7.1 第2课时 两个计数原理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

　　第2课时　两个计数原理的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解两个计数原理的含义,正确应用两个计数原理解决数字排列、 选(抽)取与分配、涂色(种植)等实际问题. 题型(一)　数字排列问题 [例1]　已知0,1,2,3,4,5这六个数字. (1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数? (2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数? 解:(1)分3步:①先选个位数字,由于组成的三位数是奇数,因此有3种选法; ②再选百位数字有4种选法; ③十位数字也有4种选法; 由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个. (2)分3类: ①一位数,共有6个; ②两位数,先选十位数字,有5种选法;再选个位数字也有5种选法,共有5×5=25个; ③三位数,先选百位数字,有5种选法;再选十位数字也有5种选法;再选个位数字,有4种选法,共有5×5×4=100个;因此,比1 000小的自然数共有6+25+100=131个. [变式拓展] 本例条件不变,可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数? 解:分4类: ①千位数字为3或4时,后面三个数位上可随便选择,此时共有2×5×4×3=120个; ②千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时,共有4×4×3=48个; ③千位数字为5,百位数字是4,十位数字为0,1之一时,共有2×3=6个; ④5 420也满足条件; 故所求四位数共有120+48+6+1=175个. 　　|思|维|建|模|　数字排列问题的解题策略 (1)明确特殊位置或特殊数字,这是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数字以上的数的最高位. [针对训练] 1.“回文联”是对联中的一种,既可顺读,也可倒读.比如,一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联:雾锁山头山锁雾,天连水尾水连天,由此定义“回文数”,n为自然数,且n的各位数字反向排列所得自然数n与n相等,这样的n称为“回文数”,如:1 221,2 413 142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有 (　　) A.900个 B.891个 C.810个 D.648个 解析:选B　6位“回文数”中个位与十万位数字相同且不为0,十位与万位数字相同,百位与千位数字相同,第一步,确定个位与十万位数字,有9种可能,第二步,确定十位与万位数字,有10种可能,第三步,确定百位与千位数字,有10种可能,则6位“回文数”共有9×10×10=900(个),又6位“回文数”中各位数字全相同的共有9个,则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=891(个). 2.用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为 (　　) A.81 B.48 C.36 D.24 解析:选B　根据题意,数字3至多出现一次,分2种情况讨论:①数字3不出现,此时四位数的每个数位都可以为6或9,都有2种情况,则此时四位数有2×2×2×2=16个;②数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位,可以为6或9,都有2种情况,此时四位数有4×2×2×2=32个,故有16+32=48个四位数. 题型(二)　选(抽)取与分配问题 [例2]　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有 (　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 (2)在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选1人参加象棋比赛,另选1人参加围棋比赛,共有　　　　种不同的选法.  解析:(1)法一:直接法　按甲工厂分配的班情况进行分类,共分为三类: 第一类,三个班都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况; 第二类,有两个班去甲工厂,剩下的一个班去另外三个工厂,分配方案共有3×3=9(种); 第三类,有一个班去甲工厂,另外两个班去其他三个工厂,分配方案共有3×3×3=27(种). 综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种). 法二:间接法　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即4×4×4-3×3×3=37(种)方案. (2)考虑“多面手”参赛人数,分三类完成这件事: 第1类,“多面手”未参赛,即从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,选法种数为3×2=6. 第2类,“多面手”中有1人参赛.①从“多面手”中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,选法种数为2×2=4;②从“多面手”中选1名参加围棋比赛,同时从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,选法种数为2×3=6.所以“多面手”中有1人参赛的选法种数为4+6=10. 第3类,“多面手”出2人,参加象棋和围棋比赛,有2种选法.根据分类计数原理,不同的选法种数为6+10+2=18. 答案:(1)C　(2)18 |思|维|建|模| 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树形图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类计数原理或分步计数原理.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. [针对训练] 3.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是 (　　) A.11 B.10 C.9 D.8 解析:选C　法一　设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有3种不同的方法;同理当a监考C,D时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样,由分类计数原理知共有3+3+3=9(种)不同的安排方法. 法二　让a先选,可从B,C,D中选一个,即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个,也有3种选法,剩下的两个老师都只有一种选法,根据分步计数原理知,共有3×3×1×1=9(种)不同的安排方法. 4.在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 解析:第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法.第二步,从第二行中选一个与第一个数不同列的数,共有3种选法.第三步,从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数,共有2种选法.第四步,从第四行中选一个与第一、二、三个数不同列的数,只有1种选法,由分步计数原理可知共有4×3×2×1=24种不同的选法. 先按列分析,每列必选出一个数,所以所选4个数的十位数字分别为1,2,3,4, 再按行分析,第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5, 所以从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第四行选15,此时个位上的数字之和最大,所以选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112. 答案:24　112 题型(三)　涂色(种植)问题 [例3]　(1)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为 (　　) A.180 B.240 C.420 D.480 (2)在如图所示的5个区域内种植花卉,每个区域种植1种花卉,且相邻区域种植的花卉不同,若有6种不同的花卉可供选择,则不同的种植方法种数是　　　　.  解析:(1)法一:按区域不同　由题设,四棱锥S⁃ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法;当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法,即当S,A,B染好时,C,D还有7种染法.故不同的染色方法有60×7=420种.故选C. 法二:按颜色种类不同　从颜色种类分: ①A,B,C,D,S用五种不同的颜色涂色,则有5×4×3×2×1=120种染色方法. ②A,C同色或B,D同色,则A,B,C,D,S用四种不同的颜色涂色,则有5×4×3×2×2=240种染色方法. ③A,C同色且B,D同色,则A,B,C,D,S用三种不同的颜色涂色,则有5×4×3=60种染色方法. 综上所述,共有120+240+60=420种染色方法. (2)如图,设5个区域分别是A,B,C,D,E. 第一步:选择1种花卉种植在A区域,有6种方法可以选择; 第二步:从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域,有5种方法可以选择;第三步:从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域,有4种方法可以选择;第四步:若区域D与区域A种植同1种花卉,则区域E可选择的花卉有4种; 若区域D与区域A种植不同种花卉,则有3种方法可以选择,则区域E可选择的花卉有4种,故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4+3×4)=1 920. 答案:(1)C　(2)1 920 |思|维|建|模| 解决涂色(种植)问题的一般思路 (1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步计数原理分析. (2)以颜色(种植品种)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类计数原理分析. (3)对于种植问题,按种植的顺序分步进行,用分步计数原理计数;或按种植品种恰当进行分类,用分类计数原理计数. [针对训练] 5.现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择,在如图所示的四块土地上进行种植,要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物,则不同的种植方法共有 (　　) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 解析:选D　如图,假设4个区域为A,B,C,D,分4步进行分析:①对于A,有4种农作物供选择;②对于B,与A相邻,有3种农作物供选择;③对于C,与A,B相邻,有2种农作物供选择;④对于D,与B,C相邻,有2种农作物供选择.则不同的种植方法种数为4×3×2×2=48,故选D. 6.中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有 (　　) A.1 050种 B.1 260种 C.1 302种 D.1 512种 解析:选C　由题意可得,只需确定区域1,2,3,4的颜色,即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1,有7种选择;再涂区域2,有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时,区域3有5种选择,剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时,剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1 302种. 学科网（北京）股份有限公司 $