7.2 第2课时 排列数与排列数公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　排列数与排列数公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解排列数的意义,能用计数原理推导排列数公式. 2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数. 　　排列数及排列数公式 排列数 全排列 定义 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列 表示法 公式 乘积形式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 阶乘形式 = =n! |微|点|助|解| 排列数公式的特点 (1)公式中的m,n应该满足m,n∈N*,并且m≤n,当m>n时不成立. (2)排列数公式右边是若干数的连乘积,其特点是:第一个因数是n(下标),后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1),共有m(上标)个连续自然数相乘. 基础落实训练 1.-的值是 (　　) A.480 B.520 C.600 D.1 320 解析:选C　=12×11×10=1 320,=10×9×8=720,故-=1 320-720=600. 2.若=,则m= (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选D　由=,得m(m-1)=m(m-1)·(m-2),m≥3,解得m=3. 3.对于满足n≥4的任意正整数n,4×5×…×n= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　易得4×5×…×n=. 4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号,某记者对这四人进行采访,则不同的采访顺序有 (　　) A.4种 B.12种 C.18种 D.24种 解析:选D　由题意可得不同的采访顺序有=24种. 题型(一)　排列数的计算 [例1]　(1)计算:; (2)解方程:=140. 解:(1)= ===. (2)因为所以x≥3,x∈N*. 由=140得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得4x2-35x+69=0, 解得x1=3,x2=(舍去). 所以原方程的解为x=3. |思|维|建|模| (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行. (2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积,其中n是最大的数,n-m+1是最小的数,要会根据排列数公式的特征逆用. [针对训练] 1.若=12,则n= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　由排列数公式可得=n(n-1)=12,解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*,故n=4. 2.计算:=　　　　　　　.  解析:===-=-. 答案:- 题型(二)　排列数公式的应用 [例2]　(1)化简:+++…+(n≥2且n∈N*); (2)解不等式:<6. 解:(1)∵=-, ∴+++…+=+++…+=1-. (2)原不等式可转化为<6×,化简得x2-19x+84<0,解得7<x<12.∵即3≤x≤8,且x∈N*,∴x=8. |思|维|建|模| 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算. [针对训练] 3.不等式3≤2+6的解集为 (　　) A.{3,4,5} B.{3,4,5,6} C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6} 解析:选A　易知x≥3,x∈N.因为=x(x-1)·(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}. 4.求证:(1)-=n2; (2)-=(k≤n). 证明:(1)左边=-=n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边, ∴结论成立,即-=n2. (2)当k≤n时,左边=-=-===右边,∴结论成立,即-=(k≤n). 题型(三)　排列数的简单应用 [例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? 解:分3类:第1类,用1面旗表示的信号有种;第2类,用2面旗表示的信号有种;第3类,用3面旗表示的信号有种,由分类计数原理知,所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15,即一共可以表示15种不同的信号. |思|维|建|模| 　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树形图法.若情况较多,可以分类后进行计算. [针对训练] 5.已知有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有 (　　) A.种　 B.种　 C.种　 D.2种 解析:选C　司机、售票员各有种分配方法,由分步计数原理知,共有种不同的分配方法. 6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)  解析:文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法,由分步计数原理知,共有3×12=36(种)选法. 答案:36 学科网（北京）股份有限公司 $