6.1.3 共面向量定理（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦共面向量定理这一核心知识点，前承空间向量基本概念，后接空间几何共面问题解决，通过李老师回家位移的生活实例引入，构建“概念辨析—定理理解—应用训练”的学习支架，帮助学生逐步掌握共面向量的判断与证明方法。 该资料以生活情境激发数学抽象，通过判断题强化共面向量概念认知，分题型（线面平行证明、四点共面及参数求解）训练逻辑推理，例题与跟踪训练结合。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升运用定理解决空间问题的能力。

6.1.3　共面向量定理 课标要求 1.了解共面向量的概念，理解共面向量定理（数学抽象）. 2.能运用共面向量定理解决空间中的共面问题（逻辑推理）. 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图所示）. 【问题】　以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 　　提醒：（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量；（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点二　共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得　p＝xa＋yb　.即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.（　×　） （2）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　×　） （3）若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x＋y.（　×　） 2.若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（　　） A.m，n，p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m，n，p共面 解析：D　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. 3.若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则直线AB与平面CDE的关系是AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE. 解析：∵＝λ＋μ（λ，μ∈R），∴，，共面，∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE. 题型一｜空间向量共面的判断与证明 【例1】　（链接教科书第15页练习1题）对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是（　　） A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析：A　由共面向量定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量. 通性通法 向量共面的判定方法 　　充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面. 【跟踪训练】 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，是（　　） A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 解析：C　如图所示.向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∵＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，故C正确，D错误. 2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. 证明：因为点M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋＝（ ＋）＋＋（ ＋）＝＋. 又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面. 题型二｜利用共面向量定理证明线面平行 【例2】　（链接教科书第13页例5）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点.求证：EF∥平面PAD. 证明：因为＝－＝（＋）－ ＝＋ ＝＋＝＋， 所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 通性通法 利用空间向量证明线面平行的一般方法 　　证明线面平行时，只需把直线上的一个向量用平面内的两个不共线向量线性表示，并且说明直线在平面外即可. 【跟踪训练】 　如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC. 证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB＝DC，而E是PD的中点，所以PD＝2ED.所以＝＋＋＝2＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋， 又因为与不共线，可知，，共面， 而PB⊄平面EAC，所以PB∥平面AEC. 题型三｜共面向量定理的应用 角度1　利用共面向量定理证明四点共面 【例3】　（链接教科书第14页例6）（1）〔多选〕对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 解析：BC　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. （2）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为DD1的中点，∴＝c－a. 又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝（b＋c）， ∴＝－＝（b＋c）－a＝（b－a）＋（c－a）＝＋， ∴，，为共面向量. 又三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 角度2　利用共面向量定理求参数 【例4】　已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝（　　） A.2　　　　　　　　　B.－2 C.1 D.－1 解析：B　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 通性通法 四点共面的证明方法 （1）先证三向量共面，即＝x＋y，又三向量有公共点P，则P，A，B，C四点共面； （2）若存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得对于空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 【跟踪训练】 1.已知空间中A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若P为该平面外一点，且＝－x－，则实数x＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　由共面向量定理的推论，知－x－＝1，解得x＝. 2.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判定在下列条件下，点P是否与A，B，M共面. （1）＋＝3－； （2）＝4－－. 解：（1）∵＋＝3－， ∴＝＋（－）＋（－） ＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝＋， ∴，，为共面向量， 又，，过同一点P， ∴P与A，B，M共面. （2）由＝4－－，得4＋（－1）＋（－1）＝2≠1. 又＝x＋y＋z中，P，A，B，M共面的条件为x＋y＋z＝1， ∴P与A，B，M不共面. 1.下列说法正确的是（　　） A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 答案：B 2.已知，是空间两个不共线的向量，＝3－2，那么必有（　　） A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面 解析：C　由共面向量定理知，，，共面. 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为（　　） A.1　　　 B.0 C.3　　　 D. 解析：D　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，∴x＝. 4.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°.求证：D，M，B1，N四点共面. 证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接MD，DN，NB1，B1M，如图. 因为A1M＝AA1，CN＝CC1， 所以＝＋＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝＋， 所以＝，即DN＝MB1且DN∥MB1，所以四边形DMB1N为平行四边形，即D，M，B1，N四点共面. 1.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A.＝2－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 解析：C　C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面. 2.已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对有序实数组（x，y），使k＝xi＋yj，x，y不一定非零.故选A. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 解析：C　如图，连接CD1，则＝，∴＝－，故，，共面，选项A、B、D均不共面. 4.下面关于空间向量的说法正确的是（　　） A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C.若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 解析：D　若向量a，b平行，则向量a，b所在的直线平行或重合，则A不正确；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b是共面向量，则B不正确；空间中的任意两个向量通过平移可在一个平面内，因此，是共面的，则C不正确；利用反证法即可证明若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面，则D正确.故选D. 5.〔多选〕已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 解析：ACD　对于A，＝2＋3，一定有，，共面，且有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B，＝3－－＝3－＋，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共面，故B错误；对于C，∥，可得A，B，C三点共线，则A，B，C，D四点一定共面，故C正确；对于D，＝＋3－5＝－－3＋5，－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，M为空间内任意两点，且有＝＋6＋7＋4，则下列结论正确的有（　　） A.，，共面　B.，，不共面 C.M∈平面A1BCD1 D.M∉平面A1BCD1 解析：AC　因为＝＋6＋7＋4，所以－＝＋6＋6＋4，所以＝＋6＋4＝＋2＋4，所以－＝2＋4，所以＝2＋4，所以，，共面.又因为A1M与平面A1BCD1有公共点A1，因此，M∈平面A1BCD1. 7.已知向量a，b，c不共面，则使向量m＝2a－b，n＝b＋c，p＝xa＋5b＋3c共面的实数x的值是－4. 解析：因为向量m，n，p共面，所以存在实数s，t，使p＝sm＋tn，即xa＋5b＋3c＝2sa＋（t－s）b＋tc，所以t＝3，s＝－2，x＝2s＝－4. 8.已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝－1. 解析：因为A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且四点共面，所以存在实数λ1，λ2，λ3，使得＝λ1＋λ2＋λ3且λ1＋λ2＋λ3＝1.因为＝2x＋3y＋4z＝－2x－3y－4z，所以λ1＋λ2＋λ3＝－2x－3y－4z＝1，所以2x＋3y＋4z＝－1. 9.已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足＋2＝6－3，则P与平面ABC的关系是P在平面ABC内. 解析：由题意得＝＋＋，∵＋＋＝1，且A，B，C三点不共线，∴点P与点A，B，C共面. 10.如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点，O为平面ABC外一点，若＝m＋n＋2，求m＋n的值. 解：法一　由题知＝＋， ∵A，P，B，C四点共面，根据平面向量基本定理， 不妨设＝x＋y（x，y∈R）， 则＝＋x＋y＝＋x（－）＋y（－）＝（1－x－y）＋x＋y， ∵＝m＋n＋2， ∴∴m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1. 法二　直接由共面向量定理的推论，得到m＋n＋2＝1，∴m＋n＝－1. 11.已知向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，则（　　） A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 解析：D　对于A，∵≠，∴不存在实数λ，使得＝λ成立，∴与不共线，A错误；对于B，∵＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，∴＝－＝e1－13e2，又≠，∴不存在实数λ，使得＝λ成立，∴与不共线，B错误；对于C、D，若A，B，C，D四点共面，则有＝x＋y＝（x＋2y）e1＋（x＋8y）e2＝3e1－5e2，∴即故＝－，故A，B，C，D四点共面，C错误，D正确. 12.〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则结论正确的有（　　） A.P∈直线AB　　　　 B.P∉直线AB C.O，A，B，P四点共面 D.P，A，B三点共线 解析：ACD　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为＝m＋n，故O，A，B，P四点共面.故选A、C、D. 13.如图，M是三棱锥P-ABC的底面△ABC的重心，若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝（　　） A. B. C. D.1 解析：A　因为M为△ABC的重心，所以＝（＋）＝（－＋－），所以＝＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝，所以x＋y－z＝.故选A. 14.在正四棱锥P-ABCD中，M，N，S分别是棱PA，PB，PC上的点，且＝x，＝y，＝z，其中x，y，z∈（0，1]. （1）若x＝1，y＝，且PD∥平面MNS，求z的值； （2）若x＝，y＝，且点D∈平面MNS，求z的值. 解：（1）因为＝x，＝y，＝z，且x＝1，y＝，所以＝，＝. 在正四棱锥P-ABCD中，由＝＋，可得－＝－＋－，即＝－＋. 又因为PD∥平面MNS，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即＝λ（－）＋μ（－）＝（－λ－μ）＋＋μz. 又因为＝－＋，且，，不共面，所以解得z＝1. （2）由（1）可知＝－＋， 又因为＝x，＝y，＝z，且x＝，y＝，可得＝－2＋. 因为点D∈平面MNS，即D，M，N，S四点共面，所以－2＋＝1，解得z＝. 15.已知四边形ABCD是平行四边形，P是▱ABCD所在平面外一点，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心. （1）试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； （2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断. 证明：（1）分别连接PE，PF，PG，PH并延长交对边于点M，N，Q，R. 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R得到的四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝， 所以＝＋＝（－）＋（－）＝（－）＋（－）＝（＋）. 又因为＝－＝－＝，所以＝（＋），即＝＋. 由共面向量定理知E，F，G，H四点共面. （2）平面EFGH∥平面ABCD. 证明如下：由（1）得＝，故MQ∥EG. 又因为MQ⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD. 又因为＝－＝－＝，所以MN∥EF. 又因为MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 因为EG与EF交于点E，所以平面EFGH∥平面ABCD. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $