6.1.1 第2课时 空间向量的线性运算与共线向量定理　-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　空间向量的线性运算与共线向量定理　 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步学习空间向量的线性运算,掌握空间向量的线性表示及向量共线的充要条件,会证明空间三点共线. 题型(一)　空间向量的线性表示 [例1]　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,N,P分别是BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1); (2). 解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+c+b. (2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. [变式拓展] 1.本例增加条件“M是AA1的中点”,试用a,b,c表示+. 解:∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c. 又=+=+=+=c+a,∴+=+=a+b+c. 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何用a,b,c表示? 解:=+=++=a+c+b. 　　|思|维|建|模|　空间向量线性运算的解题技巧 数形结合 利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量 明确目标 在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质 [针对训练] 1.若空间中四点A,B,C,D满足4+=4,则= (　　) A. B.3 C. D. 解析:选A　∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,即=3,则=. 2.[多选]已知三棱锥O⁃ABC,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是 (　　) A.=b+c 　B.=-a+b+c C.=-a+b+c 　D.=a+b+c 解析:选ABD　如图,因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故A正确; ===-=-×=-a+b+c,故B正确; =-2=-2=a-b-c,故C错误; =+=+=a+b+c,故D正确. 题型(二)　向量共线与三点共线问题 [例2]　(1)设向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 解析:(1)选A　由题意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因为A,C,D三点共线,所以存在唯一的y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],所以解得 (2)证明:如图,连接EF,FB,∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线. [变式拓展] 　本例变为:如图,正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,F为A1C上一点,且=,BD与AC交于点M.求证:C1,F,M三点共线. 证明:连接MF,MC1(图略).设=a,=b,AA1=c,则=+=+=(+)+(+)=++(++)=++=a+b+c,=+=+=(+)+=a+b+c,∴=3.又直线MC1与直线MF有公共点M,∴C1,F,M三点共线. |思|维|建|模|　向量共线的判定及应用 (1)利用向量共线证明线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别. (2)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法: ①存在实数λ,使=λ, ②对于空间任一点O,=+t(t∈R), ③对于空间任一点O,=x+y(x+y=1). [针对训练] 3.如图,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=. 求证:四边形EFGH是梯形. 证明:∵E,H分别是AB,AD的中点, ∴=,=,则=-=-=(-)==(-)==(-)=, ∴∥且||=||≠||. 又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形. 题型(三)　空间共线向量定理的推论及应用 [例3]　已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点(O,A,B三点不共线),且存在实数α,β,使=α+β,求α+β的值. 解:因为A,B,P三点共线,所以存在m∈R使得=m,即-=m(-), 所以=(1+m)-m. 又因为=α+β,所以α+β=(1+m)-m=1. |思|维|建|模| 　　空间共线向量定理的推论:在空间中,若A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且O,A,B三点不共线,则=x+y(x+y=1). [针对训练] 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E在体对角线D1B上,且D1E=EB,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则D1F=　 　　FC1.  解析:在正方体中,=+=+,设D1F=λFC1,因为D1E=EB,所以4=+,即=+.因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得λ=,即D1F=FC1. 答案: 5.在空间四边形ABCD中,=3,=-++λ,则λ=　　　　.  解析:∵=-++λ, ∴+=+λ, 即=+λ. 又=3,∴B,C,M三点共线, ∴+λ=1,解得λ=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $