6.2.1 空间向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

　　　　　 6.2　空间向量的坐标表示 6.2.1　空间向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法. 2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角. 1.空间向量基本定理 空间向量 基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3 基底和基 向量 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示,我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫作基向量 2.正交基底和单位正交基底 正交 基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底 单位正 交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示 3.推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底. (　　) (2)若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间向量的一个基底. (　　) (3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (4)若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则a,b,c全不是零向量. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基底,=x+y+z,则x,y,z的值是 (　　) A.1,1,1 B.,, C.,, D.2,2,2 答案:A 题型(一)　基底的判断 [例1]　[多选]若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组能构成空间的一个基底的是 (　　) A.{a+b,a-b,c} B.{a+b,b+c,c+a} C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c} D.{a+b,a+b+c,2c} 解析:选AB　因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一个基底,故A正确; a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确; 因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误; 因为a+b=a+b+c-(2c), 所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误. |思|维|建|模| 判断给出的三个向量能否构成基底的方法 　　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. [针对训练] 1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间向量的一个基底的一组向量是 (　　) A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 解析:选C　因为a,b,c不共面,故a,2b,b-c也不共面,能构成空间向量的一个基底.其他选项皆共面. 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.用向量,,表示和. 解:=+=+=+(-)=+=+×(+)=++.=+=+++=++. 　　|思|维|建|模|　用基底表示向量的一般步骤 定基底 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果 下结论 利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量 [针对训练] 2.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点. (1)用向量a,b,c表示,; (2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值. 解:(1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1,则=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=-=a-c. (2)∵=(+) =(-+)=(-c+a-b-c) =a-b-c, 又=xa+yb+zc, ∴x=,y=-,z=-1. 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 [例3]　如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°. (1)求证:AC1⊥DB; (2)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值. 解:(1)证明:∵以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,∴·=·=·=1×1×cos 60°=, ∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0,∴AC1⊥DB. (2)∵=+-=+-,=+=+, ∴||2==+++2·-2·-2·=1+1+1+1-1-1=2,即||=, ||====,·=(+-)·(+)=-+·+·=1-1++=1,∴cos<,>===,∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基底. (2)将所求向量用基底表示. (3)将几何问题转化为向量问题: ①将距离和线段长转化为向量的模; ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题; ③将空间角问题转化为向量夹角问题. [针对训练] 3.如图,直四棱柱ABCD ⁃A1B1C1D1的底面是菱形,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.证明:MN∥平面C1DE. 证明:设=a,=b,=c. 因为E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点, 由题意知=++(+)=-c-a+(b+c)=-a+b,=+=+=a-b=-, 所以=-,所以∥. 所以MN∥DE. 又因为MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE, 所以MN∥平面C1DE. 学科网（北京）股份有限公司 $