6.3.4空间距离的计算讲义-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

编制号：11 第11课时 空间距离的计算 1. 能用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离． 2. 能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题． 【课前预学】 问题1：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 思考： （1）空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？ （2）能否用所学的空间向量来解决这些距离呢？ 问题2. 空间距离计算 （1）点到平面的距离 已知P是平面α外一点，PO⊥α，A是平面α内的任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离为d＝. （2） 点到直线的距离 已知P是直线l外一点，A是直线l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝. 【预学检测】 1．已知，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________. 5．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________. 【课堂探究】 探究一 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点B到平面B1CD1的距离． 变式：在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1) 求证：B1C∥平面A1BD； (2) 求直线B1C到平面A1BD的距离． 探究二 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是BC和CD的中点． (1) 求证：EF∥B1D1； (2) 求两条平行线EF和B1D1间的距离． 【检测反思】 1. 已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. 　　 B. 1　　 C. 　　 D. 2 2. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A. 　 　 B. 　 C. 　　 D. 3. (多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. A1C1∥平面CEF　　 B. B1D⊥平面CEF C. ＝＋－　　 D. 点D与点B1到平面CEF的距离相等 4. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________． 5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$