7.1 第1课时 两个基本计数原理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

　计数原理 　　　　　　　　　7.1　两个基本计数原理 第1课时　两个基本计数原理[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过具体实例,理解分类计数原理、分步计数原理及其意义. 2.能根据具体问题的特征,选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际计数问题. 逐点清(一)　分类计数原理 [多维理解] 　　如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. |微|点|助|解| “分类”是分类计数原理的原则 (1)遵从分类标准,即在同一标准下进行分类. (2)遵从分类原则,即分类不重不漏,要注意类与类之间的独立性和并列性. 分类时要注意满足两条基本原则: ①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类; ②分别属于不同类的两种方法是不同的方法. [微点练明] 1.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有 (　　) A.40种 B.20种 C.15种 D.11种 解析:选D　根据分类计数原理,不同的选法共有4+5+2=11种.故选D. 2.若有序数对(a,b)满足a,b∈,且使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则这样的有序数对(a,b)的个数为 (　　) A.15 B.14 C.13 D.10 解析:选A　①当a=0时,有x=-为实根,则b=-,-1,0,2,有4种;②当a≠0时,方程有实根,所以Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-时,b=-,-1,0,2,有4种;当a=-1时,b=-,-1,0,2,有4种;当a=2时,b=-,-1,0,有3种.所以有序数对(a,b)的个数为4+4+4+3=15.故选A. 3.小明在某一天中有七个课间休息时段,为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌,但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息,则小明练习方案的总数为 (　　) A.31种 B.18种 C.21种 D.33种 解析:选B　七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7,如果仅有一个课间练习,则每个课间都可以,有7种方案,若有两个课间练习,选法有(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,5),(2,6),(2,7),(3,6),(3,7),(4,7),共10种方案,若有三个课间练习,选法为(1,4,7),共1种,故总数为7+10+1=18种. 4.在所有的两位数中,求个位数字大于十位数字的两位数的个数. 解:法一　按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分类计数原理知,满足条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个. 法二　按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.由分类计数原理知,满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个. 法三　所有的两位数共有90个,其中个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33,…,99,共9个;有10,20,30,…,90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置,则剩余的两位数有90-18=72个.在这72个两位数中,每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应,故满足条件的两位数的个数是72÷2=36. 逐点清(二)　分步计数原理 [多维理解] 如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. |微|点|助|解| (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事,也就是说是否必须要经过几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间不能重复,也不能遗漏. [微点练明] 1.“声东击西”是游击战争的一种战术:声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向,以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术,由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为 (　　) A.16 B.12 C.4 D.3 解析:选A　根据题意,声的情况有4种,击的情况也有4种,所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为4×4=16. 2.从1,3,5,7,9这五个数中取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是 (　　) A.9 B.10 C.18 D.20 解析:选C　先从1,3,5,7,9这五个数中任取一个数记为a,再从余下的四个数中任取一个数记为b,根据分步计数原理得a,b的值有5×4=20种取法.又=,=,所以共可得到lg a-lg b的不同值的个数是20-2=18.故选C. 3.五一小长假前夕,甲、乙、丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩,其中甲到过A景点,所以甲不选A景点,则不同的选法有 (　　) A.64种 B.48种 C.36种 D.24种 解析:选B　因为甲不选A景点,所以应该分步完成:第一步,先考虑甲在B,C,D三个景点中任选一个,有3种选法;第二步,再考虑乙和丙,从A,B,C,D中分别任选一个景点,有4×4=16种选法.由分步计数原理,得不同选法有3×16=48种. 4.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科,4名同学欲报名参赛,每人必选且只能选择1个学科参加竞赛,则不同的报名方法种数是　　　　　.  解析:由已知第一位同学的报名方法有5种,第二名同学的报名方法有5种,第三名同学的报名方法有5种,第四名同学的报名方法有5种,由分步计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5×5×5×5=625. 答案:625 逐点清(三)　两个计数原理的综合应用 [典例]　某药品研究所研制了5种消炎药(a1,a2,a3,a4,a5)、4种退烧药(b1,b2,b3,b4),现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验,但已知a1,a2两种药必须同时使用,且a3,b4两种药不能同时使用,则不同的试验方案有多少种? 解:当取a1,a2时,再取退烧药有4种方案,此时不同的试验方案有4种;当不取a1,a2且取a3时,取另一种消炎药的方法有2种;由于a3,b4两种药不能同时使用,所以再取退烧药有3种方案,此时不同的试验方案有2×3=6种;当取a4,a5时,再取退烧药有4种方案,此时不同的试验方案有4种.综上所述,不同的试验方案共有4+6+4=14(种). |思|维|建|模| 两个计数原理综合应用的策略 (1)要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性. (2)有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”. (3)对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,化抽象为直观. [针对训练] 某公园休息处东面有8个空闲的凳子,西面有6个空闲的凳子,小明与爸爸来这里休息. (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐),有多少种不同的坐法? (2)若小明与爸爸分别就座,有多少种不同的坐法? 解:(1)小明爸爸选凳子可以分两类:第一类:选东面的空闲凳子,有8种坐法;第二类:选西面的空闲凳子,有6种坐法.根据分类计数原理知,小明爸爸共有8+6=14(种)不同的坐法. (2)小明与爸爸分别就座,可以分两步完成:第一步,小明先就座,从东、西面共8+6=14(个)空闲凳子中选一个坐下,共14种坐法;第二步,小明爸爸再就座,从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐下,共13种坐法.由分步计数原理知,小明与爸爸分别就座共有14×13=182(种)不同的坐法. 学科网（北京）股份有限公司 $