6.1.2 空间向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

6.1.2　空间向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量的数量积求空间两点间的距离. 1.空间两个向量的夹角 (1)夹角 定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角 图示 表示 <a,b> 范围 [0,π] (2)空间两个向量的关系 ①如果<a,b>=0,那么向量a与b同向; ②如果<a,b>=π,那么向量a与b反向; ③如果<a,b>=,那么称a与b互相垂直,并记作a⊥b. 2.空间向量数量积的定义 定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos<a,b>叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b> 规定 零向量与任一向量的数量积为　0　  3.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 结合律 (λa)·b=λ(a·b)(λ∈R) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 4.向量在向量上的投影向量 (1)定义:对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,如图,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为向量a在向量b上的投影向量. (2)几何意义:向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积,即a·b=·b. 5.向量在平面上的投影向量 (1)定义:设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影,向量称为向量m在平面α上的投影向量. (2)几何意义:空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积,即m·n=·n. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　　) (2)若a·b=0,则a=0或b=0. (　　) (3)对于非零向量a,b,<a,b>与<-a,-b>相等. (　　) (4)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. (　　) (5)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,则在AC上的投影向量的模为　　　　;在平面ABCD内的投影向量的模为　　　　.  答案:　2 3.若a,b,c是空间中两两夹角为的单位向量,=2a-2b,=b-c,则·=　　　　.  解析:由题意得,a·b=b·c=c·a=12×cos=,则·=2(a-b)·(b-c)=2(a·b-a·c-b2+b·c)=2=-1. 答案:-1 题型(一)　空间向量数量积的计算 [例1]　如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·; (2)·; (3)·; (4)·. 解:(1)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 60°=. (2)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 0°=. (3)·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-. (4)·=(+)·(+)=[·(-)+·(-)+·+·]=[-·-·+(-)·+·]=×=-. 　　|思|维|建|模| 1.空间向量数量积的运算方法 已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模; (4)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. [针对训练] 1.已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为 (　　) A.-b B.b C.b D.-b 解析:选D　a在b上的投影向量为·=·=-·=-b. 2.如图,正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)=　　　,a·(a+b+c)=　　　　,(a+b)·(b+c)=　　　　.  解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1. 答案:0　1　1 题型(二)　利用数量积求模与夹角 [例2]　如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值. 解:因为=-=+-,=+,所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,||=,||2==(+)2=+=12+22=5,||=,·=(+-)·(+)=-=22-12=3, 所以cos<,>===. [变式拓展] 1.本例中条件不变,求N为AA1的中点时,与夹角的余弦值. 解:由例题知,||=,||=,·=·(+)=-=×22-12=1,所以cos<,>===. 2.本例变为:如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求BD1的长. 解:∵=++,∴==+++2·+2·+2·=42+22+22+2×4×2×cos 60°+2×4×2×cos 120°+2×2×2×cos 90°=24,∴BD1的长为2. |思|维|建|模| (1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用夹角公式求异面直线所成角的步骤 [针对训练] 3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC⁃A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长为　　　　.  解析:设=a,=b,=c. 由题意,知|a|=|b|=|c|=2, 且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°. 因为=++=-++=-a+b+c, 所以||2==a2+b2+c2+2=×22+×22+22+2××2×2×cos 60°=1+1+4-1=5, 所以||=,即EF=. 答案: 4.已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则异面直线OE与BF所成角的余弦值为　　　　.  解析:由已知得=(+), =-=-, 因此||=|+|= =, ||===. 又因为·=(+)·=×2-×2+×2-2=-2, 所以cos<,>===-. 故异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 答案: 题型(三)　利用数量积证明垂直问题 [例3]　如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,所以·=(++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'. (2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0, 所以⊥,所以AC'⊥B'C. 同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B', 所以AC'⊥平面B'CD'. |思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与该平面内两不共线的向量的数量积分别为0. (3)证明面面垂直,可利用面面垂直的判定定理,将面面垂直转化为线面垂直,然后利用向量法证明. [针对训练] 5.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD. 证明:设AD=a,则AB=2a. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB, 所以·=·=0, 所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+·=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,所以⊥,故PA⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $