6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间线面平行关系的向量判定，衔接空间向量的方向向量与法向量知识，构建线线、线面、面面平行的向量表示体系，为后续垂直关系学习提供方法支架。 资料以旗杆与护旗战士等生活实例引入，培养直观想象，通过例析长方体、正方体中平行证明，结合通性通法总结，提升逻辑推理与数学运算能力。课中辅助教师系统授课，课后练习助力学生巩固，查漏补缺。

6.3.2　空间线面关系的判定 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系（直观想象、逻辑推理）. 2.能用向量方法证明直线、平面的平行与垂直关系（数学运算、逻辑推理）. 　　观察图片，旗杆底部的平台和地面平行、旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行. 【问题】　旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间线、面关系的向量表示 　设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.（　　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.（　　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.（　　） 2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－3，－6，3），则（　　） A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 3.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝（3λ＋1，0，2λ），b＝（1，λ－1，λ），若l1⊥l2，则λ的值为　　　　. 4.已知直线l的一个方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为　　　　. 第1课时　空间向量与平行关系 题型一｜直线和直线平行 【例1】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 通性通法 证明直线平行的两种思路 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 题型二｜直线和平面平行 【例2】　（链接教科书第33页例5）（1）用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 已知：直线AB∥直线CD，AB⊄平面α，CD⊂平面α. 求证：AB∥α. （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 通性通法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示； （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； （3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，最后说明所证直线不在该平面内. 【跟踪训练】 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和点N分别为B1C和D1D的中点.求证：MN∥平面ABCD. 题型三｜平面和平面平行 【例3】　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α.求证：α∥β. 通性通法 证明面面平行的方法 （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行； （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 【跟踪训练】 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 1.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　） A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 2.已知l∥α，且l的方向向量为a＝（2，m，1），平面α的法向量为n＝，则m＝　　　　. 3.已知平面α内的三点A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），平面β的一个法向量为n＝（－1，－1，－1），且β与α不重合，则β与α的位置关系是　　　　. 4.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？ 提示：完成课后作业　第六章　6.3　6.3.2　第1课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2　空间线面关系的判定 【基础落实】 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√ 2.A　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 3.－1或－　解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－. 4.l∥α或l⊂α　解析：∵u·v＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 第1课时　空间向量与平行关系 【典例研析】 【例1】　证明：法一　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥， 又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 法二　如图所示，建立空间直角坐标系A-xyz，则根据题意得M，N（0，2，2），R（3，2，0），S. ∴＝，＝， ∴＝. ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 跟踪训练 　证明：以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），E， C1（0，1，1），F， ∴＝，＝（－1，0，），＝，＝， ∴＝，＝，∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 【例2】　证明：（1）设平面α的法向量为n，则·n＝0. 因为∥，所以存在λ∈R，使＝λ， 则·n＝λ·n＝0，所以AB∥α. （2）不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则可求得M（0，1，），N，D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0）. 于是＝，＝（1，0，1），＝（1，1，0）. 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）， 则得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1）. ∵·n＝·（1，－1，－1）＝0，∴⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 跟踪训练 　证明：如图，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），B1（0，1，2），D1（1，－2，2）. 因为M，N分别为B1C，D1D的中点， 所以M（1，，1），N（1，－2，1）. 依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量， 又＝（0，－，0），则·n＝0， 又直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 【例3】　证明：如题图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv. 从而n·＝n·（xu＋yv）＝xn·u＋yn·v＝0. 所以向量n也是平面β的法向量.故α∥β. 跟踪训练 　证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°， 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（，－1，0），F（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）， 所以＝（0，0，2），＝（，－1，0），＝（，－1，0），＝（0，0，2），所以∥，∥， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 随堂检测 1.D　由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝. 2.－8　解析：∵l∥α，∴a⊥n，即a·n＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 3.α∥β　解析：∵＝（0，1，－1），＝（1，0，－1），n·＝（－1，－1，－1）·（0，1，－1）＝－1×0＋（－1）×1＋（－1）×（－1）＝0，n·＝（－1，－1，－1）·（1，0，－1）＝－1×1＋0＋（－1）×（－1）＝0，∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量，又α与β不重合，∴α∥β. 4.解：不存在，理由如下. ＝＋，＝＋， 因为，不共线，所以不存在实数λ使＋＝λ（－＋），即不存在实数λ，使＝λ，所以，不共线， 故直线AD上不存在点F，使得AE∥CF. 学科网（北京）股份有限公司 $