6.2.2 第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间向量的坐标表示及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用直角坐标系刻画点的位置. 2.能借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)得到顶点的坐标.　3.掌握空间向量线性运算的坐标表示. 逐点清(一)　空间向量的坐标表示 [多维理解] 1.空间直角坐标系 如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O⁃xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面. 2.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O⁃xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O⁃xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3). |微|点|助|解| 点P(a,b,c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 (a,-b,-c) y轴 (-a,b,-c) z轴 (-a,-b,c) xOy平面 (a,b,-c) yOz平面 (-a,b,c) zOx平面 (a,-b,c) 坐标原点 (-a,-b,-c) 记忆口诀:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反. [微点练明] 1.如图,在长方体OABC⁃O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是棱B1C1的中点,则点P的坐标为 (　　) A.(3,5,4) B. C. D. 解析:选C　由题图可知,B1(3,5,4),C1(0,5,4),因为点P是棱B1C1的中点,所以由中点坐标公式可得P. 2.在直三棱柱ABO⁃A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为　　　　　　　　　　　.  解析:设,,同向的单位方向向量分别为i,j,k.因为=-=-(+)=-=---=-2i-j-4k, 所以=(-2,-1,-4). 因为=-=-(+)=--=-4i+2j-4k,所以=(-4,2,-4). 答案:(-2,-1,-4),(-4,2,-4) 3.在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. 解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4). (2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (3)设对称点为P3(x,y,z), 则点M为线段PP3的中点, 由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P3的坐标为(6,-3,-12). 逐点清(二)　空间向量的坐标运算 [多维理解] (1)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 ①a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); ②a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); ③λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R). (2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. [微点练明] 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则a-b+2c= (　　) A.(-9,-3,0) B.(0,2,-1) C.(9,3,0) D.(9,0,0) 解析:选C　a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0). 2.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c= (　　) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 解析:选B　∵向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,∴c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 3.已知i,j,k是空间直角坐标系O⁃xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为 (　　) A.(1,-1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,2) D.(-1,1,2) 解析:选D　由题设知=(0,0,3),=(-1,1,-1),∴=-,设B(x,y,z),则(-1,1,-1)=(x,y,z-3),易得x=-1,y=1,z=2,∴B(-1,1,2). 4.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 (　　) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 解析:选B　如图,取AC中点M,连接ME,MF, 则==,==,所以=-=(-2,-3,-3). 逐点清(三)　空间向量平行的坐标表示 [多维理解] 已知空间向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R). [微点练明] 1.已知向量a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为 (　　) A.-5 B.-6 C.-4 D.-3 解析:选B　因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1)且a∥b,所以存在实数m,使得a=mb,即(t,12,-3)=m(2,t+2,1),所以解得 2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 (　　) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 解析:选B　因为a=(1,2,-y),b=(x,1,2),所以a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).因为(a+2b)∥(2a-b),所以==,解得x=,y=-4. 3.已知空间两点A(1,2,-1),B(2,0,1),点P(-1,a,b)在直线AB上运动,则ab=　　　　.  解析:依题意得,=(-2,a-2,b+1),=(1,-2,2).因为点P在直线AB上运动,所以存在非零实数λ,使得=λ,即(-2,a-2,b+1)=λ(1,-2,2),则解得所以ab=-30. 答案:-30 4.已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),求证:四边形ABCD是一个梯形. 证明:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3), =(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6), ∴==,∴与共线,即AB∥CD. 又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), =(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), ∴≠≠,∴与不平行. ∴四边形ABCD为梯形. 学科网（北京）股份有限公司 $