＝0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处 D．质点前2 s内的位移为－4.5 cm 16、如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是(　 　) A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋) m C．图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右 D．弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m 17、如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t＋φ0)，则下列说法正确的是(　 　) A．周期T＝0.5 s B．振幅A＝20 cm C．φ0＝ D．t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm 18、如图所示，水平弹簧振子以坐标原点O为水平位置，沿x轴在M、N之间做简谐运动，其运动方程为x＝5sin（2πt+）cm，则（　 　） A．t＝0.5s时，振子的位移最小 B．t＝1.5s时，振子的加速度最小 C．t＝2.25s时，振子的速度沿x轴负方向 D．t＝0到t＝1.5s的时间内，振子通过的路程为15cm 19、一轻质弹簧一端固定在地面上，一质量为m的钢球振子从距离弹簧上端H处自由下落。已知弹簧振子运动周期的表达式为 T = 2π，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量，弹簧压缩的最大值为x0，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。则小球从刚接触弹簧到第一次运动至平衡位置所用的时间为（　 　） A．2π B． C． D． 20、某一弹簧振子完成10次全振动需要2s的时间，在此2s的时间内通过的路程是80cm。若t=0时刻振子处在x=1cm处则：振子的振动方程为 （m）；1s内弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为 次；振子所走过的路程为 （cm） 21、如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接套在水平光滑杆上的小球 A，A 以 O 点为平衡位置振动。小球 B 在竖直平面内以 O′为圆心做匀速圆周运动（O 与 O′在同一竖直线上），角速度为 ω，半径为 R。用竖直向下的平行光照射小球 B，可以观察到小球 B 在水平杆上的“影子”和小球 A 在任何瞬间都重合。由此可知：小球 A 的振动周期为_______，小球 A 的最大加速度大小为____ ____。 22、如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。 (1)求弹簧振子的振动周期T。 (2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。 (3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。 23、如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题： (1)振幅、周期各是多少？ (2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？ (3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s 内的路程是多少？ (4)这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 知识点3、简谐运动的周期性与对称性 如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 1、简谐运动的对称性 1．时间的对称 (1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 (2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 2．速度的对称 (1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 3．位移的对称 (1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 4、加速度（回复力）的对称 (1)物体经过同一点(如C点)时，加速度（回复力）相同。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，加速度（回复力）大小相等、方向相反。 总结：空间上的对称性：振子经过关于平衡位置对称的两个位置，速度大小、位移大小、加速度大小、回复力大小都相等；关于平衡位置对称的两段位移，振子经过所用的时间相等。无论从平衡位置到对称点，还是从对称点到平衡位置，所用时间相等。 2、时间上的周期性： 物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期（T）。 若t2－t1＝nT（n＝1，2，3…），则t1、t2两时刻振子在同一位置。 若t2－t1＝nT＋（n＝0，1，2…），则t1、t2两时刻，描述振子运动的物理量均大小相等，方向相反。 振动系统中只有动能和势能的相互转化，机械能守恒，一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，周期是T/2 3、计算简谐运动的物体通过的路程 一个周期内的路程等于振幅的4倍，半个周期内的路程等于振幅的2倍，1/4周期内的路程与振幅之间没有确定的关系。若从特殊位置（如平衡位置、最大位移处）开始计时，1/4周期内的路程等于振幅；若从一般位置开始计时，1/4周期内的路程与振幅之间没有确定的关系。 4、振动的多解问题 4.1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题． 4.2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题． 总结：(1)周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 (2)对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。　　　　　　　　　　　　　　　　 专题讲练3 3.1、对称性 1、一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3s，第1次到达M点，再经过0.2s第2次到达M点，则弹簧振子的周期为（ ）（多选） A．0.53 s B．0.14 s C．1.6 s D．3 s 2、弹簧振子振幅为A，周期为T，t1时刻运动到a点，t2时刻运动到b点。如果t2—t1＝T/4，则a、b两点的距离可能是（ ）（多选） A．2A B．大于A C．等于A D．小于A 3、一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5s质点的位移和路程分别是 （ ） A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm 4、弹簧振子做简谐运动，周期为0.2s，若从振子通过平衡位置开始计时，振子肯定不在平衡位置的时刻为（ ）。 A．0.3s B．0.4s C．0.5s D．0.55s 5、如图所示，一弹簧振子在 B、C 间做机械振动，O 为平衡位置，BC 间距离为 10cm， 从 B 到 C 运动一次的时间为 1s，则（ ） A．从 B 到 C 振子作了一次全振动 B．振动周期为 2s，振幅为 5cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是 20cm D．振子从 B 点开始，经 3s 位移是 30cm 6、如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　 　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 7、某水平弹簧振子以振幅A振动和以振幅2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处的过程中所用的时间分别为t1和t2，平均速度的大小分别为v1和v2，则 （ ） A．t1＞t2，v1＞v2 B．t1＜t2，v1＞v2 C．t1＞t2，v1＜v2 D．t1＝t2，v1＜v2 8、一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时的加速度大小和速度大小分别为a1和v1，而振子位移为时加速度大小和速度大小分别为a2和v2，则a1、a2和v1、v2的大小关系为 （ ） A．a1＞a2，v1＜v2 B．a1＞a2，v1＞v2 C．a1＜a2，v1＜v2 D．a1＜a2，v1＞v2 9、如图所示是用频闪照相的方法拍摄到的一个弹簧振子的振动情况，图甲是振子静止在平衡位置时的照片，图乙是振子被拉到左侧距平衡位置20 cm处放手后向右运动1/4周期内的频闪照片，已知频闪的频率为10 Hz，则下列说法正确的是(　 　)（多选） A．该振子振动的周期为1.6 s B．该振子振动的周期为1.2 s C．振子在该1/4周期内做加速度逐渐减小的变加速运动 D．从图乙可以看出再经过0.2 s振子将运动到平衡位置右侧10 cm 10、如图所示，小球P连接着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把P拉到A点，使OA＝1cm，轻轻释放，经0.4s小球运动到O点。如果把P拉到A′点，使OA′＝2cm，则释放后小球这一次运动到O点所需的时间为 （ ） A．0.2s B．0.4s C．0.6s D．0.8s 11、一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　 ) A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz 12、如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为(　 　) A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm 13、如图所示，弹簧振子在d、c间振动，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动周期为(　 　) A．0.6 s B．0.8 s C．1.0 s D．1.2 s 14、一弹簧振子的振动周期为1.2s，如图所示的频闪照片显示了该振子在半个周期中7个时刻的位置。为了便于观察，①~⑦间弹簧的像已经做了处理。相距10cm的位置①和位置⑦分别为弹簧拉伸和压缩形变最大的位置，振子从位置③振动到位置⑤所需的最短时间为 s，振子在任意0.3s时间内通过的路程 5cm（选填“一定等于”、“不会小于”或“可能小于”）。 15、一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s，它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是 。 16、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。 (1)求弹簧振子的振动周期T； (2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s 内通过的路程； (3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。 3.2、周期性与多解 1、如图，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动。若BC间的距离为10cm，小球从O点开始计时到再次运动到O点历时0.1s，则小球振动过程中经过0.5s所经历的路程为（　 　） A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．1m 2、如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s，过B点后再经过t＝0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是 （ ） A．0.5s B．1.0s C．2.0s D．4.0s 3、一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x=处所经最短时间为t1,第一次从最大正位移处运动x=到所经最短时间为t2,关于t1与t2, 以下说法正确的是（ ） A．t1＝t2 　　B．t1＜t2 C．t1＞t2 　　D．无法判断 4、一个弹簧振子做简谐运动，周期为T 。设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，此时速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同，若t2－t1< ，则下列说法正确的是（ ） A．在时刻，振子处在平衡位置 B．从t1 到t2时间内，振子的回复力方向不变 C．从t1到t2时间内，振子的运动方向可能变化 D．t2时刻振子的加速度一定与t1时刻大小相等、方向相同 5、如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板，下端连接一个可视为质点的物块，不计空气阻力，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动。已知在初时刻t1时物块的动量为p、动能为Ek，下列说法正确的是（　 　） A．当物块通过O点时，其回复力最小 B．物块运动至C点时，其加速度最小 C．如果在末时刻t2时刻物块的动量也为p，则从t1到t2之间的时间间隔的最小值为T D．如果在末时刻t2时刻物块的动能也为Ek，则从t1到t2之间的时间间隔的最小值为T 6、（多项）一弹簧振子的振幅为 A，下列说法正确的是（ ）（多选） A．在T /4时间内，振子发生的位移一定是A，路程也是A B．在T /4时间内，振子发生的位移可以是零，路程可以大于A C．在T /2时间内，振子发生的位移一定是2A，路程一定是2A D．在T时间内，振子发生的位移一定为零，路程一定是4A 7、(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是 (　 　) A．振子的加速度方向始终指向平衡位置 B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同 C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍 D．振子的速度相等时，弹簧的长度不一定相等 8、 (多选)一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为 (　 　) A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s 9、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（ ） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T的整倍数 B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整倍数 C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等 D．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等 10、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（ ）（多选） A．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为一个振幅 B．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅 C．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移一定相同 D．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的速度一定相同 11、（多选）弹簧振子做简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻速度也为v，且方向相同。已知（t2—t1）小于周期T，则（t2—t1）（ ） A．可能等于T/4 B．可能大于T/4 C．可能小于T/4 D．可能等于T/2 12、如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内围绕虚线位置发生振动，图中是小球振动到的最左侧，振动周期为 0.3s。在周期为 0.1s 的频闪光源照射下见到图象可能是（ ） 13、关于弹簧振子所处的位置和通过的路程,下列说法正确的是( )（多选） A.运动一个周期后位置一定不变,通过的路程一定是振幅的4倍 B.运动半个周期后位置一定不变,通过的路程一定是振幅的2倍 C.运动1/4周期后位置可能不变,路程不一定等于振幅 D.运动一段后若位置不变,通过的路程一定是4A 14、如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间t1＝1s，过b点后再经t2＝1s质点第一次反向通过b点。若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，则该质点的振动周期为　 　s，振幅为　 　cm。 15、将一个水平方向的弹簧振子从它的平衡位置向右拉开 10cm，无初速释放，已知振子频率为 5Hz，振子在 0.1s 到 0.15s 内向 （左、右）做 （加、减）速运动；在 0.4s 内一共通过的路程为 ，位移为 ; 振子 0.65s 末速度向 （左、右）；当振子的位移为 2cm 时，它的加速度大小为 4m/s2。则振子在振动过程中的最大加速度为 。 16、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50s时，振子速度第二次变为－v，求： （1）弹簧振子振动周期T． （2）若B、C之间的距离为25cm，振子在4.00s内通过的路程． 17、如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？ 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $普高物理新教材选修1第2章机械振动 第3讲 简谐振动的回复力和能量（讲义）--教师版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第3讲 简谐振动的回复力和能量 知识点1、简谐运动的回复力 情景导学：如图所示为水平方向的弹簧振子模型。 (1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ (2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 提示　(1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置。 (2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。 1、回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)效果：把物体拉回到平衡位置。 (3)方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向平衡位置。 (4)表达式：F＝－kx，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“－”表明回复力F与位移x的方向始终相反。 2、简谐运动的动力学定义： 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。即如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3、简谐运动中回复力的来源 (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某一力的分力。 4、F＝－kx式中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。 5、简谐运动的加速度特点：由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度a的大小与位移x的大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 6、简谐运动的回复力的规律：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 思考：在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？ 答案　规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg＝kx0，小球在c点受到的弹力大小为F′＝k(x＋x0)，小球在c点的回复力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x0)＝mg－kx－kx0＝－kx，回复力满足F＝－kx，是简谐运动。弹簧弹力和重力的合力充当回复力。 7、回复力的进一步理解 7.1、回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 7.2、简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。 8、判断振动物体是否做简谐运动的方法 8.1．振动物体的回复力满足F＝－kx； 8.2．振动物体的位移x与时间t满足x＝Asin(t＋φ)函数关系； 8.3．振动物体的振动图像是正弦曲线。 专题讲练1 1.1、回复力的理解 1、(多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( AB　　) A．回复力是使物体回到平衡位置的力 B．回复力一定是变力 C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反 2、关于简谐运动所受的回复力，下列说法正确的是(　D　) A．回复力一定是弹力 B．回复力大小一定与位移大小成正比，且两者方向相同 C．回复力一定是物体所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反 D．回复力的方向一定指向平衡位置 3、关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　B　) A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据k＝－，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动 4、(多选)关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是(　BD　) A．简谐运动的回复力可能是恒力 B．做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反 C．简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 D．做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力一定为零 5、(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　AD　) A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置 6、(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　AD　) A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx 7、 (多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　ACD　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 解析　物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；物体B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确； 物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。 8、 如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图像应为(C　　) 解析　A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足F＝－kx 的结论，即选项C正确；当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有－kx＝(mA＋mB)a，得a＝－，受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx，故选项C正确。 9、对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　C　) 10、一个弹簧振子一端固定在墙上，当振动过程中，弹簧的最短和最长位置如图所示。弹性势能Ep＝kx2(x为弹簧形变量)，以下四个随弹簧长度变化的图像分别是(　B　) a b c d A 物块加速度 回复力 物块动能 系统弹性势能 B 系统弹性势能 回复力 物块动能 系统机械能 C 弹簧的形变量 物块的速度 系统弹性势能 物块加速度 D 回复力大小 物块的速度 物块加速度 系统机械能 解析　图像横坐标为弹簧的长度，选项中涉及到的物理量有弹性势能、机械能、回复力、加速度以及物块动能。简谐运动过程机械能守恒，因此图像d纵坐标应为系统的机械能。弹性势能与弹簧形变量平方成正比，因此Ep＝，图像a符合弹性势能的变化规律；设振幅为A，则A＝xmax－x0＝x0－xmin，物块动能为Ek＝－，图像c符合动能随弹簧长度的变化关系；回复力F＝－k(x－x0)，图像b符合。故选B。 1.2、回复力的计算 1、 (多选)如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为m的物块A，A的上面放置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则(　AB　) A．当振动到最低点时，B对A的压力最大 B．当振动到最高点时，B对A的压力最小 C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大 D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大 解析　由于简谐运动的对称性，A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的重力和A对B的作用力的合力提供。做简谐运动的物体在最大位移处时有最大回复力，即具有最大的加速度am，在最高点和最低点加速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛顿第二定律对B在最高点时，有mg－FN高＝mam得FN高＝mg－mam最小；在最低点时，有FN低－mg＝mam得FN低＝mg＋mam最大，经过平衡位置时，加速度为零，A对B的作用力F平＝mg。所以A、B正确，C、D错误。 2、如图甲所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定在墙壁上，另一端与一个质量为M物体相连，在物体上放质量为m的木块，压缩弹簧，释放后两者一起运动，运动过程中始终保持相对静止。图乙是两物体一起运动的振动图像，振幅为A，则下列说法正确的是(　C　) A．0～t1内速度在减小，加速度在减小 B．t2～t3内木块受到的摩擦力在增大 C．t2时刻木块受到的摩擦力大小为 D．t3时刻木块受到的摩擦力大小为 解析　两物体一起振动，0～t1内由图可知物体向平衡位置振动速度在增大，加速度在减小，A错误；t2～t3内过程由振动图像可知加速度在减小，木块受到的摩擦力提供加速度，则t2～t3内木块受到的摩擦力在减小，B错误；t2时刻对两物体受力分析，则有kA＝a，对质量为m的木块受力分析，则有Ff＝ma，解得Ff＝，C正确；t3时刻木块的加速度为0，则摩擦力为0，D错误。 3、如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是(　C　) A．该简谐振动的振幅为2x1 B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C．物块在A位置时的回复力大小为kx1 D．物块在A位置的回复力大小为kx1－mg 解析　该简谐振动的振幅为x1，A错误；物块运动过程中，其速度是不同的，只有从平衡位置或最大位移处开始运动周期的路程等于x1，B错误；物块在O位置时受力平衡，有kx0＝mg，x0为弹簧伸长量，在A位置时的回复力大小为F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正确，D错误。 4、(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　ACD　) A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的 C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 解析　物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝，故D正确。 5、如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离△x，释放后振子在AB间振动。设AB＝20cm，振子由A到B时间为0.1s，则下列说法正确的是（　C　） A．振子的振幅为20cm，周期为0.2s B．振子在A、B两处受到的回复力分别为k△x+mg与k△x﹣mg C．振子在A、B两处受到的回复力大小都是k△x D．振子一次全振动通过的路程是20cm 6、如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐运动，运动过程中A、B间无相对运动．设弹簧的劲度系数为k，则当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间的摩擦力的大小等于 ( D ) 7、已知光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.5 kg，弹簧的劲度系数为20 N/m.起振时系统具有势能0.06 J和动能0.04 J，则下列说法正确的是(　C　) A．该振动的振幅为0.01 m B．振子经过平衡位置时的速度为0.2 m/s C．振子的最大加速度为4 m/s2 D．若振子在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大 解析　弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2＝0.06 J＋0.04 J＝0.1 J，代入数据得到A＝0.1 m，A错误；振子经过平衡位置时，动能为mv2＝0.1 J，代入数据得到v＝ m/s，B错误；由牛顿第二定律可知，振子的最大加速度为a＝＝ m/s2＝4 m/s2，C正确；振子在位移最大处时，速度为零，动能为零，故质量突变为0.15 kg，不影响系统的机械能，故振幅不变，D错误。 8、某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10 s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50 g的砝码挂在P处，发现树枝在10 s内上下振动了12次.将50 g的砝码换成500 g砝码后，他发现树枝在15 s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近（ B ） A.50 g B.200 g C.500 g D.550 g 9、在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（D） A．乘客做简谐运动的回复力是由车对人的支持力提供的 B．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大 C．乘客只有在地心处才处于完全失重状态 D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离成正比 10、如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A的回复力的是 A的重力和B对A的支持力的合力 。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为 mg 。 拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax= m+mB）g/k。 ②运动至最低点时A对B的最大压力是多少? ③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足a>g,为什么? 11、如图所示，质量为m的物体A与质量为M的物体B相结合，B与竖直轻弹簧相连并悬于O点，它们一起在竖直方向上做简谐振动．设弹簧的劲度系数为k，当物块向下离开平衡位置的位移为x时，A、B间相互作用力的大小？ 解：物体A和物体B一起在竖直方向上做简谐振动，回复力F＝﹣kx； 整体的加速度大小为：a； 对物体A受力分析，受重力和B对A向上的弹力，加速度向上，根据牛顿第二定律，有：N﹣mg＝ma 解得：N＝mg+ma＝mg 答：A、B间相互作用力的大小为mg． 12、如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg 的小球所构成的弹簧振子穿在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子缓慢向右拉10 cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求： (1)振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？ (2)振子在A点的位移； (3)振子在B点的加速度。 答案　(1)O点　2 m/s (2)10 cm，方向由O指向A (3)40 m/s2，方向由B指向O 解析　(1)由于弹簧振子在运动过程中满足机械能守恒，故在平衡位置O点的速度最大，由题意知，外力做的功转化为系统的弹性势能，该势能又全部转化为振子的动能，即W＝mv2 解得v＝＝ m/s＝2 m/s。 (2)振子在A点的位移大小为x＝10 cm，方向由O指向A。 (3)由于振动的振幅为10 cm，故在B点的位移大小是10 cm，即弹簧压缩10 cm 此时回复力的大小 F＝kx＝200×0.1 N＝20 N，即振子所受到的合外力大小为20 N 由牛顿第二定律得 a＝＝ m/s2＝40 m/s2 ，方向由B指向O。 1.3、简谐振动的动力学对称性 1、一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时(　B　) A、球所受的合力最大，但不一定大于重力值 B、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值 C、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值 D、球所受弹力最大，但不一定大于重力值 2、如图所示，轻弹簧下端悬挂着质量为M的物块，物块静止后，在其下方轻绳的下端轻轻地挂上一质量为m的钩码，并将钩码m由静止释放。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。已知下列四个关于轻绳对钩码的最大拉力Tm的表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（　A　） A． B． C． D． 3、如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsinθ ，则以下说法正确的是（　AD　）（多选） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力为 D．B对C的最大弹力为 【解答】解：AB、当弹力等于AD的重力的分力时AD处于平衡状态，由kx＝2mgsinθ可知，平衡位置时弹簧的形变量为x0＝，处压缩状态；当B对C弹力最小时，对B分析，则有mgsinθ+kx＝mgsinθ； 故弹簧此时形变量：x＝，此时弹簧处于压缩状态； 故简谐运动的振幅为：A＝x0﹣x＝﹣＝；故A正确，B错误； CD、当AD运动到最低点时，B对C的弹力最大；由对称性可知，此时弹簧的形变量为：△x＝A+x0＝+=；此时弹力为：F＝k（A+x0）＝； B对C的弹力为F+mgsinθ＝；故C错误，D正确； 4、(多选)如图所示，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k。现将一个质量也为m的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为，则(　AC　) A．C和A做简谐运动的振幅为 B．C和A相碰后立即减速向下运动 C．B对地面的最大弹力为5.5mg D．若C物体从更高的位置释放，碰后粘在一起向下运动速度最大的位置会更低 解析　物块B对地面的弹力最小时B受到的支持力最小，此时弹簧对B的作用力为拉力，对B：mg－kx1＝mg 则kx1＝0.5mg 再以A、C组成的整体为研究对象，则物块B对地面的弹力最小时弹簧对A的作用力也是拉力，此时A与C在最高点，则2mg＋kx1＝2ma 可得a＝1.25g 由于简谐振动具有对称性，则A与C在最低点时加速度的大小也是1.25g，方向向上， 此时：kx2－2mg＝2ma 则x2＝ A与C组成的整体受力平衡时：2mg＝kx3 则x3＝ 所以简谐振动的振幅A＝x2－x3＝－＝，故A正确； A与C碰撞后A与C整体受到的重力大于弹簧的弹力，所以它们将先向下做一段加速运动，故B错误； A与C在最低点时B对地面的压力最大，受到的支持力也最大，则F－mg－kx2＝0 可得F＝5.5mg，故C正确； A与C组成的整体受力平衡的平衡位置不变，所以当C物体从更高的位置释放，碰后粘在一起向下运动速度最大的位置也不变，故D错误。 5、如下图所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M的薄板P，另有一质量为m的物块B放在P的上表面。向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？ 【解析】将B、P看成一个简谐振子，当B、P在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B、P间弹力恰好为零时两物体分离，此时B的回复力恰好等于其重力mg，其最大加速度为。由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为。由牛顿第二定律得，解得。 由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。 简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性。在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁。 6、如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，一端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置放手后，小球做简谐运动，则： （1）小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？ （2）小球运动到最低点时的加速度大小为多少？ 7、如图，质量分别为M、m的物块水平叠放在光滑水平地面上，一劲度系数为k的轻弹簧与M相连，它们以O为平衡位置在B、C间作简谐振动，m与M间动摩擦因数为，m与M始终相对静止。 （1）在从O向B运动过程中，摩擦力对m做正功还是负功？ （2）若它们的振幅为A，求m在振动过程中受到的最大静摩擦力多大？ （3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为多少？ 解答：（1）从O向B运动过程中，静摩擦力对m做负功；（2）；（3） （1）在从O到B的过程中，物体m受重力、支持力和摩擦力，动能减小，合力做负功；由于重力和支持力不做功，故静摩擦力做负功； （2）设位移为x，整体由牛顿第二定律有 物体m受重力、支持力和静摩擦力，由牛顿第二定律有联立解得 当x取最大A时，静摩擦力达到最大值，最大值为 （3）当物体达到振幅位置时，静摩擦力最大，要使两物块不发生相对滑动，到达最大位移处时静摩擦力达到最大值，对m有m 对m、M整体有 解得 8、如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求： （1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？ （2）箱子对地面的最小压力大小为多少？ （1）轻弹簧悬挂质量均为m的A、B两物体，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的连线，A将做简谐运动；对A和箱子整体分析，当具有向下的最大加速度时，对地压力最小；故在最高点对地压力最小； （2）设弹簧形变量为2x，弹簧劲度系数为k，由平衡条件知2kx＝2mg，A将在弹簧形变量2x到0之间做振幅为x的简谐运动，即当A运动到最高点时弹簧被压缩x＝0，木箱只受到重力和地面的支持力，由二力平衡知N＝Mg，再有牛顿第三定律知木箱对地面的压力为N＝Mg． 答：（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最高点； （2）箱子对地面的最小压力大小为Mg． 9、质量为m1、m2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在m1上加一竖直向下的外力F，撤去F后，m2恰能离开地面，则F的大小等于 。 解答：这一问题，用机械能守恒可解，但要用到弹性势能的公式，解答过程中也较繁。 我们利用简谐运动的对称性来分析这一问题。 撤去F后，m1将作简谐运动。 初始，在最低位置，回复力为F向上，由于m2恰能离开地面，此时m1在最高位置，弹簧由于伸长对m2的拉力为m2g，对m1的向下拉力也为m2g。M1所受合力即回复力为(m1+m2)g。 最高点与最低点对称，故F=(m1+m2)g 解答物理题有很多方法，但如果一个问题有对称性，首先考虑用对称法来解题，将能起到事半功倍的效果。 10、如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，将小球从弹簧原长处由静止放手，小球在竖直方向做简谐运动，则：(1)小球从放手运动到最低点，下降的高度为多少？ (2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？ 答案　(1)　(2)g 解析　(1)放手后小球到达平衡位置时，弹簧伸长了x1，则mg＝kx1 由简谐运动的对称性可知，小球从平衡位置到最低点，弹簧的伸长量x2＝x1 小球从放手运动到最低点下降的高度为 x＝x1＋x2＝。 (2)在最低点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律kx－mg＝ma ，解得小球运动到最低点时的加速度大小为a＝g。 1.4、简谐振动的证明 1、(多选)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压5 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.4 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管(包括管内液体)，下列说法正确的是(　BC　) A．振动过程中机械能守恒 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．位移满足函数式x＝5sin(5πt－) cm D．若向下缓慢按压3 cm后放手，振动频率变小 解玻璃管在振动过程中，水的浮力对玻璃管做功，故振动过程中，玻璃管的机械能不守恒，故A错误；玻璃管振动过程中，受到重力和水的浮力，这两个力的合力充当回复力，故B正确；由于振动周期为0.4 s，故ω＝＝5π rad/s 由题图乙可知振动位移的函数表达式为x＝5sin(5πt－) cm，故C正确；由于玻璃管做简谐振动，与弹簧振子的振动相似，结合简谐振动的特点可知，该振动的周期和频率与振幅无关，故D错误。 2、如图，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动， 证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg—kΔx=0………① 式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量． 再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向， 此时小球受到的合外力Fx为：Fx =mg－k（x＋Δx）② 由①②两式可得：Fx =－kx, 所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置． 3、如图所示，倾角为α的斜面体(光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球，开始时，小球静止于O点．压缩弹簧使其长度为时将小球由静止开始释放，重力加速度为g，弹簧弹性势能的表达式Ep＝k(Δx)2，Δx为弹簧形变量。 (1)证明小球所做的运动为简谐运动； (2)求小球振动到最低点时弹簧的弹性势能。 答案　(1)见解析　(2)2k(＋)2 解析　(1)小球在斜面上平衡时，设弹簧伸长量为Δl，有mgsin α－kΔl＝0 当小球离开平衡位置向下运动的位移为x时，弹簧伸长量为x＋Δl，小球所受合力 F合＝mgsin α－k(x＋Δl) 联立可得F合＝－kx，可知小球做简谐运动 (2)小球做简谐运动的振幅A＝＋Δl，小球振动到最低点时伸长量Δx＝A＋Δl 弹簧弹性势能Ep＝k(Δx)2＝k(＋)2＝2k(＋)2。 4、如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 解析　木块的平衡位置就在原来静止的位置，木块漂浮(静止)时由力平衡可得G＝F浮，即ρ2ghS＝ρ1gSa 现在以木块振动到平衡位置下方情形为例来证明，设木块振动到平衡位置下方x时(x≤A)，其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为F浮′＝ρ1gS 回复力为 F回＝F浮′－G＝ρ1gS－ρ2ghS ，解得F回＝ρ1gSx 显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，同理可证，木块振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，分析木块在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，所以木块此时做简谐运动。 知识点2、简谐运动的能量 情景导学：如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 (1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？ (2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ (3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 提示　(1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大　振动系统的总机械能保持不变 (2)振子回到平衡位置的动能增大　振动系统的机械能增大　振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关 (3)实际的振动系统，系统的能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变 1、简谐运动的能量转化：指振动系统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能最小为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2、简谐运动的机械能由振幅决定 (1)简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。 (3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 3、能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。 4、弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示) 位置 Q Q→O（P→O） O O→P（O→Q） P 位移的大小 最大(负值) 减小↓ 0 增大↑ 最大(正值) 速度的大小 0 增大↑ 最大 减小↓ 0 动能 0 增大↑ 最大 减小↓ 0 弹性势能 最大 减小↓ 0 增大↑ 最大 机械能 不变 不变 不变 不变 不变 5、思考：如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。 (1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？ (2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？ 答案　(1)不变，在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的弹性势能不变，总能量不变，最大动能也不发生变化。 (2)变小，在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能也将减小。 专题讲练2 1、(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　CD　) A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等 B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功 C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供 D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒 2、如图所示，一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端连接一个小球，小球放置在光滑水平地面上。弹簧处于原长时，小球在位置O。将小球拉至位置A（弹簧处于弹性限度内），然后由静止释放。释放后，小球从A第一次运动到O的过程中，小球与弹簧所组成系统的机械能（ A ） A. 保持不变 B. 逐渐减小 C. 逐渐增大 D. 先增大后减小 3、某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是（　D　） A．振子偏离平衡位置的位移方向向右 B．振子偏离平衡位置的位移正在减小 C．弹簧的弹性势能正在减小 D．振子的速度正在减小 4、如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（CD）（多选） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 D．振子由O运动至P0，所用的时间为 5、如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上。在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动。那么(　A　) A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为 B．小球做简谐运动的振幅为 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变 6、如图所示，弹簧左端固定，右端系住物体m，物体在O点时弹簧处于原长。现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体可以一直运动到B点，如果物体受到的阻力恒定，则（　B　） A．物体从A到O加速运动，从O到B减速运动 B．物体从A到O先加速后减速 C．物体运动到O点时所受合力为0 D．物体从A到O的过程加速度逐渐减小 7、把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是(　A　) A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量 8、如图所示，轻弹簧放在光滑的水平面上，左端固定在竖直墙面上，弹簧处于自然伸长状态。一物块放在离弹簧右端一定距离的水平面上的A点，用水平向左的恒力推物块，使物块由静止开始向左运动并压缩弹簧，弹簧右端最大压缩到B点，弹簧的形变始终在弹性限度内，恒力始终作用在物块上，则下列说法正确的是（　CD　）（多选） A．物块与弹簧刚接触时，物块的速度最大 B．弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能小于推力F做的功 C．物块在A、B间往复运动 D．物块向左运动和向右运动过程中，速度最大的位置在同一位置 9、如图所示，两根完全相同的轻弹簧和一根张紧的细线，将甲、乙两物块束缚在光滑的水平面上。已知甲的质量小于乙的质量，弹簧在弹性限度范围内。剪断细线后，在两物块运动的过程中（ B ） A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的最大速度大于乙的最大速度 C．甲的最大动能小于乙的最大动能 D．甲的最大加速度等于乙的最大加速度 10、如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A．在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面，第二次是当M运动到最大位移处C处时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则（ B ） A．A1＝A2＝A B．A1＜A2＝A C．A1＝A2＜A D．A2＜A1＝A 解：第一次是当M运动到平衡位置O处时将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，此时设M的速度为v，由于m“轻轻”放到M上时水平方向的速度可以看作是0，由动量守恒得：Mv＝（m+M）v′ 所以： 此 过程中系统的动能变化： 可知在当M运动到平衡位置O处时将一质量为m的小物块轻轻地放在M上的过程中系统的机械能有一定的损失； 当M运动到最大位移处C处将一质量为m的小物块轻轻地放在M上时，由于二者水平方向的速度都是0，所以不会由机械能的损失，振子的振幅不变。 11、如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法不正确的是（　ABD　）（多选） A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 B．小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小 C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点 D．小球不可能再做简谐运动 12、(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　AC　) A．OB越长，系统的机械能越大 B．在运动过程中，物块A的机械能守恒 C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小 D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小 13、如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一物块，取物块静止时所处位置为坐标原点O，向下为正方向，建立Ox坐标轴。现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放，不计空气阻力。已知物块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，A位置的坐标为x1，重力加速度为g。下列说法正确的是（　C　） A．该简谐振动的振幅为2x1 B．在任意周期内物块通过的路程一定等于x1 C．物块在A位置时的回复力大小为kx1 D．物块到O位置时的动能为kx12﹣mgx1 14、如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则(　C　) A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 15、如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一重物（可视为质点），重物静止时处于B位置。现用手托重物使之缓慢上升至A位置，此时弹簧长度恢复至原长。之后放手，使重物从静止开始下落，沿竖直方向在A位置和C位置（图中未画出）之间做往复运动。重物运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。关于上述过程（不计空气阻力），下列说法中正确的是（　C　） A．重物在C位置时，其加速度的数值大于当地重力加速度的值 B．在重物从A位置下落到C位置的过程中，重力的冲量大于弹簧弹力的冲量 C．在手托重物从B位置缓慢上升到A位置的过程中，手对重物所做的功等于重物往复运动过程中所具有最大动能 D．在重物从A位置到B位置和从B位置到C位置的两个过程中，弹簧弹力对重物所做的功相同 16、如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长。振动过程中弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则在振动过程中（　C　） A．弹簧的最大弹性势能等于mgA B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变 C．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小为2mg D．物体在最低点时的加速度大小为2g 17、如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的速度大小为v，方向向下，动能为Ek，下列说法错误的是（　B　） A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下则t2﹣t1的最小值小于 B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2﹣t1的最小值为T C．物块通过O点时动能最大 D．当物块通过O点时，其加速度最小 18、原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图3a），质量为m=0.1kg的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距离地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm时，（不计空气阻力，取g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（ AC ）（多选） A. 物体的动能为1J B. 物体的重力势能为1.08J C. 弹簧的弹性势能为0.08J D. 物体的动能和重力势能之和为2.16J 解析 由题分析可知，当弹簧距离地面26cm时的位置O即是物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体与地面相距30cm时C位置的动能和距离22cm时B位置的动能相等（如图3b）。因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。 由机械能守恒定律可得： 对于C到B的过程，根据机械能守恒定律有： 19、如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　B　) A．在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零 B．在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能 C．在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值 D．在0.4 s时，振子的动能最大 20、如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知 ( D ) A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小 B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大 C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 21、如图，一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端连接一个小球，小球放置在光滑水平地面上。弹簧处于原长时，小球在位置O。将小球拉至位置A后由静止释放。释放后，小球从A第一次运动到O的过程中下列各示意图中正确反映小球速度v随时间t变化关系的是（A　　） A. B. C. D. 【详解】由受力分析可知，小球从A第一次运动到O的过程中，受水平向左的弹簧弹力作用而加速运动，弹力逐渐减小，所以加速度逐渐减小，速度增加的越来越慢。故选A。 知识点3、简谐运动中各物理量的变化 情景导学： 如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐______。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”) 答案　正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小 1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。 (1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小； 当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右； 当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左； A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。 2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (4)机械能变化规律：振子振动过程中，动能和势能相互转化，转化过程中机械能守恒。 3、弹簧振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v都随时间做正弦（或余弦）式周期性变化，变化周期为T。 4、分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 4.1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 4.2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 专题讲练3 1、(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)<，如图所示，则(　ABC　) A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反 B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大 C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小 D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大 2、如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　A　) A．t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小 B．0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大 C．t2到t3时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同 3、一弹簧振子沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示。由图可知(　B　) A．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为正的最大值 B．在1.0～1.5 s内振子的速度增加，加速度为负值 C．在2.0～2.5 s内振子的速度减小，加速度为负值 D．t＝2.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 4、如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法中正确的是(　C　) A．t＝0.5 s时，小球在O点左侧5 cm处 B．t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的速度相同 C．t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的加速度相同 D．t＝0.5 s到t＝1.5 s过程中，系统的势能在逐渐增加 5、如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是 (　C　) A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置 B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 6、如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置，细杆水平。则振子(　D　) A．从B向O运动过程中动能一直变小 B．从O向C运动过程中加速度一直变小 C．从B经过O向C运动过程中速度一直变大 D．从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大 7、一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　D　) A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3 B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3 C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3 D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3 解析　由题图可知，t1和t2时刻的位移大小相等且大于t3时刻的位移的大小，所以t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，根据机械能守恒定律，相应三个时刻的动能关系为：Ek1＝Ek2＜Ek3，则v1＝v2＜v3；加速度大小与振子的位移大小成正比，由a＝可知，a1＝a2＞a3，故选D。 8、如图所示是弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知(　D　) A．在0.25～0.3 s时间内，回复力越来越小 B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大 C．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s D．弹簧振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s 9、质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　C　) A．小球在t＝0.6 s时速度方向向上 B．小球在t＝1.2 s时加速度方向向下 C．小球从A到B过程中，弹簧的弹性势能一直增大 D．该弹簧的劲度系数为100 N/cm 10、如图所示，竖直悬挂的弹簧振子，把小球向下拉一小段距离后，放开小球，下列说法正确的是(　D　) A．小球在振动过程中动量守恒 B．弹簧恢复原长时，小球动能最大 C．弹簧恢复原长时，小球位于振动的平衡位置 D．某四分之一周期的时间内小球的动量变化量可能为零 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 C h1 O h2 B 图3b 图3a $普高物理新教材选修1第2章机械振动 第2讲 简谐振动的描述（讲义）--教师版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第2讲 简谐振动的描述 知识点1、简谐运动的物理量---振幅、周期和频率描述 情景导学：如图甲所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。 (1)分析图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？ (2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？ 答案　(1)a图像是从A点开始释放的，b图像是从B点开始释放的；弹簧振子两次形成的简谐运动具有相同的周期，从B点释放时离平衡位置的最大距离比从A点释放时的最大距离更大。 (2)不相同，两次速度方向相反。这段时间仅为半个周期。若经过一个周期，小球一定从同一方向再次经过O点。 1．振幅 (1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，是标量 ，常用字母 A 表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。 2、全振动 一个完整的振动过程，称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。 不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。（全振动的路径图是封闭的） 3、周期和频率 (1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 (2)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称 赫 ，符号是 Hz 。 (3)周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 (5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝ 2πf 。 4、对全振动的理解 4.1、振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。 4.2、全振动的三个特征 (1)物理量特征：经过一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：经过一次全振动，振子历时一个周期。 (3)路程特征：经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍。 5、振幅与三个量的关系 5.1、振幅与位移的区别 ①振幅等于最大位移的数值。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 5.2、振幅与路程的关系 ①振动物体在一个周期内的路程为4倍振幅，即4A。 ②振动物体在半个周期内的路程为2倍振幅，即2A。 ③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。 5.3、振幅与周期的关系 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。　 6、个周期内路程与振幅的关系 1．振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2．当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 专题讲练1 1、(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　BD　) A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关 2、在1 min内甲振动30次，乙振动75次，则(　C　) A．甲的周期为0.5 s，乙的周期为1.25 s B．甲的周期为0.8 s，乙的周期为2 s C．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为1.25 Hz D．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为0.8 Hz 解析　T甲＝ s＝2 s，f甲＝＝0.5 Hz，T乙＝ s＝0.8 s，f乙＝＝1.25 Hz，故C正确。 3、如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　D　) A．振子从B经O到C完成一次全振动 B．振动周期是1 s，振幅是10 cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm 4、如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　D　) A．振动周期是2 s，振幅是8 cm B．振动频率是2 Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是8 cm D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 5、(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　BD　) A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率与振幅无关 6、(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 (　BCD　) A．物体的振动周期是2×10－2 s B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm 7、一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　C　) A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时，质点的振幅为零 8、一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为 (　B　) A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm 9、(多选)如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是 (　CD　) A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm D．从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm 10、(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　BCD　) A．质点振动的频率为4 Hz B．在10 s内质点经过的路程为20 cm C．第5 s末，质点的速度为零，加速度最大 D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm 11、(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为(　ACD　) A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s 12、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　AB　) A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 13、如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是( D ) A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在任何位置，它的振幅都是10 cm D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm 14、关于做简谐运动的物体振幅、周期、频率的说法，正确的是 （ BD ）（多选） A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅越大，周期必然越大，而频率越小 D．做简谐运动的物体频率是一定的，与振幅无关 15、一个弹簧振子，第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1∶T2为 （ A ）　　 A．1∶1 　　B．1∶2 　　C．2∶1 　　D．1∶4 16、水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2，则 （ B ）(两次振动周期相同) A．v1＝2v2 B．2v1＝v2 C．v1＝v2 D．v1＝v2 17、某个质点作简谐运动，从它经过某一位置开始计时，满足下述哪一项，质点经过的时间恰好一个周期( D ) A． 质点再次经过此位置时 B．质点速度再次与零时刻的速度相同时 C. 质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时 D．只有同时满足 A、B 或 B、C 时 18、某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则（ D ） A．当质点再次经过此位置时，所经历的时间是一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，所经历的时间为一个周期 C．当质点的加速度与零时刻的加速度再次相同时，所经历的时间是一个周期 D．以上三种说法都不正确 19、振动物体做一次全振动的是 （ D ） A．从某一位置再到这一位置时 B．从某一速度再到这一速度时 C．从某一加速度再到这一加速度时 D．从某一位置再到这一位置及具有与前一次有相同的速度时 知识点2、简谐运动的相位、表达式 情景导学：如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题： (1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？ (2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？ (3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？ 答案　(1)两个小球在相同位置同时释放，除振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。两个小球的振动步调完全一致。 (2)当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置，而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期，或者说总是滞后个全振动。 (3)由问题(1)可得两振子A、ω相同，可知φ不同，且(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝×2π，即φ1－φ2＝。 1、简谐运动与匀速圆周运动的联系：匀速圆周运动的在某一条直线上投影是简谐运动 设匀速圆周运动的角速度为ω，圆周运动的半径为A，初始时刻半径与x轴方向夹φ角，t时刻半径转过ωt角，此时半径与x轴方向的夹角θ=ωt +φ。可见圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A，半径在x轴方向上的投影就是位移， 圆周运动的向心力mω2A在x轴方向上的投影就是简谐运动的回复力Fx， 位移方程：x = Acos(ωt + φ0)=Acos(t + φ0)=Acos(2t + φ0) 或x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)， 速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ0) 或 v = －ωA cos(ωt +φ0) 加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ0) 或a= －ω2Asin(ωt +φ0) 对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω 是恒定不变的， 根据：Fx =ma ，a= －ω2A cos(ωt +φ0) ，x = Acos(ωt + φ0)，得Fx =－mω2Acosθ=－mω2 x，可以令：mω2 = k ，进一步得出：Fx=－k x，就符合了简谐运动的定义式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。 运动学参量的相互关系：a= －ω2x 2、简谐运动的周期： 由 mω2 = k，得 ω=，ω= ， T = 2π 3、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 4、简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 5、相位 (1)概念：ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。它是一个随时间变化的量，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。相位相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 6、相位差：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差为φ1－φ2 。 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1＞φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 专题讲练2 1、(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 (　CD　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋) m，则A的相位滞后B的相位 解析　由题意可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两弹簧振子的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位滞后B的相位，故D正确。 2、弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是(　B　) A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝4×10－3sin(4πt－) m C．x＝8×10－3sin(2πt＋) m D．x＝4×10－3sin(2πt＋) m 解析　振子在M、N两点之间做简谐运动，由于M、N相距0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm＝4×10－3 m，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处，综上可得x＝4×10－3sin(4πt－) m，B正确，A、C、D错误。 3、(多选)弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin(10πbt＋)，下列说法正确的是(　BD　) A．弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 解析　1的振幅为3a,2的振幅为9a，所以两个弹簧振子的振幅不同；1的频率为f1＝＝5b,2的频率为f2＝＝5b，所以两个弹簧振子的频率相同，故A错误，B正确；从表达式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误，D正确。 4、(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4 sin (100πt＋)cm，x2＝5 sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　BC) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 解析　它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期(T＝)都是 s，选项B正确；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误。 5、(多选)如图所示，A、B为两个简谐运动的振动图像，下列说法正确的是(　AD　) A．A、B之间的相位差是 B．A、B之间的相位差是π C．B比A超前 D．A比B超前 解析　由题图可知A比B超前，相位差为Δφ＝，选项A、D正确。 6、(多选)做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x＝2sin cm，则下列说法正确的是(　CD　) A．它的振幅为4 cm B．它的周期为0.02 s C．它的初相位是 D．它在周期内通过的路程可能是2 cm 解析　由简谐运动的表达式x＝Asin知A＝2 cm，T＝0.04 s，φ＝，故A、B错误，C正确；若物体恰好从平衡位置运动到最大位移处，或者从最大位移处运动到平衡位置，经历周期，则运动的路程为2 cm，故D正确。 7、(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是( AB ) A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是0.8 s C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反 解析　t＝0.6 s时，物块位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，故A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，故B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，故C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D错误。 8、(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 (　CD　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)(m)，则A滞后B 解析　由振动方程可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A ，或者说A滞后B ，故D正确。 9、有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 (　A　) A．x＝8×10－3sin(4πt＋)m B．x＝8×10－3sin(4πt－)m C．x＝8×10－3sin(4πt＋)m D．x＝8×10－3sin(t＋)m 解析　由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋) m，A正确。 10、如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，则P做简谐运动的表达式为（　B　） A． B． C． D． 由图可知，影子P做简谐运动的振幅为，以向上为正方向，设P的振动方程为 由图可知，当时，P的位移为，所用时间为代入振动方程解得 则P做简谐运动的表达式为故B正确，ACD错误 11、质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t）cm，则下列关于质点运动的说法正确的是（　C） A．质点做简谐运动的振幅为6cm B．质点做简谐运动的周期为2s C．在t＝2s时质点的速度最大 D．在t＝2s时质点的加速度最大 12、如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5s时振子第一次到达C点。若弹簧振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t＋φ0)，则下列说法正确的是（　C　） A．周期T＝0.5s B．振幅A＝20cm C．φ0＝ D．t＝0.125s时，小球的位移为5cm 解：A.小球运动到B点时开始计时，t＝0.5s时振子第一次到达C点历时半个周期，故周期为T＝2t＝1s，故A错误； B.振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10cm，故B错误； C.t＝0时刻，x＝A，代入题中位移表达式可得φ0＝，故C正确； D.位移表达式为x＝10sin（2πt+）（cm），将t＝0.125s时，代入数据可得，小球的位移为cm，故D错误。 13、一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动，可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动。振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　C　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 解析　从平衡位置开始计时，游船的振动方程为x＝20sin(t) cm，游客要舒服地登船需满足的条件为Δx＝20 cm－x≤10 cm，联立两式解得0.25 s≤t≤1.25 s，可知能舒服登船的时间为Δt＝1.25 s－0.25 s＝1 s，故选项C正确。 14、(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m。以下说法正确的是(　CD　) A．物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m B．物体A、B的周期相等，为100 s C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB D．物体A的相位始终超前物体B的相位 解析　物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误．物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确。 15、某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋)cm，则(　D　) A．质点的振幅为3 m B．质点的振动周期为 s C．t＝0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处 D．质点前2 s内的位移为－4.5 cm 解析　从关系式可知A＝3 cm，ω＝ rad/s，故周期为T＝＝3 s，A、B错误；t＝0.75 s时，质点的位移为x＝3sin(×＋)cm＝0，质点在平衡位置处，C错误；在t＝0时刻质点的位移x＝3 cm，2 s时质点的位移x′＝3sin(×2＋)cm＝－1.5 cm，故前2 s 内质点的位移为－4.5 cm，D正确。 16、如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是(　D　) A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋) m C．图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右 D．弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m 解析　弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s.向右为正，t＝0时刻位移为0.1 m表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.1sin (2πt＋) m，故B错误；简谐运动的图像中P点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左做减速运动，加速度方向向右，故C错误；因周期T＝1 s，则0～2.5 s内振子振动了2个周期，则振子从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正确。 17、如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t＋φ0)，则下列说法正确的是(　C　) A．周期T＝0.5 s B．振幅A＝20 cm C．φ0＝ D．t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm 解小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点，历时半个周期，故周期为T＝1 s，故A错误；振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝A，代入题中位移表达式可得φ0＝，故C正确；位移表达式为x＝10sin(2πt＋) cm，t＝0.125 s时，代入表达式可得小球的位移为5 cm，故D错误。 18、如图所示，水平弹簧振子以坐标原点O为水平位置，沿x轴在M、N之间做简谐运动，其运动方程为x＝5sin（2πt+）cm，则（　C　） A．t＝0.5s时，振子的位移最小 B．t＝1.5s时，振子的加速度最小 C．t＝2.25s时，振子的速度沿x轴负方向 D．t＝0到t＝1.5s的时间内，振子通过的路程为15cm 19、一轻质弹簧一端固定在地面上，一质量为m的钢球振子从距离弹簧上端H处自由下落。已知弹簧振子运动周期的表达式为 T = 2π，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量，弹簧压缩的最大值为x0，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内。则小球从刚接触弹簧到第一次运动至平衡位置所用的时间为（　B　） A．2π B． C． D． 取平衡点为位移零点，运用对称的方法可以得出从平衡点到刚刚接触位置所用时间。 【解答】解：ABCD、由题意可知，振子的振幅为： ① 小球从刚接触到第一次运动至平衡位置运动的距离为： ② 则有：x＝Asin ωt＝Asint③ 联立①②③解得： t= 故B正确，ACD错误。 故选：B。 20、某一弹簧振子完成10次全振动需要2s的时间，在此2s的时间内通过的路程是80cm。若t=0时刻振子处在x=1cm处则：振子的振动方程为   （m）；1s内弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为 10 次；振子所走过的路程为 40 （cm） 由题可知，周期振幅再将t=0时刻振子处在x=1cm处的条件带入方程 可得振动方程为。1s内，即5个周期，每个周期弹簧弹力可做两次正功，因此总共的正功次数为10次。5个周期振子走过的路程为。 21、如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接套在水平光滑杆上的小球 A，A 以 O 点为平衡位置振动。小球 B 在竖直平面内以 O′为圆心做匀速圆周运动（O 与 O′在同一竖直线上），角速度为 ω，半径为 R。用竖直向下的平行光照射小球 B，可以观察到小球 B 在水平杆上的“影子”和小球 A 在任何瞬间都重合。由此可知：小球 A 的振动周期为________，小球 A 的最大加速度大小为____ ω2R ____。 22、如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。 (1)求弹簧振子的振动周期T。 (2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。 (3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。 解析　(1)根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。 (2)若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm， 振动物体4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。 (3)根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt， A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt cm，振动图像如图所示。 23、如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题： (1)振幅、周期各是多少？ (2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？ (3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s 内的路程是多少？ (4)这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 答案　(1)10 cm　4 s　(2)x轴负方向　x轴负方向　 (3)0　40 cm (4)x＝10 sin(t) cm 解析　由图上的信息，结合质点的振动过程可以得出： (1)质点离开平衡位置的最大位移x＝10 cm，所以振幅A＝10 cm；质点完成一次全振动的时间为4 s，则周期T＝4 s。 (2)在1.5 s以后质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后质点位移增大，因此是背离平衡位置运动。 (3)质点2 s末时在平衡位置，因此位移为零。质点在前4 s内完成一个周期性运动，其路程10 cm×4＝40 cm。 (4)因为A＝10 cm，T＝4 s，＝，φ0＝0，所以简谐运动的关系式为x＝10 sin(t)cm。 知识点3、简谐运动的周期性与对称性 如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 1、简谐运动的对称性 1．时间的对称 (1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 (2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 2．速度的对称 (1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 3．位移的对称 (1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 4、加速度（回复力）的对称 (1)物体经过同一点(如C点)时，加速度（回复力）相同。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，加速度（回复力）大小相等、方向相反。 总结：空间上的对称性：振子经过关于平衡位置对称的两个位置，速度大小、位移大小、加速度大小、回复力大小都相等；关于平衡位置对称的两段位移，振子经过所用的时间相等。无论从平衡位置到对称点，还是从对称点到平衡位置，所用时间相等。 2、时间上的周期性： 物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期（T）。 若t2－t1＝nT（n＝1，2，3…），则t1、t2两时刻振子在同一位置。 若t2－t1＝nT＋（n＝0，1，2…），则t1、t2两时刻，描述振子运动的物理量均大小相等，方向相反。 振动系统中只有动能和势能的相互转化，机械能守恒，一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，周期是T/2 3、计算简谐运动的物体通过的路程 一个周期内的路程等于振幅的4倍，半个周期内的路程等于振幅的2倍，1/4周期内的路程与振幅之间没有确定的关系。若从特殊位置（如平衡位置、最大位移处）开始计时，1/4周期内的路程等于振幅；若从一般位置开始计时，1/4周期内的路程与振幅之间没有确定的关系。 4、振动的多解问题 4.1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题． 4.2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题． 总结：(1)周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 (2)对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。　　　　　　　　　　　　　　　　 专题讲练3 3.1、对称性 1、一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3s，第1次到达M点，再经过0.2s第2次到达M点，则弹簧振子的周期为（AC ）（多选） A．0.53 s B．0.14 s C．1.6 s D．3 s 2、弹簧振子振幅为A，周期为T，t1时刻运动到a点，t2时刻运动到b点。如果t2—t1＝T/4，则a、b两点的距离可能是（BCD）（多选） A．2A B．大于A C．等于A D．小于A 3、一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5s质点的位移和路程分别是 （ D ） A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm 4、弹簧振子做简谐运动，周期为0.2s，若从振子通过平衡位置开始计时，振子肯定不在平衡位置的时刻为（ D）。 A．0.3s B．0.4s C．0.5s D．0.55s 5、如图所示，一弹簧振子在 B、C 间做机械振动，O 为平衡位置，BC 间距离为 10cm， 从 B 到 C 运动一次的时间为 1s，则（ B ） A．从 B 到 C 振子作了一次全振动 B．振动周期为 2s，振幅为 5cm C．经过两次全振动，振子通过的路程是 20cm D．振子从 B 点开始，经 3s 位移是 30cm 6、如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　B　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 7、某水平弹簧振子以振幅A振动和以振幅2A振动，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处的过程中所用的时间分别为t1和t2，平均速度的大小分别为v1和v2，则 （ D ） A．t1＞t2，v1＞v2 B．t1＜t2，v1＞v2 C．t1＞t2，v1＜v2 D．t1＝t2，v1＜v2 8、一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时的加速度大小和速度大小分别为a1和v1，而振子位移为时加速度大小和速度大小分别为a2和v2，则a1、a2和v1、v2的大小关系为 （ A ）（提示：利用v-t图像确定与的位置关系，） A．a1＞a2，v1＜v2 B．a1＞a2，v1＞v2 C．a1＜a2，v1＜v2 D．a1＜a2，v1＞v2 9、如图所示是用频闪照相的方法拍摄到的一个弹簧振子的振动情况，图甲是振子静止在平衡位置时的照片，图乙是振子被拉到左侧距平衡位置20 cm处放手后向右运动1/4周期内的频闪照片，已知频闪的频率为10 Hz，则下列说法正确的是(　BC　)（多选） A．该振子振动的周期为1.6 s B．该振子振动的周期为1.2 s C．振子在该1/4周期内做加速度逐渐减小的变加速运动 D．从图乙可以看出再经过0.2 s振子将运动到平衡位置右侧10 cm 10、如图所示，小球P连接着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把P拉到A点，使OA＝1cm，轻轻释放，经0.4s小球运动到O点。如果把P拉到A′点，使OA′＝2cm，则释放后小球这一次运动到O点所需的时间为 （ B ） A．0.2s B．0.4s C．0.6s D．0.8s 11、一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为(　D　) A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz 解析　由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确。 12、如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为(　B　) A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm 解析　质点以相同的速度依次通过M、N两点，画出示意图如图所示。 质点由M到O和由O到N运动时间相同，均为0.5 s，质点由N到最大位移处和由最大位移处到N运动时间相同，均为0.5 s，可见周期为4 s，振幅A＝ cm＝6 cm，故B正确。 13、如图所示，弹簧振子在d、c间振动，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动周期为(　B　) A．0.6 s B．0.8 s C．1.0 s D．1.2 s 解析　由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1 s，而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期为 T＝0.8 s，故B正确。 14、一弹簧振子的振动周期为1.2s，如图所示的频闪照片显示了该振子在半个周期中7个时刻的位置。为了便于观察，①~⑦间弹簧的像已经做了处理。相距10cm的位置①和位置⑦分别为弹簧拉伸和压缩形变最大的位置，振子从位置③振动到位置⑤所需的最短时间为 0.2 s，振子在任意0.3s时间内通过的路程 可能小于 5cm（选填“一定等于”、“不会小于”或“可能小于”）。 15、一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s，它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是 。【答案】14s 或 s 16、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。 (1)求弹簧振子的振动周期T； (2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s 内通过的路程； (3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。 答案　(1)1 s　(2)200 cm (3)x＝12.5sin(2πt) cm　图像见解析 解析　(1)画出弹簧振子简谐运动示意图如图所示。 由对称性可得T＝0.5×2 s＝1 s。 (2)若B、C之间距离为25 cm，则振幅 A＝×25 cm＝12.5 cm 振子4 s内通过的路程 s＝×4×12.5 cm＝200 cm。 (3)由于A＝12.5 cm ，ω＝＝2π rad/s 根据x＝Asin ωt，得x＝12.5sin(2πt) cm 振动图像如图所示。 3.2、周期性与多解 1、如图，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动。若BC间的距离为10cm，小球从O点开始计时到再次运动到O点历时0.1s，则小球振动过程中经过0.5s所经历的路程为（　B　） A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．1m 2、如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s，过B点后再经过t＝0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是 （ C ） A．0.5s B．1.0s C．2.0s D．4.0s 3、一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x=处所经最短时间为t1,第一次从最大正位移处运动x=到所经最短时间为t2,关于t1与t2, 以下说法正确的是（ B ） A．t1＝t2 　　B．t1＜t2 C．t1＞t2 　　D．无法判断 4、一个弹簧振子做简谐运动，周期为T 。设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，此时速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同，若t2－t1< ，则下列说法正确的是（ A ） （对称性） A．在时刻，振子处在平衡位置 B．从t1 到t2时间内，振子的回复力方向不变 C．从t1到t2时间内，振子的运动方向可能变化 D．t2时刻振子的加速度一定与t1时刻大小相等、方向相同 5、如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板，下端连接一个可视为质点的物块，不计空气阻力，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动。已知在初时刻t1时物块的动量为p、动能为Ek，下列说法正确的是（　A　） A．当物块通过O点时，其回复力最小 B．物块运动至C点时，其加速度最小 C．如果在末时刻t2时刻物块的动量也为p，则从t1到t2之间的时间间隔的最小值为T D．如果在末时刻t2时刻物块的动能也为Ek，则从t1到t2之间的时间间隔的最小值为T 6、（多项）一弹簧振子的振幅为 A，下列说法正确的是（ BD ）（多选） A．在T /4时间内，振子发生的位移一定是A，路程也是A B．在T /4时间内，振子发生的位移可以是零，路程可以大于A C．在T /2时间内，振子发生的位移一定是2A，路程一定是2A D．在T时间内，振子发生的位移一定为零，路程一定是4A 7、(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是 (　ABD　) A．振子的加速度方向始终指向平衡位置 B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同 C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍 D．振子的速度相等时，弹簧的长度不一定相等 解析　振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的速度相等，弹簧的长度不一定相等，故D正确。 8、 (多选)一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为 (　AC　) A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s 解析　振子通过O点的速度方向有两种可能，一种是从O指向M，另一种是从O点背离M。利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系。 如图甲所示，O为平衡位置，设OB(OC)代表振幅，若振子开始从平衡位置向M运动，从O到C所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s。则振子第三次到达M点还要经过的时间为t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s。 如图乙所示，若振子一开始从平衡位置背离M向B运动，设M′与M关于O点对称，则振子从M′经B回到M′所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等，即0.2 s。振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等，为＝ s。则振子第三次到达M点还要经过的时间为t′＝0.2 s＋×4 s＝ s。 9、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（ C） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T的整倍数 B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整倍数 C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等 D．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等 10、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（ BD ）（多选） A．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为一个振幅 B．若Δt＝，则在Δt时间内振子经过的路程为两个振幅 C．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的位移一定相同 D．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子的速度一定相同 11、（多选）弹簧振子做简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻速度也为v，且方向相同。已知（t2—t1）小于周期T，则（t2—t1）（ABC） A．可能等于T/4 B．可能大于T/4 C．可能小于T/4 D．可能等于T/2 【解析】t1时刻速度为v，t2时刻速度也为v，且方向相同，则有这两位置关于平衡位置对称。 由于振子的运动方向是指向平衡位置还是背离平衡位置不确定，因此可能大于、小于、等于T/4，也可能大于或小于T/2，但不可能等于T/2，因为t1、t2时刻均有速度 12、如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内围绕虚线位置发生振动，图中是小球振动到的最左侧，振动周期为 0.3s。在周期为 0.1s 的频闪光源照射下见到图象可能是（ C ） 13、关于弹簧振子所处的位置和通过的路程,下列说法正确的是( AC )（多选） A.运动一个周期后位置一定不变,通过的路程一定是振幅的4倍 B.运动半个周期后位置一定不变,通过的路程一定是振幅的2倍 C.运动1/4周期后位置可能不变,路程不一定等于振幅 D.运动一段后若位置不变,通过的路程一定是4A 14、如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间t1＝1s，过b点后再经t2＝1s质点第一次反向通过b点。若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，则该质点的振动周期为　4　s，振幅为　4　cm。 15、将一个水平方向的弹簧振子从它的平衡位置向右拉开 10cm，无初速释放，已知振子频率为 5Hz，振子在 0.1s 到 0.15s 内向 （左、右）做 （加、减）速运动；在 0.4s 内一共通过的路程为 ，位移为 ; 振子 0.65s 末速度向 （左、右）；当振子的位移为 2cm 时，它的加速度大小为 4m/s2。则振子在振动过程中的最大加速度为 。 答案：右，加，80cm，10cm，左，20m/s2 16、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50s时，振子速度第二次变为－v，求： （1）弹簧振子振动周期T． （2）若B、C之间的距离为25cm，振子在4.00s内通过的路程． 【答案】（1）1s（2）200cm 【解析】（1）根据已知条件分析得到周期T＝（＋）×4＝1.0s （2） 若B、C之间的距离为25cm，则A＝12.5cm , 所以s＝4A•4＝200cm 17、如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？ 解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4，得T=4t/3;振子第一次到O点的时间为；振子第二次到点的时间为；振子第三次到O点的时间为……第n次到O点的时间为（n＝0．1,2,3……），C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $