7.3 第2课时 组合的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

7.3 第2课时 组合的综合应用 [课时跟踪检测] 1.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 解析:选C　甲、乙二人先选1种相同的课外读物,有C1 6=6(种)情况,再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物,有=20(种)情况,由分步计数原理可得共有6×20=120(种)选法,故选C. 2.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛,并且至少1位女生入选,则不同的选法的种数为 (　　) A.12 B.18 C.21 D.24 解析:选B　可分两种情况:第一种情况,只有一位女生入选,不同的选法有=12种,第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有=6种,根据分类计数原理知,至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. 3.将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动,每个社区至少1人,则不同的分配方法有 (　　) A.50种 B.150种 C.240种 D.300种 解析:选B　可以分组为1,1,3或1,2,2两种情况,若分组为1,1,3,则有2=60;若分组为1,2,2,则有=90.则不同分法为60+90=150种. 4.如图,用点A,B,C,D,E,F,G表示某一时期的北斗七星.其中B,D,E,F四点看作共线,其他任何三点均不共线,过这七个点中任意两个点作直线,所得直线的条数为 (　　) A.18 B.17 C.16 D.15 解析:选C　根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有=21种,其中B,D,E,F四点中任意选两点只能作一条直线,有-1=6-1=5种重复,所以所得直线的条数为-(-1)=16. 5.有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是 (　　) A.24 B.48 C.72 D.96 解析:选B　根据题意可先摆放2本语文书,当1本物理书在2本语文书之间时,只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可,此时共有种摆放方法;当1本物理书放在2本语文书一侧时,共有种摆放方法.由分类计数原理,得共有+=48种摆放方法. 6.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点,则不同的取法种数为 (　　) A.141 B.144 C.150 D.155 解析:选A　从10个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类. 第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4顶点共面,有3种.以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有-4-6-3=141种. 7.“142857”这一串数字被称为走马灯数,是世界上著名的几个数之一,当142857与1至6中任意1个数字相乘时,乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数,则在这些组成的四位数中,大于5 200的偶数个数是 (　　) A.87 B.129 C.132 D.138 解析:选A　若千位数字是5,则百位数字不能是1,故共有=27(个);若千位数字是7,则共有=36(个);若千位数字是8,则共有=24(个).故符合条件的四位数共有27+36+24=87(个).故选A. 8.小张同学喜欢吃4种不同种类的奶糖,她有5个不同颜色的塑料袋,每个袋子中至少装1种奶糖.小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同,且每一种奶糖在袋子中出现的总次数均为2,那么不同的方案数为 (　　) A.3 000 B.3 360 C.1 440 D.1 560 解析:选A　依次记四种奶糖为H,Y,X,Z,则每个字母出现2次,先分堆.若是“8=4+1+1+1+1”,则其中的“4”必须是HYXZ,故有1种可能;若是“8=3+2+1+1+1”,则考虑(HYX)(Z※)(※)(※)(※),故有=12种可能;若是“8=1+1+2+2+2”,则考虑(Z)(X)(Z※)(X※)(※※),故有=12种可能,所以不同的方案数为(1+12+12)=3 000. 9.(5分)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是　　　　.(用数字作答)  解析:当每个台阶上各站1人时有种站法;当两个人站在同一个台阶上时有种站法.因此不同的站法种数为+=210+126=336. 答案:336 10.(5分)有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有　　　　　个.  解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有种方法.所以满足条件的三角形共有+=70(个). 答案:70 11.(5分)琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中华优秀传统文化,某校决定从“八雅”中挑选“六雅”,于某周末开展知识讲座,每雅安排一节,连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选,且要求“琴”“棋”相邻,“书”与“画”不相邻,则不同的排课方法共有　　　　种.(用数字作答)  解析:首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”,有种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体,与除“书”与“画”外的“两雅”全排列,有种排法;最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空,有种插法.按照分步计数原理,可得共有=864(种)排课方法. 答案:864 12.(5分)某校抽调志愿者去服务社区,已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者,若要求两名学生不分在同一社区,则不同的分配方案有　　　　　种.  解析:有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务,每个社区分配2名志愿者,共有×=90种分配方案.若两名学生分在同一社区,则有=18种分配方案.因为两名学生不分在同一社区,所以不同的分配方案有90-18=72(种). 答案:72 13.(10分)现有10名学生,其中男生6名. (1)从中选2名代表,必须有女生的不同选法有多少种?(4分) (2)从中选4人,若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内,则有多少种选法?(6分) 解:(1)法一:直接法　必须有女生可分两类:第1类,只有一名女生,共有=24(种); 第2类,有2名女生,共有=6(种),根据分类计数原理,必须有女生的不同选法有+=30(种). 法二:间接法　-=45-15=30(种). (2)第1类:甲、乙只有1人被选,共有=112(种)不同选法; 第2类,甲、乙两人均被选,有=28(种)不同选法.根据分类计数原理,男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有+=112+28=140(种). 14.(15分)已知平面α∥平面β,在α内有4个点,在β内有6个点. (1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同的平面?(5分) (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?(5分) (3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积?(5分) 解:(1)所作出的平面有三类. ①α内1点,β内2点确定的平面,最多有个.②α内2点,β内1点确定的平面,最多有个.③α,β本身,有2个.故所作的平面最多有++2=98(个). (2)所作的三棱锥有三类.①α内1点,β内3点确定的三棱锥,最多有个.②α内2点,β内2点确定的三棱锥,最多有个.③α内3点,β内1点确定的三棱锥,最多有个.故最多可作的三棱锥有++=194(个). (3)当等底面积、等高时,三棱锥的体积相等,所以体积不相同的三棱锥最多有++=114(个).故最多有114个体积不同的三棱锥. 15.(15分)2024年3月31日在连南举行半程马拉松赛,为确保马拉松赛事顺利举行,组委会在沿途一共设置了7个饮水点,每两个饮水点中间再设置一个服务站,一共6个服务站.由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作,每一个站点有且仅有一支服务队负责服务. (1)求甲队只去首尾的饮水点,且乙队只去与甲队不相邻的站点的概率;(7分) (2)为了解志愿者服务队的工作效果,将四名工作人员随机分派到A,B,C三个站点进行抽查,每人被分派到哪个站点互不影响,求三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员的概率.(8分) 解:(1)由题意可知,甲队和乙队共有种不同的安排方法,甲队只去首尾的饮水点,且乙队只去与甲队不相邻的站点,共有种,所以所求概率为=. (2)将四名工作人员随机分派到A,B,C三个站点进行抽查,共有34种不同的安排方法,三个站点中恰有一个站点未分配到任何工作人员,共有)种不同的安排方法,所以所求概率为=. 学科网（北京）股份有限公司 $