32 专题六 课时19 圆锥曲线的定义、方程及性质（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时19　圆锥曲线的定义、方程及性质 [备考指南]　圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． 基础考点1　圆锥曲线的定义与标准方程 【母题1】　[易错题][人教A版选择性必修第一册P121练习T4]双曲线 ＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|＝ ． 9　[由题意得，焦距2c＝8，可得c＝4，在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，根据双曲线定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4，所以|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或|MF2|＝9，当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6<8，不满足题意，故舍去；当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14>8，满足题意，所以|MF2|＝9．] 【母题2】　[人教B版选择性必修第一册P167习题2－7AT5]如图是一座抛物线型拱桥示意图，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点距离水面4 m时，量得水面宽12 m，那么当水位升高1 m时水面的宽为 m． 6　[如图，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．由题意知B(6，－4)，将其代入方程x2＝－2py，得2p＝9， ∴抛物线方程为x2＝－9y． 当y＝－3时，x2＝－9×(－3)＝27，∴x＝±3， ∴此时水面的宽为6 m．] 链接核心知识：1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M． 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” (1)“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴． (2)“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 1．(多选)(2025·福建模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(1，3)，P为C上的动点，则(　　) A．满足|PA|＝|PF|的点P恰有两个 B．满足△PAF面积为的点P恰有三个 C．|PA|＋|PF|的最小值为3 D．|PA|－|PF|的最小值为－2 BCD　[对于选项A，满足|PA|＝|PF|的点P位于线段AF的垂直平分线上，其方程为y＝，与C仅有一个交点，故A选项错误； 对于选项B，设点P到直线AF的距离为d，S△PAF＝|AF|·d＝，则d＝1， 所以点P在直线x＝2或y轴上，这样的点P有三个，故B选项正确； 对于选项C，如图1，点A在抛物线外，|PF|＋|PA||AF|，故|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝3，故C选项正确； 对于选项D，如图2，过点A作x轴的平行线，与准线交于点B，与抛物线交于点P， 根据抛物线定义，|PB|＝|PF|，此时|PA|－|PF|有最小值－|AB|＝－2，故D选项正确．故选BCD．] 2．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 C　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a． ∵△PF1F2为面积为8的直角三角形，依题意可知∠F1PF2＝90°， ∴m2＋n2＝4c2，m·n＝8． ＝2，∴tan ∠F1F2P＝＝2． 即m＝2n， ∴解得 ∴2a＝m－n＝2，即a＝． ∴4c2＝m2＋n2＝40，即c2＝10． ∴b2＝c2－a2＝8． ∴双曲线方程为＝1． 故选C．] 3．(多选)(2025·山东模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，离心率为，左、右顶点分别为A，B，M是C上的动点，下列说法正确的是(　　) A．C的方程为＝1 B．|MF2|的最小值为 C．若点M异于点A，B，则直线MA，MB的斜率之积为定值 D．若cos ∠F1MF2＝，则△F1MF2的面积为2 AC　[对于选项A，因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，离心率为， 所以c＝1，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝3， 则椭圆C的方程为＝1，故选项A正确； 对于选项B，当点M与点B重合时，|MF2|取最小值为1，故选项B错误； 对于选项C，设M(x0，y0)，此时kMAkMB＝·＝， 因为点M在椭圆C上， 所以＝＝， 则＝－，故选项C正确； 对于选项D，在△F1MF2中， 由余弦定理得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·＝4c2＝4， 因为|F1M|＋|F2M|＝2a＝4，即(|F1M|＋|F2M|)2＝16， 所以|F1M|·|F2M|＝12，解得|F1M||F2M|＝， 所以＝|F1M||F2M|sin ∠F1MF2＝＝1，故选项D错误． 故选AC．] 易错提醒：求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错． (2)椭圆与双曲线的标准方程中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2． (3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点的位置． 【教用·备选题】 1．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|OP|＝(　　) A． B． C． D． B　[法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<， 所以＝b2tan ＝b2tan θ， 由cos ∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tanθ＝(负值舍去)， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以＝·|F1F2|·|yP|＝·2·|yP|＝6×， 解得|yP|＝，即＝3，则＝9×＝， 因此＝＝＝． 故选B． 法二：因为＝2a＝6，① ＋－2cos ∠F1PF2＝|F1F2|2， 即＋－＝12，② 联立①②，解得＝＋＝21， 而＝， 所以＝＝， 即＝ ＝ ＝ ＝． 故选B． 法三：因为＝2a＝6，① ＋－2cos ∠F1PF2＝|F1F2|2， 即＋－＝12，② 联立①②，解得＋＝21， 由中线定理可知， ＋＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42， 易知＝2，解得＝．故选B．] 2．(多选)(2025·延吉市三模)设双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．A，B为C上关于原点中心对称的两点，则(　　) A．C的实轴长为2 B．||AF1|－|BF1||＝2 C．若＝4，则直线AB的斜率为 D．若＝，则BF2⊥F1F2 ABD　[设c为双曲线C的半焦距，则c＝＝2， 因为a2＝c2－2＝2，所以a＝，则C的实轴长2a＝2，故选项A正确； 因为A，B关于原点中心对称，F1，F2关于原点中心对称， 所以四边形AF1BF2为平行四边形，所以|AF1|＝|BF2|， 则||AF1|－|BF1||＝||BF2|－|BF1||＝2a＝2，故选项B正确； 因为＝＝2·|F2O|·|yB|＝4，解得|yB|＝2， 所以|xB|＝，直线AB斜率即直线OB斜率， 因为kOB＝±＝±，所以直线AB的斜率为±，故选项C错误； 因为＝，||AF2|－|AF1||＝2， 所以|AF2|＝3，|AF1|＝， 则|AF1|2＋|F1F2|2＝2＋16＝18＝|AF2|2，所以AF1⊥F1F2， 因为AF1∥BF2，所以BF2⊥F1F2，故选项D正确． 故选ABD．] 基础考点2　椭圆、双曲线的几何性质 【母题3】　[人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T12]设椭圆＝1(a>b>0)与双曲线＝1的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于，则e1的取值范围为 ，e2的取值范围为 ． 　[设椭圆和双曲线的半焦距分别为c1，c2，由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以0<<，则0<<，所以e1＝＝＝∈，e2＝＝＝∈．] 链接核心知识：1．求离心率通常有两种方法 (1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1)． (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 2．与双曲线＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)． 1．(多选)(2025·南宁模拟)已知点A(1，2)在双曲线C：＝1(a>0，b>0)上，则下列结论正确的是(　　) A．C的实轴长小于2 B．C的渐近线方程可能为y＝±x C．C的离心率大于 D．C的焦距不可能为4 AC　[将A(1，2)代入双曲线C：＝1中，可得＝1， 对于A，＝＋1>1，故a2＜1，因此0＜a＜1，所以2a＜2，即C的实轴长小于2，故A正确； 对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若渐近线方程为y＝±x，则＝， 结合＝1可得＝1，则＝－1，该方程无实数根， 故渐近线方程不可能为y＝±x，故B错误； 对于C，离心率为e＝＝＝＝>，故C正确； 对于D，若焦距为4，则2c＝2＝2＝4，故b2＝<c2， 故焦距可能为4，故D错误． 故选AC．] 2．(多选)(2025·柳州三模)已知F是椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P(m，n)是C上的一个动点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长是2 B．|PF|的最大值是2＋ C．△OFP的面积的最大值为，其中O为坐标原点 D．椭圆C的离心率为 BCD　[对于选项A，因为椭圆C的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，则椭圆C的长轴为2a＝4，故选项A错误； 对于选项B，易知c＝，所以F(，0)，－2m2， 因为点P在椭圆C上，所以＋n2＝1，即n2＝1－， 所以|PF|2＝(m－)2＋n2＝(m－)2＋1－＝－2m＋4， 易知函数y＝m2－2m＋4图象的对称轴为直线m＝>2， 所以该函数在[－2，2]上单调递减， 则当m＝－2时，函数取到最大值，最大值为7＋4， 因为7＋4＝(2＋)2，所以|PF|的最大值为2＋，故选项B正确； 对于选项C，易知－1n1，|OF|＝， 所以S△OFP＝|OF||n|＝|n|， 则△OFP的面积的最大值为，故选项C正确； 对于选项D，由a＝2，c＝，可得e＝，故选项D正确． 故选BCD．] 3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为 ． 　[法一：如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则＝(x－c，y)，＝(－c，n)， 又＝－， 则 可得A． 因为⊥，且＝＝(c，n)， 则·＝c2－n2＝0，化简得n2＝4c2． 又点A在C上， 则＝1，整理可得＝1， 将n2＝4c2代入，可得＝9，即25e2－＝9， 解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝． 法二：由＝－，得＝， 设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t， 则||＝2t＋2a，||＝5t， 设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝， 所以cos θ＝＝，解得t＝a， 所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a， 在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝．] 反思领悟：(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围． (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线标准方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到． 【教用·备选题】 1．(多选)(2025·凉州区模拟)已知双曲线方程为＝1，则(　　) A．双曲线的渐近线方程为y＝±x B．双曲线的离心率是 C．双曲线的虚轴长是8 D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6 CD　[由双曲线＝1，得a2＝9，b2＝16，c2＝25， 对于选项A，＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，故A选项错误； 对于选项B，离心率e＝＝，故B选项错误； 对于选项C，双曲线的虚轴长是2b＝8，故C选项正确； 对于选项D，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为2a＝6，故D选项正确． 故选CD．] 2．(多选)(2025·泰安模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是(　　) A．若a＝2，b＝，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B．若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 C．以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且|PO|＝|PF2|，则双曲线C的离心率e＝＋1 D．若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，∠AF1O＝，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x ACD　[对于A，由双曲线的性质知，焦点到渐近线的距离为b，故A正确； 对于B，在双曲线上取顶点P(a，0)时，直线PF1与PF2的斜率之积为0，故B错误； 对于C，由题意点P在圆x2＋y2＝c2上， 又|PO|＝|PF2|，所以xP＝， 代入圆的方程，可得＝，又点P在双曲线上，可得＝1， 即＝3＋2(负值舍去)， 所以e＝＝＝＝＋1，故C正确； 对于D，直线l的方程为x＝c，与渐近线y＝±x相交于A，B， 所以＝＝(c，0)， 即cos ＝＝＝，化简可得＝12，解得＝2， 所以双曲线渐近线方程为y＝±2x，故D正确． 故选ACD．] 基础考点3　抛物线的几何性质 【母题4】　[苏教版选择性必修第一册P117习题3.3(2)T5]设m为实数，已知抛物线的焦点在y轴上，点M(m，－3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，求m的值及抛物线的标准方程、准线方程． [解]　已知抛物线的焦点在y轴上，点M(m，－3)是抛物线上的一点，则抛物线的焦点在y轴负半轴上，故可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 把(m，－3)代入，得m2＝6p，∵M到焦点的距离是5， ∴＋3＝5，即p＝4，∴m2＝24，故m＝±2． 故抛物线的标准方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 链接核心知识：抛物线的焦点弦的几个常见结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2． (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝． (3)＝． (4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－相切． 1．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则(　　) A．p＝2 B．|AB|4 C．·＝－4 D．k1k2＝－4 ABD　[因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)， 所以22＝2p，解得p＝2，故A正确； 所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，依题意，直线l的斜率不为0， 设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0， 则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋44，故B正确； 因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误； 由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正确． 故选ABD．] 2．(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．] 反思领悟：利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，简化问题且减少数学运算． 【教用·备选题】 1．(多选)已知过抛物线y2＝8x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　) A．焦点F的坐标为(4，0) B．|AB|＝x1＋x2＋4 C．y1y2＝－8 D．＝ BD　[由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误； 由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确； 设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ＝64m2＋64>0， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，故C错误； ＝＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故D正确． 故选BD．] 2．(多选)(2025·黄冈二模)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．若|FA|＝3|FB|，则直线AB的倾斜角为60° B．以线段AB为直径的圆与l相切 C．存在直线AB，使得OA⊥OB D．若直线AO交l于点D，则BD⊥l BD　[对于A，由题可得，焦点F(1，0)，准线l：x＝－1， 设直线AB的方程为x＝my＋1， 联立化简得y2－4my－4＝0， 则Δ＝16m2＋16＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 又|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，|FA|＝3|FB|， 所以x1＋1＝3(x2＋1)， 即解得m＝±， 则直线AB的斜率k＝±，所以倾斜角为60°或120°，故A错误； 对于B，如图，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′， 根据抛物线的定义，|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|， 则|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)＝|AB|， 所以以线段AB为直径的圆与l相切，故B正确； 对于C，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， 若OA⊥OB，则·＝x1x2＋y1y2＝0， 由＝＝4x2，可得x1x2＝＝1，则1－4＝－3≠0，所以不存在直线AB使得OA⊥OB，故C错误； 对于D，直线AO的方程为y＝x，令x＝－1，得y＝－，故D点坐标为， 因为＝4x1，所以y＝＝－， 又y1y2＝－4，则y＝y2，所以D点的纵坐标与B点的纵坐标相同，即BD⊥l，故D正确． 故选BD．] 1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0)　 B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)， 又点P在曲线C上， 所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)， 即点M的轨迹方程为＝1(y>0)． 故选A．] 2．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ． 　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1， 得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5， 又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．] 15 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $