6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.会求直线的方向向量与平面的法向量. 1.直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 2.平面的法向量 (1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量. (2)与平面垂直的直线叫作平面的法线.因此,平面的法向量就是平面的法线的方向向量. |微|点|助|解| (1)空间中,一个向量若是直线l的方向向量,必须满足两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个. (3)在求平面的法向量时,方程组有无数多个解,所以平面的法向量不是唯一的,只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 基础落实训练 1.若A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A. B. C. D. 答案:D 2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z= (　　) A.0 B.1 C. D.3 答案:A 3.已知向量=,=,则平面ABC的一个法向量为 (　　) A. B. C. D. 答案:D 4.经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为　　　　　　.  解析:因为与z轴垂直的平面的一个法向量n=(0,0,1),所以所求平面的方程为z-1=0. 答案:z-1=0 题型(一)　直线的方向向量 [例1]　如图,在三棱台ABC⁃A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间向量的一个基底,求直线AD,AE的方向向量. 解:=+=++ =++ =++ =++=a+b+c, 所以直线AD的一个方向向量是a+b+c. =+=+ =+ =+=b+c, 所以直线AE的一个方向向量为b+c. |思|维|建|模| 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算. [针对训练] 1.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD⁃A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　,直线BC1的一个方向向量为　　　　.  解析:因为DD1∥AA1,=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 答案:(0,0,1)(答案不唯一)　(0,1,1)(答案不唯一) 2.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是平行四边形,O是AC与BD的交点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:是直线GH的一个方向向量. 证明:连接MO(图略), ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O为AC的中点,又M是PC的中点, ∴MO∥PA. ∵MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM, ∴PA∥平面BDM.∵PA⊂平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH, ∴PA∥GH,∴是直线GH的一个方向向量. 题型(二)　直线方向向量表示的应用 [例2]　在空间直角坐标系中,已知点A(-2,1,-1),B(1,-3,4),C(1,0,-3),P为直线AC上的一点,且BP⊥AC,求的值. 解:设=t, 因为=(3,-1,-2),=(-3,4,-5), 所以=+=+t=(-3,4,-5)+t(3,-1,-2)=(3t-3,4-t,-5-2t). 又BP⊥AC,所以·=0,即(3,-1,-2)·(3t-3,4-t,-5-2t)=0, 解得t=.故=. |思|维|建|模| 　　直线的方向向量就是与直线平行的非零向量,对模没有限制,注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的,然后根据共线建立方程组求解. [针对训练] 3.已知在空间直角坐标系O⁃xyz中,点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且3||=||,则点C的坐标为　　　　.  解析:由题意得=(-2,-6,-2). ∵C为线段AB上一点,且3||=||, ∴=,∴=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故点C的坐标为. 答案: 4.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为　　　　.  解析:由题意得=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA, ∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=, ∴H. 答案: 题型(三)　平面的法向量 [例3]　如图,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量. 解:以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面ABCD, ∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A, ∴AD⊥平面SAB, ∴=是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中, =,=(1,1,-1). 设平面SCD的法向量n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥,∴得 令y=-1,则z=1,x=2, ∴n=(2,-1,1). 即n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量. |思|维|建|模| 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,. (3)列方程组: (4)解方程组: (5)赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. [针对训练] 5.已知点A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1内存在点E,使得CE⊥平面AB1D1,则点E的坐标是　　　　　.  解析:不妨设点E的坐标为(x0,y0,z0),平面AB1D1的法向量为n=(x1,y1,z1), 因为A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0), 所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0), 因为CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以即　 ①. 又由⇒不妨令z1=1,则x1=2,y1=-2,故n可以取(2,-2,1), 从而·n=0,即2x0-2y0+z0=2　②, 联立①②可得,x0=,y0=,z0=,故点E的坐标为. 答案: 6.在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 解:(1)由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2), 连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD. 又因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, 所以DD1⊥AC, 且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一). (2)=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z), 则所以 令x=2,得y=-2,z=-1, 所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $