专题6.7 空间线面关系的判定（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦空间线面关系的判定，系统梳理用向量方法研究线线、线面、面面平行与垂直的核心原理，通过即学即练夯实基础概念，再以8类题型（含典例与变式）构建从理论到应用的学习支架。 资料以数学抽象和逻辑推理素养为导向，设计探索性问题（如线段上是否存在点使线面垂直）培养创新意识，题型分层且方法总结清晰，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升空间关系论证能力。

专题6.7 空间线面关系的判定 教学目标 1.能用向量方法判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系． 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理． 3.用向量的思想方法判定空间线面的平行和垂直关系，有助于培养和发展学生推理论证能力、合情推理能力、逻辑思维能力和运用向量语言进行表达和交流的能力；在利用向量法判定空间线面关系的过程中，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养． 教学重难点 1.重点 用向量方法判断空间线面平行与垂直关系． 2.难点 用向量方法判断空间线面平行与垂直关系. 知识点01 用空间向量研究直线、平面的平行关系 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 【即学即练】 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 【答案】A 【分析】根据方向向量的数量积可判断，，但不垂直于，故可得正确选项. 【解析】∵， ， ， ∴，与不垂直，，∴，，但不垂直于． 故选：A. 2．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【解析】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 3.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据列方程，解方程得到即可. 【解析】因为，所以，则，解得， 所以. 故选：A. 知识点02 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 【即学即练】 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 【答案】A 【分析】根据方向向量的数量积可判断，，但不垂直于，故可得正确选项. 【解析】∵， ， ， ∴，与不垂直，，∴，，但不垂直于． 故选：A. 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【解析】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 3.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由平面垂直得法向量数量积为0，即可求解. 【解析】由题意，所以，解得. 故选：A. 题型01 直线和直线平行 【典例1】若不重合的直线的方向向量分别为，，则（ ） A．∥ B．⊥ C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量共线即可判定的位置关系. 【解析】解：因为，所以.又直线不重合，所以平行. 故选：A. 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可。 【变式1】在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【解析】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B. 【变式2】已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【解析】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 【变式3】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【解析】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 题型02 直线和平面平行 【典例1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算求解. 【解析】因为平面平面，所以， 又底面是正方形，所以，则两两垂直， 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 设，因为 平面，所以， 即，解得， 故，所以. 故选:B. 证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 【变式1】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【解析】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 【变式2】已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【解析】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 【变式3】已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【答案】1 【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案. 【解析】因为直线AB与平面平行，所以与垂直， 即，解得. 故答案为：1 【变式4】如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【解析】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 【变式5】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【解析】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 题型03 平面和平面平行 【典例1】在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【解析】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【变式1】平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【解析】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C 【变式2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式3】如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型04 直线与直线垂直 【典例1】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a， 则， 设，则， 因为BF⊥PE，则，解得， 即，可知F是AD的中点，故. 故选：B. 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直。 【变式1】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解析】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 【变式2】(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 【答案】AD 【分析】建立直角坐标系，设坐标，根据求出参数之间的关系，在依次判断选项正误. 【解析】   以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示. 则设，其中 ， 又，即 对于选项A，，因此，故选项A正确； 对于选项B，，， 因此无最大值，故选项B错误； 对于选项C，，因此面积无最大值，故选项C错误； 对于选项D，,因此三棱锥的体积不变，故选项D正确. 故选：AD. 【变式3】正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为__________ 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【解析】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故答案为： 题型05 直线与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面． 【解析】因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，    设， 则，，，，． 所以，，． 法一：因为，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面． 法二：设，则，． 因为，所以， 即．① 又因为，可设，所以，，．② 由①②可知，，，，所以． 设为平面的法向量， 则有，即，所以，取，则． 所以，所以平面． 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式1】如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【答案】C 【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可. 【解析】   以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以 平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C. 【变式2】(多选)如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】ABD 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为__________ 【答案】 【分析】建系，分析可知平面，，，结合垂直关系可知，结合范围分析最值即可. 【解析】如图所示：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 可得， 则，可知， 且，平面，可知：平面， 且平面，可得， 设，即，则， 因为，解得，即； 同理可得：平面，， 则，， 又因为， 则三棱锥为正三棱锥，点为等边的中心， 在中，结合等边三角形可知：， 因为平面，平面，则，可知， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 综上所述：线段的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解析】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 题型06 平面与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【解析】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 【答案】ABC 【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误；利用空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可判断C选项的正误；根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误. 【解析】对于A选项，由法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，A选项正确； 对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确； 对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确； 对于D选项，只有当、不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误. 故选：ABC. 【变式2】在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 【变式3】如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【解析】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 题型07 平行、垂直综合的向量证明 【典例1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【解析】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【变式1】如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 题型08 空间中位置关系的探索性问题 【典例1】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【解析】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【答案】不存在点，使平面 【分析】由题意可建立相应空间直角坐标系，假设存在，可设，，，，结合空间向量解出、，可得其与假设矛盾，故不存在. 【解析】由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，，， 假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 【变式2】如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点. 【分析】（1）根据题目条件证明平面，从而得到//，得出//平面; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值确定点的位置. 【解析】解：（1）因为，是边长为4的等边三角形， 所以， 所以是等腰直角三角形，． 又点为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为，， 所以，， 所以与都是直角三角形， 故，． 又， 所以平面， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设存在，使得二面角为直二面角，易知，且． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 由，得，故． 所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角． 【变式3】如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【解析】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【解析】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 2．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案. 【解析】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 3．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（ ） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用向量法，计算出与平面的法向量垂直，由此判断出与平面平行. 【解析】∵正方体棱长为a， ∴， ∴ = 又∵是平面的法向量， 且 ∴， ∴MN //平面 故选：B 4．)如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题不正确的是（ ） A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线线垂直、线面垂直、计算两点距离，及根据锥体体积公式一一判定选项即可. 【解析】在正方体中，以D为原点，以射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图： 则. 设，则， 因为，所以，即. 对于A：，则， 所以，即，故A正确; 对于B：， 即与不垂直，从而与平面不垂直，故B不正确； 对于C：，则， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：不论点如何移动，点到平面的距离为4，且为定值， 而为定值， 故三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：B. 5．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【解析】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 6．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 7．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D. 【解析】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，易得，， 因为向量是平面的法向量， 所以，即， 得，故D是真命题． 故选：AD. 8．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【解析】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 9.（多选）如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【解析】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：ABD 10．设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ． 【答案】/－0.5 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，两向量垂直，其数量积为零﹒ 【解析】∵，∴，∴． 故答案为：﹒ 11．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解析】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 12．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用，可求，作的平行线，分别为，，的中点，连接，可得球心在过的外心且垂直平面的垂线上，连接，设，，利用向量法求得，进而求得球心的坐标，求得球的半径进而可求表面积. 【解析】建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， ，．设，，， 又，则， 解得． 再根据如图2所示，作的平行线，分别为，，的中点，连接， 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上． 连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故，故， 由题可设，，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以球的表面积为． 故答案为：. 13．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 14．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 空间线面关系的判定 教学目标 1.能用向量方法判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系． 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理． 3.用向量的思想方法判定空间线面的平行和垂直关系，有助于培养和发展学生推理论证能力、合情推理能力、逻辑思维能力和运用向量语言进行表达和交流的能力；在利用向量法判定空间线面关系的过程中，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养． 教学重难点 1.重点 用向量方法判断空间线面平行与垂直关系． 2.难点 用向量方法判断空间线面平行与垂直关系. 知识点01 用空间向量研究直线、平面的平行关系 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 【即学即练】 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 2．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．3 C． D． 知识点02 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 【即学即练】 1．已知三条直线，，的一个方向向量分别为，，，则（ ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．，，两两互相垂直 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．2 C．6 D． 题型01 直线和直线平行 【典例1】若不重合的直线的方向向量分别为，，则（ ） A．∥ B．⊥ C．相交但不垂直 D．不能确定 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可。 【变式1】在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式2】已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式3】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    题型02 直线和平面平行 【典例1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 【变式1】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【变式2】已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则 . 【变式4】如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【变式5】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 题型03 平面和平面平行 【典例1】在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【变式1】平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式3】如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型04 直线与直线垂直 【典例1】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直。 【变式1】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【变式2】(多选)长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为0 C．面积的最大值为 D．三棱锥的体积不变 【变式3】正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为__________ 题型05 直线与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 【变式1】如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【变式2】(多选)如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【变式3】如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为__________ 【变式3】如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 题型06 平面与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量 【变式2】在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ） A． B． C． D．1 【变式3】如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 题型07 平行、垂直综合的向量证明 【典例1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【变式1】如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 题型08 空间中位置关系的探索性问题 【典例1】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【变式2】如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A．7 B． C．2 D． 2．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 3．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（ ） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 4．如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题不正确的是（ ） A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 5．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 7．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 8．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 9.（多选）如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 10．设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ． 11．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 12．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 13．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 14．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $