6.1.2 空间向量的数量积 学案-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

编制号：2 第2课时 空间向量的数量积 【学习目标】 1.掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律。 2.理解投影向量的概念，会确定某条向量在某条直线或某个平面上的投影向量，进一步了解空间向量数量积的几何意义。 【课前预学】 1.空间向量的数量积：类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律． (1) 空间向量的夹角： ①定义：已知两个非零向量，过空间任意，作，则叫作向量与向量的夹角，记作。 　　　　 ②范围：___________________ 注：当与同向时，则＝______； 当与反向时，则＝______； 当与垂直时，则＝______；记作：则______。 (2) 空间向量的数量积及运算律： ①定义：___________________； 规定：零向量与任一向量的数量积为_______。 注：________________ ________________ ________________ ②数量积的运算律 交换律 结合律 分配律 2.向量在平面上的投影向量的定义 如图，设向量，过点分别作平面的垂线，垂足分别为，得向量，我们将上述由向量得到向量的变换称为向量向平面投影，向量称为向量在平面上的投影向量． 思考：由一个向量在另一个向量上的投影向量的概念及由一个向量在一个平面上的投影向量的概念，你对数量积的定义又有怎样的认识？ 【预学检测】 1.对于空间向量和实数，下列说法中正确的是(　　) A. 若，则或； B. 若，则或； C. 若，则或； D. 若，则。 2.已知空间向量满足，则__________。 3.已知为空间单位向量，且，若，求实数k的值。 【课堂探究】 探究一 、如图，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，求： (1) ；(2)；(3) ；(4) 。 变式：已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为△ABC的重心，若，则________，________。 探究二、如图，为平面外两点，点在平面上的射影分别为点，为平面内的向量．求证：。 探究三、如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点． (1) 确定向量在平面上的投影向量，并求； (2) 确定向量在直线上的投影向量，并求。 【检测反思】 1.(多选)在四面体中，下列说法中正确的有(　　) A. 若，则； B. 若为的重心，则； C. 若，则； D. 若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则。 2.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 3.如图，四棱锥的底面是矩形，，且⊥底面。 (1) 求向量在向量上的投影向量； (2) 若线段上存在异于的一点，使得，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$