7.2 第3课时 排列、排列数的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

7.2 第3课时 排列、排列数的应用 [课时跟踪检测] 1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有 (　　) A.6种 B.9种 C.18种 D.24种 解析:选C　先排体育有种,再排其他的三科有种,共有=18(种). 2.4名男生、2名女生排成一排,要求两名女生排在一起的排法总数为 (　　) A.48 B.96 C.120 D.240 解析:选D　第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列,第二步将两名女生内部排列,即=240. 3.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有 (　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 解析:选B　若第一棒选A,则有种选派方法;若第一棒选B,则有2种选派方法.由分类计数原理知,共有3=36(种)选派方法. 4.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (　　) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! 解析:选C　利用“捆绑法”求解,满足题意的坐法种数为()3=(3!)4.故选C. 5.某单位春节共有四天假期,但每天都需要留一名员工值班,现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班,每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,则值班安排共有 (　　) A.184种 B.196种 C.252种 D.268种 解析:选C　从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班,一共有=360种方法;甲在第一天值班有=60种方法;乙在第四天值班有=60种方法;甲在第一天值班且乙在第四天值班有=12种方法;因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班,甲在第一天不值班,乙在第四天不值班共有360-60-60+12=252种方法. 6.澉浦“八大碗”是由两冷菜,三大菜,三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客,这六道菜要求依次而上,其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜,则不同的上菜顺序种数为 (　　) A.480 B.240 C.384 D.1 440 解析:选A　若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜,则有=2种,再将其与其他4道菜作全排列,共有=120种,所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有240种;而六道菜依次上菜的总顺序有=720种,所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数有720-240=480种.故选A. 7.(5分)五位同学站成一排合影,甲站在最右边,乙、丙相邻,则不同的站法种数为　　　.  解析:由乙、丙相邻,将两人视为一个整体,可看作共四位同学,又甲站在最右边,只有1种情况,所以不同站法种数为1××=12. 答案:12 8.(5分)书架上某层有6本不同的书,新买了3本不同的书插进去,要保持原来6本书的原有顺序,则不同的插法共有　　　　种.  解析:把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置,将新买的3本书放入这9个位置中的3个,其余的6本书按着原来顺序依次放入,因此插法种数为=504. 答案:504 9.(5分)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=1,2,…,7),若a4=7,a1+a2+a3<a5+a6+a7,则这样的数列共有　　　个.  解析:∵1+2+3+4+5+6=21,∴前3项的和S3≤10,列举可知,①(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6)有4个;②(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6)有3个;③(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5)有2个,共有10个,∴共计有10××=360个这样的数列. 答案:360 10.(5分)将1盆红花,2盆黄花,3盆紫花摆放在如图所示的花坛里,每格放置1盆.要求相邻的两格颜色不相同,则不同的放法共有　　　　种.  解析:将花坛格子从左到右,用1,2,3,4,5,6进行标记,先放紫花. (1)当3盆紫花中间均间隔一格时,有两种摆放方式,紫花所在格为1,3,5或2,4,6,此时,红花可以从剩余的3个格子中任意选择位置进行摆放,即有种,剩余的2个格子摆放黄花,故共有2=6种摆放方式. (2)当有两盆紫花中间间隔二格时,有两种摆放方式,即紫花所在格为1,3,6或1,4,6,此时红花必须从紫花间隔的两格中选择一个,即有种,剩余的两个摆放黄花即可,故共有2=4种摆放方式;综上,不同的放法有6+4=10种. 答案:10 11.(5分)阳春三月,草长莺飞;丝绦拂堤,尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男宝打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数为　　　(用数字作答).  解析:第一步:先将3名母亲作全排列,共有种排法;第二步:将3名女宝“捆绑”在一起,共有种排法;第三步:将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有种排法;第四步:首先将2名男宝之中的一人,插入第三步后相邻的两个妈妈中间,然后将另一名男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个,共有2种排法.所以不同的排法种数为·2=288. 答案:288 12.(10分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?(4分) (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?(6分) 解:(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法,故共有不同排法=14 400(种). (2)先不考虑排列要求,有种排法,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有-=37 440(种). 13.(15分)三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(3分) (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?(3分) (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?(3分) (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?(3分) (5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两女生,可有多少种不同的排法?(3分) 解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有种不同的排法,对于其中的每一种排法,三个女生之间又有种不同的排法.因此共有=4 320(种)不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空位,加上两边男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻,由于五个男生排成一排有种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法,因此共有=14 400(种)不同的排法. (3)法一:位置分析法　因为两端都不能排女生,所以两端只能挑选五个男生中的两个,有种不同的排法,对于其中的任意一种不同的排法,其余六个位置都有种不同的排法,所以共有=14 400(种)不同的排法. 法二:间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法,但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加回来一次,由于两端都是女生有种不同的排法,所以共有-2+=14 400(种)不同的排法. 法三:元素分析法　从中间六个位置挑选三个让三个女生排入,有种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余五个位置又都有种不同的排法,所以共有=14 400(种)不同的排法. (4)法一:位置分析法　因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,那么末位就不再受条件限制了,这样可有种不同的排法;如果首位排女生,有种排法,那么末位就只能排男生,这样可有种不同的排法,因此共有+=36 000(种)不同的排法. 法二:间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除两端都是女生的排法种,就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-=36 000(种)不同的排法. (5)男生甲、乙站好有种站法,从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法,再把甲、乙及中间两女生看成一个整体捆绑在一起,和另外4人排成一排有种站法,所以共有=1 440(种)不同的排法. 14.(15分)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和语文必须排在一起,则有多少种不同的排法?(3分) (2)语文必须排第一节,物理和数学不能排一起,则不同的排法有多少种?(3分) (3)如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法?(3分) (4)如果数学必须比语文先上,语文比英语先上(三科不一定连续上),则共有多少种不同的排法?(3分) (5)原定的6节课已经排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课,若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变,那么共有多少种不同的排法?(3分) 解:(1)第一步,先将数学和语文排在一起,有种排法; 第二步,将数学和语文看成一个整体,与历史、物理、体育、英语一起全排列,有种排法, 所以数学和语文必须排在一起共有=2×120=240种排法. (2)第一步,先排语文,有1种排法; 第二步,将历史、体育、英语全排列,有=6种排法; 第三步,在第二步产生的4个空位中插入物理和数学,有=12种排法. 所以总的排法有1×6×12=72种排法. (3)第一类,第一节排数学,其余五节任意排,有=120种排法; 第二类,第1步,从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节,有4种排法, 第2步,再从剩下的4个学科(不包括数学)中选一科排在最后一节,有4种排法, 第3步,中间4节任意排,有=24种排法, 所以总的排法有4×4×24=384. 综上,满足条件的排法有120+384=504种. (4)数学、语文、英语的上课顺序共有=6种,满足条件的顺序只有1种,故满足条件的排法有×=120种. (5)第一步,先在7个空位中选择一个空位排生物,有7种; 第二步,在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学,有8种; 第三步,在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理,有9种. 所以总的排法有7×8×9=504种. 学科网（北京）股份有限公司 $