2.1 机械振动 简谐振动 讲义-2025-2026学年高二上学期物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐振动核心知识点，从伽利略发现摆的规律引入，系统构建弹簧振子理想化模型，详解平衡位置、振动特征及位移-时间图像，形成从生活现象到物理模型再到运动规律的学习支架。 该资料以科学史激发探究兴趣，通过情景导学和模型建构培养科学思维，专题讲练结合图像分析深化物理观念。课中辅助教师引导学生从生活现象抽象模型，课后通过习题巩固规律理解，提升科学探究能力。

普高物理新教材选修1第2章机械振动 第1讲 简谐振动 （讲义）--学生版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第1讲 简谐振动 教堂里的伽利略 伽利略非但勤学，而且好问、哪怕是一个人们司空见惯，习以为常的现象，他也要问一个为什么。有一次，他站在比萨的天主教堂里，眼睛盯着天花板，一动也不动。他在干什么呢？原来，他用右手按着左手的脉搏，看着天花板上摇摆不定的灯。他发现，这灯的摆动虽然是越来越弱，以至每一次摆动的距离渐渐缩短，但是，每一次摇摆需要的时间，却是一样的。于是，伽利略做了一个适当长度的摆锤，测量了脉搏的速度和均一性。从这里，他找到了摆的规律。钟，就是根据他发现的这个规律制造出来的。 司空见惯，习以为常的现象竟然蕴育这么神奇的规律，你是不是认为自己曾经错过了什么？那么让我们从现在开始吧！ 知识点1、弹簧振子 情景导学：钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，担物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。这些运动的共同点是什么？ 提示　钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，扁担下物体的颤动、树梢的摇摆等都是以某个位置为中心来回往复运动。 1、机械振动： 物体或物体的一部分在一个位置附近的 运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子 (1)组成：小球和弹簧组成的 称为弹簧振子，简称振子，是一个 模型。 (2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件（理想化模型） 弹簧振子是一种理想化模型，近似条件 ①弹簧为轻质弹簧，弹簧的 与小球相比可以忽略，可认为质量集中于小球。 ②不计小球与杆之间的摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 3、平衡位置：就是振动的中心位置，振子不振动时，保持静止状态的位置；即物体在振动过程中“回复力”为零的位置。但并不一定是合外力为零的位置。 注意：“平衡位置”不等于“平衡状态”。 3.1、对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 3.2、 平衡位置的确定： a平衡位置也是振动物体振动停止后自由静止的位置，平衡位置通常在振动轨迹的中点， b平衡位置在“回复力”为零的位置； 4、振动特征 (1)有一个“中心位置”，即平衡位置。 (2)运动具有往复性。 5、弹簧振子的位移及其变化 5.1．振子的位移：以 为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于 位置的位移。 5.2、当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小。 6、运动学分析 当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移在增大，速度在减小； 当振子向平衡位置移动时，位移减小，速度增大， 平衡位置处位移为零，速度最大； 最大位移处速度为零。 专题讲练1 1．(多选)下列振动系统可看作弹簧振子的是(　 　) A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统 B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统 C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系着一个小钢球组成的系统 D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统 2、(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　 　) A．在小球运动的最低点 B．在弹簧处于原长的位置 C．在小球速度最大的位置 D．在小球原来静止的位置 2、如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置。关于小球的运动情况，下列描述正确的是 (　 　) A．小球经过O点时速度为零 B．小球经过M点与N点时有相同的加速度 C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大 D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小 3、如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间振动，关于振子，下列说法正确的是(　 　) A．在a点时加速度最大，速度最大 B．在O点时速度最大，位移最大 C．在b点时位移最大，速度最小 D．在b点时加速度最大，速度最大 4、如图所示，轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，弹簧的下端拴一小球，在外力的作用下小球静止在位置A，此时弹簧的形变量为零。如果使小球在位置A获得大小为v0（v0≠0）方向竖直向下的初速度，小球将在竖直方向上做简谐运动，小球运动到位置B时的瞬时速度为零．位置O在A、B连线的中点，则小球做简谐运动的平衡位置 （ ） A．在位置A B．在位置O C．在A、O之间某位置 D．在O、B之间某位置 5．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是(　 　) A．总是与位移方向相反 B．总是与位移方向相同 C．远离平衡位置时与位移方向相反 D．向平衡位置运动时与位移方向相反 6、某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是(　 　) A．振子偏离平衡位置的位移方向向左 B．振子偏离平衡位置的位移正在减小 C．弹簧的弹性势能正在减小 D．振子的速度正在减小 7．(多选)对于弹簧振子，下述说法正确的是(　 　) A．振子通过平衡位置时，速度最大 B．振子在最大位移处时，速度最大 C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同 D．振子连续两次通过同一位置时，动能相同 8．(多选)如图所示，一弹簧振子，下列说法正确的是(　 　) A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次经过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 9．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是(　 　) A．做机械振动的物体必有一个平衡位置 B．机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 10．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是(　 　) A．总是与位移方向相反 B．总是与位移方向相同 C．远离平衡位置时与位移方向相反 D．向平衡位置运动时与位移方向相反 11．(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是(　 　) A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次经过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 12、如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是(　 　) A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B．振子在M、N两点时的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 知识点2、弹簧振子的位移—时间图像 简谐运动 情景导学：如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。 请思考：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？ (2)振子振动时匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？ 1、振动图像(x－t图像)（简谐振动图像） (1)x－t图像：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的 。用横轴表示小球运动的 ，纵轴表示小球离开 位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近 时的 随 变化的x－t图像，即为振动图像，如图所示。 (2)图像形状：正(余)弦曲线。 (3)图像的物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，反映了振子位移随时间变化的规律，它 (选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 2、由振动图像(x－t图像)获取的信息 2.1、位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2.2、速度及变化---确定任意时刻质点的振动方向 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 (3)运动学物理量判断 先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。 3、简谐运动 3.1、简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条 曲线。 3.2、特点：简谐运动是最基本的振动，弹簧振子的运动就是 。 3.3、提示：弹簧振子和单摆都是简谐振动 4、振动图像问题的判断方法 (1)从振动图像获取必要信息。 (2)把振动图像和振子振动情境结合起来，分析出振子的运动情况。 (3)注意规定的正方向和零时刻不同，振子的振动图像是不同的。 (4)平衡位置处振子的位移为零。　　　　 专题讲练2 2.1、弹簧振子的位移—时间图像的理解 1、一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法中正确的是（ 　）（多选） A．t＝0.5s时，质点的位移大小为1cm B．在0～6s内，质点经过的路程为20cm C．在4s末，质点的加速度为零，速度最大 D．t＝1.5s和t＝4.5s这两时刻，质点的位移大小相等 2、悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2 s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图所示，由图可知 (　 　) A．t＝1.25 s时振子的加速度为正，速度为正 B．t＝1.7 s时振子的加速度为负，速度为负 C．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t＝1.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 3、弹簧振子做简谐运动的图象如图所示，下列说法不正确的是 （ ） A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向 B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向 C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向 D．在0到5秒内，振子通过的路程为10 cm 4、如图所示的是某一质点做简谐运动的图象,下列说法中正确的是( ) A.质点开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的 B.2s末速度最大,沿x轴的负方向 C.3s末加速度最大,沿x轴负方向 D.质点在4s内的路程是零 5、一质点沿水平方向的振动方程为x＝10sin（5πt+π）cm，取水平向右为位移的正方向，则在t＝0.25s时，下列说法正确的是（　 　） A．质点在平衡位置的右方，水平向左运动 B．质点在平衡位置的右方，水平向右运动 C．质点在平衡位置的左方，水平向右运动 D．质点在平衡位置的左方，水平向左运动 6、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t＝0），经过个周期，振子具有正方向最大加速度，那么在下图所示几个振动图象中，能反映振子的振动情况的是（ ） 7、如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是(　 　) A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹 B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹 C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度 D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向 8、如图所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，下列描述试管振动的图像可能正确的是(　 　) 9、(多选)一弹簧振子沿x轴振动，小球运动的最大位移为4 cm，小球的平衡位置位于x轴上O点，如图甲所示，图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示小球的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。如图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示小球的振动图像的是(　 　) A．若规定状态a时t＝0，则①可表示小球的振动图像 B．若规定状态b时t＝0，则②可表示小球的振动图像 C．若规定状态c时t＝0，则③可表示小球的振动图像 D．若规定状态d时t＝0，则④可表示小球的振动图像 10、如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题： (1)质点离开平衡位置的最大距离为________； (2)在t＝1.5 s时，质点向________方向运动；在t＝2.5 s时，质点向________方向运动。(均选填“正”或“负”) (3)质点在第2 s末的位移是________；在前4 s内的路程是________。 11、(多选)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是(　 　) A．小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm B．1 s末到5 s末小球通过的路程为40 cm C．2 s末和4 s末小球的位移相等，运动方向也相同 D．1 s末和3 s末弹簧的长度相同 13、如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动，已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图像是(　 　) 12、(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( ) A．该图像的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同 2.2、弹簧振子的位移—时间图像的应用 1、(多选)弹簧振子做简谐运动，振动图像如图所示，下列说法正确的是(　 　) A．t1、t2时刻小球的速度大小相等，方向相反 B．t1、t2时刻小球的位移大小相等，方向相反 C．t2、t3时刻小球的速度大小相等，方向相反 D．t2、t4时刻小球的位移大小相等，方向相反 2、 (多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是 (　 　) A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 3、如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。关于其振动图像，下列说法正确的是(　 　) A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正 B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负 C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 4、(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　 　) A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的位移 5、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零。那么如图所示的四个振动图像能正确反映振子振动情况的是( ) 6．在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是( ) A．0到1 s内 B．1 s到2 s内 C．2 s到3 s内 D．3 s到4 s内 7、(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　 　) A．t＝0时刻振子的加速度最大 B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 C．t2时刻振子的位移最大 D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 8、如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M(最右端N)距离平衡位置的距离为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是(　 　) A．图中x0应为l B．0～t1时间内振子由M向O运动 C．t1～t2时间内振子由M向O运动 D．0～t2时间内与t2～t3时间内振子运动方向相反 9、如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是 (　 　) A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 10、 (多选)下列各种运动中，属于简谐运动的是(　 ) A．拍皮球时球的往复运动 B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动 C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动 D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动 11、如图所示，简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中： (1)与a点位移相同的点有哪些？ (2)与a点速度相同的点有哪些？ (3)图像上从a点到c点，质点经过的路程为多少？ 12、如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是( 　　) A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子小球的平衡位置 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同 13、如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为小球静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题： (1)在t＝0时刻，小球所处的位置为________(选填“A点”“O点”或“B点”)，正在向________(选填“左”或“右”)运动。 (2)A、B两点间的距离为________ cm。 (3)在图乙中，小球在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、________和________。 (4)在t＝2 s时，小球速度的方向与t＝0时速度的方向________。(选填“相同”或“相反”) (5)小球在前4 s内的位移等于________ cm，其路程为________ cm。 14、(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　 　) A．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t＝0.6 s和t＝1.4 s时，振子的速度相同 C．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐减小 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大 15、在水平方向上做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内(　 　) A．小球的位移越来越大 B．小球正在离开平衡位置 C．小球的加速度越来越大 D．小球的速度方向与位移方向一定相反 16、如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（　 　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子一定运动到B位置 B．在t＝0.3s与t＝0.7s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减少 D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的速度不相同 17、如图（1），x 轴的坐标原点 O 为弹簧振子的平衡位置，小球在 B、C 间做无摩擦的往复运动。在对应的运动图像（2）中 A 点为 ( ) A．B→O 的过程中某一时刻 B．O→B 的过程中某一时刻 C．O→C 的过程中某一时刻 D．C→O 的过程中某一时刻 18、如图所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，它所受的回复力F随时间t变化的图象如图，则t在2s～3s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是（　 　） A．Ek变小，Ep变大 B．Ek变大，Ep变小 C．Ek，Ep均变小 D．Ek，Ep均变大 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $普高物理新教材选修1第2章机械振动 第1讲 简谐振动 （讲义）--教师版（定稿） 普高物理新教材选修1第2章机械振动 第1讲 简谐振动 教堂里的伽利略 伽利略非但勤学，而且好问、哪怕是一个人们司空见惯，习以为常的现象，他也要问一个为什么。有一次，他站在比萨的天主教堂里，眼睛盯着天花板，一动也不动。他在干什么呢？原来，他用右手按着左手的脉搏，看着天花板上摇摆不定的灯。他发现，这灯的摆动虽然是越来越弱，以至每一次摆动的距离渐渐缩短，但是，每一次摇摆需要的时间，却是一样的。于是，伽利略做了一个适当长度的摆锤，测量了脉搏的速度和均一性。从这里，他找到了摆的规律。钟，就是根据他发现的这个规律制造出来的。 司空见惯，习以为常的现象竟然蕴育这么神奇的规律，你是不是认为自己曾经错过了什么？那么让我们从现在开始吧！ 知识点1、弹簧振子 情景导学：钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，担物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。这些运动的共同点是什么？ 提示　钟摆来回摆动，水中浮标上下浮动，扁担下物体的颤动、树梢的摇摆等都是以某个位置为中心来回往复运动。 1、机械振动： 物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 2、弹簧振子 (1)组成：小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，简称振子，是一个理想化模型。 (2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件（理想化模型） 弹簧振子是一种理想化模型，近似条件 ①弹簧为轻质弹簧，弹簧的质量与小球相比可以忽略，可认为质量集中于小球。 ②不计小球与杆之间的摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 3、平衡位置：就是振动的中心位置，振子不振动时，保持静止状态的位置；即物体在振动过程中“回复力”为零的位置。但并不一定是合外力为零的位置。 注意：“平衡位置”不等于“平衡状态”。（强调：振动物体处于平衡位置时不一定是平衡状态） 3.1、对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 3.2、 平衡位置的确定： a平衡位置也是振动物体振动停止后自由静止的位置，平衡位置通常在振动轨迹的中点， b平衡位置在“回复力”为零的位置； 4、振动特征 (1)有一个“中心位置”，即平衡位置。 (2)运动具有往复性。 5、弹簧振子的位移及其变化 5.1．振子的位移：以平衡位置为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移。 5.2、当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；反之，位移减小。 6、运动学分析 当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移在增大，速度在减小； 当振子向平衡位置移动时，位移减小，速度增大， 平衡位置处位移为零，速度最大； 最大位移处速度为零。 专题讲练1 1．(多选)下列振动系统可看作弹簧振子的是(　ABC　) A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统 B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统 C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系着一个小钢球组成的系统 D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统 2、(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　CD　) A．在小球运动的最低点 B．在弹簧处于原长的位置 C．在小球速度最大的位置 D．在小球原来静止的位置 2、如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置。关于小球的运动情况，下列描述正确的是 (　D　) A．小球经过O点时速度为零 B．小球经过M点与N点时有相同的加速度 C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大 D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小 3、如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间振动，关于振子，下列说法正确的是(　C　) A．在a点时加速度最大，速度最大 B．在O点时速度最大，位移最大 C．在b点时位移最大，速度最小 D．在b点时加速度最大，速度最大 4、如图所示，轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，弹簧的下端拴一小球，在外力的作用下小球静止在位置A，此时弹簧的形变量为零。如果使小球在位置A获得大小为v0（v0≠0）方向竖直向下的初速度，小球将在竖直方向上做简谐运动，小球运动到位置B时的瞬时速度为零．位置O在A、B连线的中点，则小球做简谐运动的平衡位置 （ C ） A．在位置A B．在位置O C．在A、O之间某位置 D．在O、B之间某位置 5．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是(　D　) A．总是与位移方向相反 B．总是与位移方向相同 C．远离平衡位置时与位移方向相反 D．向平衡位置运动时与位移方向相反 6．某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置。在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是(　D　) A．振子偏离平衡位置的位移方向向左 B．振子偏离平衡位置的位移正在减小 C．弹簧的弹性势能正在减小 D．振子的速度正在减小 7．(多选)对于弹簧振子，下述说法正确的是(　ACD　) A．振子通过平衡位置时，速度最大 B．振子在最大位移处时，速度最大 C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同 D．振子连续两次通过同一位置时，动能相同 8、(多选)如图所示，一弹簧振子，下列说法正确的是(　AD　) A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次经过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 9．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是(　AB　) A．做机械振动的物体必有一个平衡位置 B．机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 10．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是(　D　) A．总是与位移方向相反 B．总是与位移方向相同 C．远离平衡位置时与位移方向相反 D．向平衡位置运动时与位移方向相反 11．(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是(　AD　) A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次经过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 12.如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是(　C　) A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B．振子在M、N两点时的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 知识点2、弹簧振子的位移—时间图像 简谐运动 情景导学：如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。 请思考：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？ (2)振子振动时匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？ 答案　(1)轨迹是一条平行于振子运动方向的直线。 (2)轨迹是一条正弦曲线。 1、振动图像(x－t图像)（简谐振动图像） (1)x－t图像：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。用横轴表示小球运动的时间(t)，纵轴表示小球离开平衡位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近往复运动时的位移随时间变化的x－t图像，即为振动图像，如图所示。 (2)图像形状：正(余)弦曲线。 (3)图像的物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，反映了振子位移随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 2、由振动图像(x－t图像)获取的信息 2.1、位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2.2、速度及变化---确定任意时刻质点的振动方向 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 (3)运动学物理量判断 先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。 3、简谐运动 3.1、简谐运动：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线。 3.2、特点：简谐运动是最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 3.3、提示：弹簧振子和单摆都是简谐振动 4、振动图像问题的判断方法 (1)从振动图像获取必要信息。 (2)把振动图像和振子振动情境结合起来，分析出振子的运动情况。 (3)注意规定的正方向和零时刻不同，振子的振动图像是不同的。 (4)平衡位置处振子的位移为零。　　　　 专题讲练2 2.1、弹簧振子的位移—时间图像的理解 1、一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法中正确的是（　CD　）（多选） A．t＝0.5s时，质点的位移大小为1cm B．在0～6s内，质点经过的路程为20cm C．在4s末，质点的加速度为零，速度最大 D．t＝1.5s和t＝4.5s这两时刻，质点的位移大小相等 2、悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2 s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图所示，由图可知 (　C　) A．t＝1.25 s时振子的加速度为正，速度为正 B．t＝1.7 s时振子的加速度为负，速度为负 C．t＝1.0 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t＝1.5 s时振子的速度为零，加速度为负的最大值 3、弹簧振子做简谐运动的图象如图所示，下列说法不正确的是 （ A ） A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向 B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向 C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向 D．在0到5秒内，振子通过的路程为10 cm 4、如图所示的是某一质点做简谐运动的图象,下列说法中正确的是( B ) A.质点开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的 B.2s末速度最大,沿x轴的负方向 C.3s末加速度最大,沿x轴负方向 D.质点在4s内的路程是零 5、一质点沿水平方向的振动方程为x＝10sin（5πt+π）cm，取水平向右为位移的正方向，则在t＝0.25s时，下列说法正确的是（　B　） A．质点在平衡位置的右方，水平向左运动 B．质点在平衡位置的右方，水平向右运动 C．质点在平衡位置的左方，水平向右运动 D．质点在平衡位置的左方，水平向左运动 6、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t＝0），经过个周期，振子具有正方向最大加速度，那么在下图所示几个振动图象中，能反映振子的振动情况的是（ A ） 7、如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是(　B　) A．因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹 B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹 C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度 D．振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向 8、如图所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，下列描述试管振动的图像可能正确的是(　D　) 9、(多选)一弹簧振子沿x轴振动，小球运动的最大位移为4 cm，小球的平衡位置位于x轴上O点，如图甲所示，图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示小球的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。如图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示小球的振动图像的是(　AD　) A．若规定状态a时t＝0，则①可表示小球的振动图像 B．若规定状态b时t＝0，则②可表示小球的振动图像 C．若规定状态c时t＝0，则③可表示小球的振动图像 D．若规定状态d时t＝0，则④可表示小球的振动图像 10、如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题： (1)质点离开平衡位置的最大距离为________； (2)在t＝1.5 s时，质点向________方向运动；在t＝2.5 s时，质点向________方向运动。(均选填“正”或“负”) (3)质点在第2 s末的位移是________；在前4 s内的路程是________。 解析　(1)质点离开平衡位置的最大距离就是|x|的最大值，为10 cm。 (2)从1.5 s到2 s这段时间内，质点的位移为正值，位移减小，因此质点向负方向运动；从 2.5 s到3 s这段时间内，质点的位移为负值，且位移增大，因此质点向负方向运动。 (3)质点在第2 s末处在平衡位置，因此位移为零；质点在前4 s内的路程为4×10 cm＝40 cm。 11、(多选)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是(　AB　) A．小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm B．1 s末到5 s末小球通过的路程为40 cm C．2 s末和4 s末小球的位移相等，运动方向也相同 D．1 s末和3 s末弹簧的长度相同 12、如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动，已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图像是(　B　) 解析　物块A、B紧挨在一起平衡时弹簧压缩量Δx1＝gsin θ，移走B后，A平衡时弹簧压缩量Δx2＝，因此A的最大位移＝Δx1－Δx2＝，A、C错误；又t＝0时，A在负位移最大值处，故B正确，D错误。 13、(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(ACD) A．该图像的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同 2.2、弹簧振子的位移—时间图像的应用 1、(多选)弹簧振子做简谐运动，振动图像如图所示，下列说法正确的是(　AD　) A．t1、t2时刻小球的速度大小相等，方向相反 B．t1、t2时刻小球的位移大小相等，方向相反 C．t2、t3时刻小球的速度大小相等，方向相反 D．t2、t4时刻小球的位移大小相等，方向相反 2、 (多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是 (　AC　) A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 3、如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，从最低点位置向上运动时刻开始计时，取竖直向上为正方向，振动图像如图乙所示。关于其振动图像，下列说法正确的是(　C　) A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正 B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负 C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 4、(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　BC　) A．在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的位移 5、如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，此时振子正向负方向运动，加速度为零。那么如图所示的四个振动图像能正确反映振子振动情况的是(D) 6．在水平方向做简谐运动的质点，其振动图像如图所示，假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是(　D　) A．0到1 s内 B．1 s到2 s内 C．2 s到3 s内 D．3 s到4 s内 7、(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　ACD　) A．t＝0时刻振子的加速度最大 B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 C．t2时刻振子的位移最大 D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 8、如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M(最右端N)距离平衡位置的距离为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法中正确的是(　A　) A．图中x0应为l B．0～t1时间内振子由M向O运动 C．t1～t2时间内振子由M向O运动 D．0～t2时间内与t2～t3时间内振子运动方向相反 9、如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是 (　A　) A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 10、 (多选)下列各种运动中，属于简谐运动的是(　BC　) A．拍皮球时球的往复运动 B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动 C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动 D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动 11、如图所示，简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点，其中： (1)与a点位移相同的点有哪些？ (2)与a点速度相同的点有哪些？ (3)图像上从a点到c点，质点经过的路程为多少？ 答案　(1)b、e、f　(2)d、e　(3)4 cm (1)分析图像可得a、b、e、f的位移均为1 cm。c、d点的位移都是－1 cm。故与a点位移相同的点为b、e、f三点。 (2)由(1)可知，图像上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置。图像上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置，故以上6个点的速度大小相等。再结合图像可以判断a、b、c、d、e、f 6个点的运动方向分别为正向、负向、负向、正向、正向和负向。故与a点有相同速度的点为d和e。 (3)图像上从a点到b点，对应质点从正方向1 cm处先是到达2 cm处又返回到1 cm处，通过的路程为2 cm。从b点到c点，对应质点从正方向1 cm处经平衡位置运动到负方向1 cm处，通过的路程也为2 cm，故从a点到c点质点经过的路程为4 cm。 12、如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是(B　　) A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子小球的平衡位置 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同 13、如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为小球静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题： (1)在t＝0时刻，小球所处的位置为________(选填“A点”“O点”或“B点”)，正在向________(选填“左”或“右”)运动。 (2)A、B两点间的距离为________ cm。 (3)在图乙中，小球在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、________和________。 (4)在t＝2 s时，小球速度的方向与t＝0时速度的方向________。(选填“相同”或“相反”) (5)小球在前4 s内的位移等于________ cm，其路程为________ cm。 答案　(1)O点　右　(2)6　(3)B点　O点　A点　(4)相反　(5)0　12 解析　(1)由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示小球位于平衡位置，即O点。在0～1 s内，振动位移x>0，且逐渐增大，表示t＝0时，小球正在向正方向运动，即向右运动。 (2)由题图乙知，小球离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm。 (3)t＝1 s时，x＝3 cm，小球位于B点；在t＝2 s时，x＝0，小球位于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，小球位于A点。 (4)在t＝2 s时，x－t图像的斜率为负，表示小球向负方向运动，即向左运动。与t＝0时速度的方向相反。 (5)在t＝4 s时，小球又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，前4 s内的路程为s＝3 cm×4＝12 cm。 14、(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　CD　) A．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t＝0.6 s和t＝1.4 s时，振子的速度相同 C．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移逐渐减小 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大 15、在水平方向上做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内(　D　) A．小球的位移越来越大 B．小球正在离开平衡位置 C．小球的加速度越来越大 D．小球的速度方向与位移方向一定相反 16、如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（　C　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子一定运动到B位置 B．在t＝0.3s与t＝0.7s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减少 D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的速度不相同 17、如图（1），x 轴的坐标原点 O 为弹簧振子的平衡位置，小球在 B、C 间做无摩擦的往复运动。在对应的运动图像（2）中 A 点为 ( A ) A．B→O 的过程中某一时刻 B．O→B 的过程中某一时刻 C．O→C 的过程中某一时刻 D．C→O 的过程中某一时刻 18、如图所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，它所受的回复力F随时间t变化的图象如图，则t在2s～3s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是（　B　） A．Ek变小，Ep变大 B．Ek变大，Ep变小 C．Ek，Ep均变小 D．Ek，Ep均变大 1 物理学习的核心在于思维 最基本的知识、方法才是最重要的； 30%兴趣+30%信心+30%方法+10%勤奋+l%天赋>100%成功初三物理暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $