6.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

　空间向量与立体几何 6.1　空间向量及其运算 6.1.1　空间向量的线性运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 逐点清(一)　空间向量的概念 [多维理解] 1.空间向量的定义及表示 定义 在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量,叫作空间向量 长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模 表示方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示 符号表示 表示空间向量的有向线段,若以A为起点,B为终点,则记作,其模记作|| 空间向量常用一个小写字母表示.如:向量a,b,其模分别记为|a|,|b| 2.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量:-a, 的相反向量: 相等向量 相同 相等 a=b |微|点|助|解| 理解空间向量相关概念的注意点 (1)单位向量、零向量都明确规定了向量的模,需注意单位向量有无数个,它们的方向并不确定,因此,它们不一定相等;零向量的方向任意,但规定所有的零向量都相等. (2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等.在空间中,这个结论同样成立. (3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同. [微点练明] 1.[多选]下列命题为真命题的是 (　　) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.所有的零向量相等 C.任一向量与它的相反向量不相等 D.向量与向量的长度相等 解析:选BD　有向线段是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来,故A错误;零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的,故B正确,C错误;与仅是方向相反,它们的长度是相等的,故D正确. 2.下列关于空间向量的说法正确的是 (　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量,满足||>||,则> D.相等向量其方向必相同 解析:选D　单位向量长度相等,方向不确定,故A错误;|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定,故B错误;向量作为矢量不能比较大小,故C错误;相等向量方向相同,大小相等,故D正确. 3.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中, (1)试写出与相等的所有向量; (2)试写出的相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. 解:(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3个. (2)向量的相反向量为,,,. (3)||===3. 逐点清(二)　空间向量及其线性运算 [多维理解] 1.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法 运算 三角形法则 首尾相接首尾连(通过平移) 平行四边形法则 起点相同(共起点)(通过平移) 减法 运算 平行四边形法则 起点相同连终点,被减向量定指向 数乘 运算 实数λ的作用:正负定方向,数值定模比 2.空间向量的加法和数乘的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R). [微点练明] 1.在三棱锥O-ABC中,+-等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　+-=-=+=,故选C. 2.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则-(+)= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选A　-(+)=-(2)=-==-. 3.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简得到的向量: (1)++; (2)-+; (3)++(-). 解:(1)++=++=.向量如图(1)所示. (2)-+=-(-)=-=.向量如图(2)所示. (3)++(-)=+(+)=+,设M是线段CB'的中点,则++(-)=+=.向量如图(3)所示. 逐点清(三)　共线向量及共线向量定理 [多维理解] 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作a∥b. 规定零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. [微点练明] 1.[多选]下列说法错误的是 (　　) A.在平面内共线的向量在空间内不一定共线 B.在空间内共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间内一定不共线 D.在空间内共线的向量在平面内一定共线 解析:选ABC　在平面内共线的向量在空间内一定共线,故A、C错误;在空间内共线的向量,平移到同一平面内一定共线,故B错误,D正确. 2.与共线是直线AB∥CD的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线,所以充分性不成立;而若AB∥CD,则必有与共线,必要性成立. 3.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为 (　　) A.= B.∥ C.||=|| D.||≠|| 解析:选B　由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共线.同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共线,所以,共线,即∥.故选B. 4.设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,则解得 学科网（北京）股份有限公司 $