34 专题六 重点培优练6 圆锥曲线的三大定义（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

重点培优练6　圆锥曲线的三大定义 [总体概览]　1．圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：平面内任意一点P(x，y)到点F(c，0)(圆锥曲线的焦点)的距离与到直线x＝(圆锥曲线的准线)的距离之比为e＝(圆锥曲线的离心率)的点的轨迹为圆锥曲线，(1)当0<e<1时，点P(x，y)的轨迹为椭圆；(2)当e>1时，点P(x，y)的轨迹为双曲线；(3)当e＝1时，点P(x，y)的轨迹为抛物线． 2．椭圆与双曲线的第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点． 当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆； 当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线． 1．(2025·四川模拟)已知点A(1，0)，点B(－1，0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1(x≠±1) C．x2－＝1 D．x2－＝1(x≠±1) D　[设动点M(x，y)，由于A(1，0)，B(－1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为4， 得·＝4，化简得x2－＝1(x≠±1)．故选D．] 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在 C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则由kAP·kAQ＝得kAP·kAQ＝·＝＝，由＝1，得＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝． 法二(第三定义)：设右端点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝，由椭圆第三定义得kPA·kPB＝－，故＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝．] 3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，若点P在椭圆上，则满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)的点P的个数为(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 C　[设P(x0，y0)，则＝1， 由椭圆的第二定义可知|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0， 所以|PF1|·|PF2|＝， 而|PO|2＝|PF1|·|PF2|，所以＝， 即＝，而e2＝1－， 解得x0＝±，y0＝±，所以满足条件的P点有4个，故选C．] 4．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为M，N，P为C上异于M，N的一点，若直线PM，PN的斜率之积为，且C的焦距为4，则双曲线C的实轴长为(　　) A．6 B．4 C．2 D．3 A　[由双曲线的第三定义可知kPM·kPN＝＝，即a2＝3b2， 又双曲线C的焦距为4，即c＝2， 由 得 故双曲线的实轴长为2a＝6．故选A．] 5．(2025·延吉市三模)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若|AF1|＝3|BF1|，且∠F2AB＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点， 设|BF1|＝t，由|AF1|＝3|BF1|，得|AF1|＝3t，由椭圆定义可知|AF2|＝2a－3t，|BF2|＝2a－t， ∵∠F2AB＝，∴在△ABF2中，由余弦定理得(2a－t)2＝(4t)2＋(2a－3t)2－2·4t·(2a－3t)·cos ， 解得t＝或t＝0(舍去)，∴在△F1AF2中，|AF1|＝，|AF2|＝，|F1F2|＝2c， ∴(2c)2＝＋－2···cos ， 解得a＝c， ∴离心率e＝＝． 故选D．] 6．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　[设点P(x，y)， 则直线PA1的斜率为k1＝ ＝， 直线PA2的斜率为k2＝＝， k1·k2＝·＝． ∵点P(x，y)满足＝1， ∴x2＋＝4，即x2－4＝－， 故k1·k2＝＝－，k1＝－·， ∵k2∈[－2，－1]，k1＝－·单调递增， ∴k1∈． 故选B．] 7．已知点A(－2，)，设点F为椭圆＝1的右焦点，点M为椭圆上一动点，则|MA|＋2|MF|的最小值为 ，此时点M的坐标为 ． 10　(2)　[如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M， ∵椭圆的离心率e＝， ∴由椭圆的第二定义得2|MF|＝|MN|， ∴|AM|＋2|MF|＝|AM|＋|MN|． 故最小值为|AN|的长，且|AN|＝2＋8＝10， 所以|MA|＋2|MF|的最小值为10，此时点M的坐标为(2，)．] 8．[易错题][人教A版选择性必修第一册P108例3]如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是－，则点M的轨迹方程为 ． ＝1(x≠±5)　[设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5，0)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－5)．同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠5)．由已知，有＝－(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为＝1(x≠±5)．] 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $