用圆锥曲线的定义速解客观题策略 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

用圆锥曲线的定义速解客观题策略 圆锥曲线的定义揭示了各自曲线形成的条件、基本性质及几何特征.椭圆、抛物线、双曲线的定义既有相异的一面(第一定义),又有相同的一面(第二定义),定义就成了研究、掌握和应用圆锥曲线最重要的工具.因此,巧用圆锥曲线的定义并通过数形结合解题,不仅能抓住问题的本质,还能避开繁杂的运算,可使许多问题快捷获解.同学们在解答圆锥曲线试题时,要强化应用定义的意识,凡是牵涉到圆锥曲线的焦半径或焦点弦问题,一般都能利用定义求解,可达到事半功倍之效. 核心考点一、巧用定义求曲线轨迹 在高考试题中求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程问题一直是考查的重点与热点,求轨迹方程的方法很多，在解题中若能利用圆锥曲线的定义去寻找该动点所适合的轨迹特征，再根据曲线所具有的属性就能判断该轨迹是椭圆、双曲线、抛物线中的哪一种？然后抓住题目条件确定方程中的参数值就可求出动点的轨迹方程. 例1.(1)已知一动圆经过定点,且与定圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A. B. C. D. (2)已知正四面体的侧面与底面所成的角为，点为侧面内的一个动点；若点到点的距离与点到底面的距离之比为(是正常数)，则当时点的轨迹是( ) A.双曲线的一部分 B.抛物线的一部分 C.圆的一部分 D.椭圆的一部分 【解析】(1)如图,设动圆的半径为,定圆的半径为,两圆相切于点,，.依题意,得圆心,则,又点在圆内部，知圆与圆相内切,于是 ,即,且,由椭圆的定义知,动圆圆心的轨迹是以为两焦点椭圆.又因焦点在轴上且关于原点,设椭圆的标准方程为,这里，,即,则,得圆心的轨迹方程是.故选B. (2)如图,过点作底面，过作于，连(三垂线定理)，则为侧面与底面所成二面角的平面角；因得，又而为正常数,得离心率,即点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值且大于,又点为侧面内的一个动点.由双曲线的第二定义知点的轨迹是双曲线的一部分.故选A. 【点评】找出动点所满足的具体条件,并结合圆锥曲线的定义分析是解决这类问题的关键.对于问题(1),先确定点在圆内部,进而得出两圆内切是解题的关键所在,由题中条件推出是解决问题的突破点,根据椭圆的第一定义可顺理成章得出轨迹方程.对于问题(2),它是一个解几与立几知识交汇点的综合题,重点考察圆锥曲线统一定义的灵活运用,求解此类轨迹问题的关键是探寻动点到所在平面内的定点与定直线间距离之比的规律. 核心考点二、巧用定义求距离和的最值 在圆锥曲线中考查最值问题是高考卷中的常见题型,其中有一类涉及求距离和的最值问题可利用化折为直的方法求解,这需要恰当地运用圆锥曲线的定义、平面几何中三角形三边之间的关系及不等式等相关知识加以解决. 例2.已知椭圆内有一点,为椭圆的左焦点,是椭圆上的一动点,设的最大值和最小值分别为和,则________. 【解析】如图,设椭圆的右焦点为.由方程,得,则.由椭圆的第一定义知,即,则需求的最值,连接并延长与反向延长分别交椭圆于与.由平面几何知识得,即.则当点与点重合时,得；当点与点重合时,得；于是得.故填. 【点评】若用普通解析方法(即两点间的距离公式)来求的最值是非常繁杂和困难的；但将其进行适当的转化,巧用椭圆第一定义,把转化为与右焦点有关的线段,即是解题的突破口；然后再化折为直,结合平面几何知识当三点共线时可取得最值，从而使问题轻松获解. 核心考点三、巧用定义求离心率 离心率是圆锥曲线的一个重要性质,是描述曲线的扁平程度或张口大小的一个重要几何参量,在解析几何中其地位显得极为重要.考试中涉及圆锥曲线离心率的试题包括求它的值或取值范围两大类,且有不少问题与圆锥曲线的定义密切相关,解题时可巧用定义求解. 例3.已知双曲线的左、右焦点分别为,其左准线为,是双曲线左支上的一点,并且有是到的距离与的等比中项,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】依题意，得；由双曲线的第二定义得,即,两式消去,得 ①；又由双曲线的第一定义得 ②.由①②解得,在焦点三角形中,有 (当且仅当三点共线时取等号),所以,即,又,解得.故选B. 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质及其第一与第二定义、数列中的等比中项和不等式等知识，凸显解析几何的特点,通过数形结合与方程的思想作为解题指导,巧用定义寻找几何量的关系,借用焦点三角形助力求解,从而避开繁杂的运算而使问题巧妙获解. 核心考点四、巧用定义寻求最值点 在求解有关圆锥曲线试题时,经常涉及求使某个长度取得最值时的最值点问题,这类题型需要用到圆锥曲线的统一定义进行转化后才能更好地得到解决,因此，能否巧用定义将所求问题进行化归与转化是解决这类最值点问题的关键所在. 例4.已知点,点是椭圆的右焦点,在该椭圆上求一点,使得的值最小,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【解析】如图,设点到椭圆的右准线的距离为,由椭圆方程,得,,离心率.由椭圆第二定义得,即有,则只需使有最小值,当三点共线时,；此时,所求的点即为过点作准线的垂线段与椭圆的交点,易得点为.故选D. 【点评】本题由焦半径,应联想到椭圆的第二定义,需将转化为点到椭圆右准线的距离,再结合图形分析,易知当三点共线时有最小值,从而能很快求出满足条件的点的坐标. 核心考点五、巧用定义来求个焦半径和的值 在圆锥曲线问题中，若涉及求多个焦半径之和的值时，通常要联想到借用圆锥曲线的焦半径公式来进行求解，利用圆锥曲线的定义可顺利实现点点距和点线距的相互转化. 例5.已知是抛物线C:上的点，它们的横坐标依次为且是抛物线C的焦点.若，则的值等于( ) A. B. C. D. 【解析】由于是抛物线C:上的点，它们的横坐标依次为，是C的焦点,由抛物线的性质及焦半径公式得，又因为,所以 .故选A. 【点评】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，解题的关键是利用了抛物线的定义，将其焦半径公式用点的横坐标来表示，并通过已知条件，能顺利求出的值为. 【变式训练题】 1.(1)有一动圆过定点,且与已知圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A. B. C. D. (2)已知正三棱锥,点为侧面内的一个动点，且点到点的距离等于点到底面的距离；若动点的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) A.圆 B. 抛物线 C.双曲线 D.椭圆 2.已知是双曲线的左焦点,点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为________. 3.已知椭圆的两焦点为,若在椭圆上恒存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式训练4】已知点,点是抛物线的焦点,点在抛物线上,则使取得最小值的点的坐标是( ) A. B. C. D. 5.已知是椭圆C:的左焦点，是椭圆C上的点，它们的横坐标依次为，且数列是等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 变式训练题答案与解析 1.(1)C 设动圆的半径为,则；已知圆圆心,半径为,且点在圆的外部.由于圆与圆相切,分情况讨论如下:①当两圆外切时,则有 ,即；②当两圆内切时,则有,即 .综合①②得,由双曲线的定义知:动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线,且,则,得其方程为.选C. (2)D 设点是点在底面上的射影，则底面；在底面内,过作于，连(三垂线定理).在中,,又,则.注意是正三棱锥的侧面与底面所成锐二面角的平面角,且是一个定值.于是离心率,即点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值且小于,由圆锥曲线的统一定义知,动点的轨迹是椭圆的一部分.故选D. 2. 设双曲线的右焦点为,由方程,得,则.因为点在双曲线右支上,由双曲线第一定义知,即,又,当且仅当三点共线时取等号,得的最小值为.故填. 3.C 设椭圆的焦距,由椭圆的定义得；在中,由余弦定理得 ,于是得 (当且仅当时取等号),可得,且,解得.故选C. 4.B 依题意,设点到抛物线的准线的距离为.由抛物线的定义知,则只需使有最小值,当三点共线时,；此时,所求的点即为过点作准线的垂线段与抛物线的交点,易得点为.故选B. 5.D 依题意,椭圆C中的，则离心率；又是椭圆C的左焦点，由椭圆的焦半径公式得；又数列是等差数列，由等差数列的性质知，从而得 .故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $