第7章 专题微课 计数原理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

第7章 专题微课 计数原理的综合应用 [课时跟踪检测] 1.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的个数为 (　　) A.36 B.24 C.18 D.6 解析:选B　各位数字之和为奇数分为两类:两个偶数、一个奇数,有=18(个);三个都是奇数,有=6(个).所以各位数字之和为奇数的个数为18+6=24. 2.考试停课复习期间,小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目,每门科目复习1节或2节课,则不同的复习安排方法种数为 (　　) A.360 B.630 C.2 520 D.15 120 解析:选C　用7节课复习4门科目,每门科目复习1节或2节课,按每门科目复习的课的节数进行分组,则分组情况为1,2,2,2,分两步完成,第一步:从4门科目中选择1门,安排一节课,共有=28种方法,第二步:安排剩下的科目,每门科目2节课,共有=90种方法,所以不同的复习安排方法共有28×90=2 520(种).故选C. 3.如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m行从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3,则m= (　　) A.40 B.50 C.34 D.32 解析:选C　由题意,得第m行从左到右第n个数为,n∈N*,m∈N且n-1≤m,∵第m行从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3,∴=,即=,∴m=34.故选C. 4.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务活动,每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　若人数配比为3∶1∶1时,则有=60种不同安排方法;若人数配比为2∶2∶1时,则有=90种不同安排方法;所以共有60+90=150种不同安排方法.若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3∶1∶1时,则有=18种不同安排方法;若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2∶2∶1时,则有=18种不同安排方法;所以共有18+18=36种不同安排方法.所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为P==. 5.如图,在“杨辉三角”中,从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成数列1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前30项的和为 (　　) A.680 B.679 C.816 D.815 解析:选D　易知1+2+3+3+6+4+10+5+…=++++++++…,所以数列前30项的和S30=++++++++…++=(+)+(+)+(+)+(+)+…+(+) =++++…+ =(+)++++…+- =++++…+- =+++…+- =…=- =816-1=815,故选D. 6.下图是某项工程的网络图(单位:天),则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有 (　　) A.14条 B.12条 C.9条 D.7条 解析:选B　整个过程分为三步,第一步从①到④有3条路径,第二步从④到⑥有2条路径,第三步从⑥到⑧有2条路径,由分步计数原理得共有3×2×2=12条路径,故选B. 7.[多选]如图所示,在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和.下列结论正确的是 (　　) A.第10行从左往右第3个数为45 B.若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,…,则此数列的前21项和为240 C.存在正整数r,n且r<n-3,使得,,,成等差数列 D.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项 解析:选ABD　对于A,第10行从左往右第3个数为=45,故A正确. 对于B,易知第n行的和为2n(n=0,1,2,…,n),所以前n行的和为=2n-1.在“杨辉三角”中,前n行中为1的项的个数为2n-1,数列的前21项为前8行中,去除所有为1的项后剩余的项,所以前21项和为28-1-15=240,故B正确. 对于C,假设存在正整数r,n且r<n-3,使得,,,成等差数列,则2=+,2=+,即=+, =+,所以=+, =+, 整理,得n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0,两式相减,得n=2r+3,由二项式系数的性质知,=<=,与等差数列的性质矛盾,故C错误. 对于D,(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2+…+),对应相乘可得xn的系数为()2+()2+()2+…+()2,(1+x)2n的展开式的通项为Tr+1=xr,r≤2n,令r=n,得Tn+1=xn,所以xn的系数为,所以()2+()2+…+()2=,故D正确.故选ABD. 8.(5分)为响应国家号召,某校甲、乙、丙、丁、戊、己这6名大学生计划到西部边远地区A,B,C三个学校支教.根据学校需要及所学的专业,每个学校去2名大学生,甲不能去A学校,乙、丙所学专业相同,不能去同一所学校,则不同的安排方法有　　　　种.(用数字作答)  解析:当甲去B学校时,若从乙、丙中选1人去B学校,有种方法,剩下4人去A,C两个学校,有种方法,共有=12种方法;若从丁、戊、己中选1人去B学校,有种方法,乙、丙去A,C两个学校,有种方法,余下2人去A,C两个学校,也有种方法,共有=12种方法.所以甲去B学校共有12+12=24种方法.同理,甲去C学校也有24种方法.故不同的安排方法有24+24=48(种). 答案:48 9.(5分)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角形”,它是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如=+,=+,=+,…,则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　　　.  解析:将杨辉三角中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼茨三角形”,杨辉三角中,第9行第4个数字为=84,所以“莱布尼茨三角形”中第10行第4个数字为=. 答案: 10.(5分)从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中,若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有　　　　个.(用数字作答)  解析:1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类. 分三类:①没有数字1和3时,满足条件的三位数有个; ②只有1和3中的一个时,满足条件的三位数有2个; ③同时有1和3时,把3排在1的前面,再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可,满足条件的三位数有个.所以满足条件的三位数共有+2+=60(个). 答案:60 11.(5分)若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=　　　.  解析:令x=-1,得28=a0+a1+a2+…+a11+a12, 令x=-3,得0=a0-a1+a2-…-a11+a12, ∴28=2(a1+a3+…+a11), ∴a1+a3+…+a11=27, ∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7. 答案:7 12.(10分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}. (1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(5分) (2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数?(5分) 解:由1<log2x<3,得2<x<8,又x∈N*,所以x的取值为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}. (1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成的三位数的个数为=120. (2)若从集合A中取元素3,则3不能是千位上的数字,满足题意的自然数的个数为=180. 若不从集合A中取元素3,则四位数的组成数字有5组:4,5,6,7;4,6,7,8;4,5,6,8;4,5,7,8;5,6,7,8.分别全排列,有5=120(个)满足题意的自然数. 所以满足题意的自然数共有180+120=300(个). 13.(15分)从1到9的九个数字中取三个偶数、四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(5分) (2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个?(3分) (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?(3分) (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?(4分) 解:(1)分步完成:第1步,在四个偶数中取三个,可有种情况; 第2步,在五个奇数中取四个,可有种情况; 第3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有种情况. 所以符合题意的七位数有=100 800(个). (2)(1)的七位数中,三个偶数排在一起的有=14 400(个). (3)(1)的七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有=5 760(个). (4)(1)的七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入5个空位中,共有=28 800(个). 14.(15分)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序?(5分) (2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序?(5分) (3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序?(5分) 解:(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有=5 040种方法. 第二步,将4个舞蹈节目全排列,有=24种方法. 根据分步计数原理,共有5 040×24=120 960种不同的安排顺序. (2)分两步:第一步,将6个演唱节目排成一排(如图中的“□”),一共有=720种方法. ×□×□×□×□×□×□× 第二步,将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),相当于7个“×”选4个来排,一共有=840种方法. 根据分步计数原理,共有720×840=604 800种不同的安排顺序. (3)若所有节目没有顺序要求,全排列,则有种排法,但原来的节目已定好顺序,所以共有=132种不同的安排顺序. 学科网（北京）股份有限公司 $