第四单元 正比例和反比例（单元复习课件）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册重点难点举一反三讲义

第四单元 正比例和反比例 北师大版六年级下册单元复习举一反三培优讲练 CONTENTS 目录 1. 导图指引 Part One 知识点梳理 Part Two 2. 重点难点考点讲练 Part Three 3. 真题实战演练 Part Four 4. 难度分层训练 Part Five 5. 导图指引 PART 01 导图指引 知识点梳理 PART 02 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2.如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3.正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点一：正比例 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2.判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点二：反比例 知识点三：判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点：   正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式： (一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 解题步骤 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 知识点四：用比例解决问题 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 重点难点考点讲练 PART 03 高频考点一：变化的量 （24-25六年级下·辽宁·随堂练习）你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ （1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 （2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 （3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 典例精讲 高频考点一：变化的量 变式训练 （23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） （1）公共汽车速度从0提高到400米/分，用了1分。 （2）公共汽车从解放路站到商场站共行驶了4分。 （3）公共汽车从1分到3分，行驶的速度没有变化，行驶的路程有变化。 高频考点二：正比例的意义及辨识 典例精讲 （24-25六年级下·四川成都·期末）奇思一家坐高铁去北京游玩，这列车行驶的时间和路程的关系如图所示。 (1)这列车行驶600km需要( )时。 (2)这列车行驶的路程和时间成( )比例。 （1）这列车行驶600km需要3时。 （2）200÷1＝200（km）、400÷2＝200（km）、600÷3＝200（km）…… 路程÷时间＝速度（一定），这列车行驶的路程和时间成正比例。 高频考点二：正比例的意义及辨识 变式训练 （24-25六年级下·福建南平·期末）下列各个选项中表述正确的是（    ）。 ①在同一个圆中，圆的周长和直径成正比例关系。 ②国家速滑馆冰面面积达1.2万平方米，相当于1.2公顷。 ③一个数的倍数比它的因数大。 ④六（1）班共50名学生，今天全部到校，出勤率是50%。 A．①② B．③④ C．①④ D．①②③ ①根据圆的周长公式C＝πd得＝π（一定），周长和直径成正比例，原题说法正确。 ②1.2万平方米＝12000平方米＝1.2公顷，原题说法正确。 ③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，倍数不一定比因数大，例如5的最大因数是5，5的最小倍数也是5，此时倍数和因数相等，原题说法错误。 ④全部到校，出勤率是100%，不是50%，原题说法错误。 综上，表述正确的是①②。 故答案为：A 高频考点三：正比例图象的认识 典例精讲 （24-25六年级下·陕西西安·期末）某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成( )比例关系，环卫队每小时清扫( )米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的( )%。 高频考点三：正比例图象的认识 典例精讲 由图可知，（一定），所以清扫的街道长度与所用时间成正比例关系，环卫队每小时清扫50米。 250÷（5－1） ＝250÷4 ＝62.5（米） （62.5－50）÷50×100% ＝12.5÷50×100% ＝0.25×100% ＝25% 1＋25%＝125% 所以，速度应提高到原来的125%。 高频考点三：正比例图象的认识 变式训练 （24-25六年级下·河北邯郸·期中）一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … 高频考点三：正比例图象的认识 变式训练 （1）作图如下： （2）分析可知，（一定），所以购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成正比例。 （3）693÷7＝99（元） 分析可知，点（7，693）在这条直线上，“7”表示购买咖啡杯的数量，“693”表示购买咖啡杯一共需要的钱数，点（7，693）表示购买7个咖啡杯需要693元。 高频考点四：正比例的应用 典例精讲 （23-24六年级下·四川成都·期末）复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 时间/分 0 1 2 3 4 5   60   路程/千米 0 5 10 15 20         高频考点四：正比例的应用 典例精讲 （1）5×5＝25（千米），60×5＝300（千米） （2）5÷1＝5（千米/分），10÷2＝5（千米/分），15÷3＝5（千米/分），速度一定，时间与路程的比值一定，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例。 （3） （4）由第（3）小题可得，图像是一条经过原点直线，速度一定， 时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 时间/分 0 1 2 3 4 5 … 60 … 路程/千米 0 5 10 15 20 25 … 300 … 高频考点四：正比例的应用 变式训练 （24-25六年级下·安徽亳州·期中）下图中，线段OA表示司机张师傅开车到外地送货时行驶的路程与时间的关系。 （1）张师傅开车行驶了___________小时，行驶的路程是___________千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为___________千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为___________小时。 （3）张师傅开车的速度是多少？ 高频考点四：正比例的应用 变式训练 （1）张师傅开车行驶了6小时，行驶的路程是360千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为120千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为5小时。 （3）360÷6＝60（千米/时） 答：张师傅开车的速度是60千米/时。 高频考点五：反比例的意义及辨识 典例精讲 （24-25六年级下·四川成都·期末）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 解：设小齿轮每分钟转圈。 答：小齿轮每分钟转85圈。 高频考点五：反比例的意义及辨识 变式训练 （24-25六年级下·福建南平·期末）我国生产的无人机全球领先，在农业、气象、抢险救灾等领域被广泛应用。一款大型农业无人机的电池容量为24000毫安（电量的一种计量单位）。因负重不 同，飞行时间随着每分钟耗电量的变化而变化。具体情况如下表： （1）把表格填写完整。 （2）每分钟耗电量和飞行时间有什么关系？ 每分钟耗电量/毫安 500 600 800   飞行时间/分钟 48 40   24 （1）24000÷800＝30（分钟） 24000÷24＝1000（毫安） 填表如下： （2）每分钟耗电量和飞行时间成反比例关系。 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 1000 飞行时间/分钟 48 40 30 24 高频考点六：反比例的应用 典例精讲 （24-25六年级下·辽宁营口·期中）笑笑用60个边长为1cm小正方形摆成长方形。 （1）完成下面表格。 （2）宽随着长的增加而（    ），但长方形的（    ）不变，所以长方形的长和宽成（    ）比例。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4     （1）60×1×1＝60（cm2） 60÷20＝3（cm） 60÷30＝2（cm） 填表如下： （2）10×6＝12×5＝60（一定） 12×5＝15×4＝60（一定） 所以长方形的长和宽成反比例。 宽随着长的增加而减少，但长方形的面积不变，所以长方形的长和宽成反比例。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 3 2 高频考点六：反比例的应用 变式训练 （24-25六年级下·陕西汉中·期中）某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是15吨，那么这批煤可烧多少天？ （1）3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 6×20＝120（吨） 10×12＝120（吨） 答：成反比例，因为每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定。 （2）120÷15＝8（天） 答：这批煤可烧8天。 每天烧煤的质量/吨 0 3 5 6 10 可烧的时间/天 0 40 24 20 12 真题实战演练 PART 04 演练1 真题实战演练 （2024·福建泉州·小升初真题）以下说法正确的是（    ）。 ①一个数与它的倒数成反比例。 ②所示抛图钉的方法决定输赢不公平。 ③一个等腰三角形的一个底角是45°，这是一个直角三角形。 ④小玟看小毅在北偏东60°的方向上，小毅看小玟在南偏西60°的方向上。 A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 由分析得： 说法正确的是①②③④。 故答案为：D 演练2 真题实战演练 （2024·陕西西安·小升初真题）星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ （1）图中点A表示购买2套校服需要160元。 （2）由图形可知，购买校服的数量和总价成正比例关系。 （3）160÷2×36 ＝80×36 ＝2880（元） 答：共需2880元。 演练3 真题实战演练 （2024·陕西咸阳·小升初真题）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30     60 … 演练3 真题实战演练 10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 表如下： （2）10∶1＝20∶2＝30∶3＝40∶4＝50∶5＝60∶6＝…＝10（一定），总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 480元最多可以购买48本《成语故事》。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 … 难度分层训练 PART 05 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·广东清远·期中）下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 难度分层训练 A．根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以时间与速度不成正比例。 B．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S表示面积，a表示底，h表示高），当面积一定时，ah＝2S（一定），是乘积一定，所以底和高不成正比例。 C．因为被减数＝减数＋差，当被减数一定时，减数与差是和一定，不是比值或乘积一定的关系，所以减数与差不成比例。 D．圆柱的体积公式为V＝Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高），当高一定时，V÷S＝h（一定），是比值一定，所以体积和底面积成正比例关系。 所以选项D中的两个量成正比例关系。 故答案为：D 基础夯实 能力提升 2．（2024·福建泉州·小升初真题）如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 难度分层训练 （1）路程÷时间＝速度，速度一定，所以斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2） 答：从图像上看，斑马跑得快，因为10分钟斑马跑了12千米，长颈鹿跑了8千米。 基础夯实 能力提升 3．（24-25六年级下·陕西西安·期中）亮亮要用一些纸装订草稿本。 （1）草稿本每本的页数与装订的本数成反比例吗？为什么？ （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 难度分层训练 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … 基础夯实 能力提升 难度分层训练 （1）由表格可知，每本页数×装订的本数＝300页（一定），总页数固定不变，每本的页数越多，则本数越少，因此每本页数和装订本数成反比例。 答：草稿本每本的页数与装订的本数成反比例。因为每本的页数和装订的本数的积总是一定。 （2）15×20＝300（页） 300÷2＝150（页） 300÷100＝3（本） 所以若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是150页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成3本草稿本。 创新拓展 拔尖冲刺 难度分层训练 1．（2025·广东深圳·小升初模拟）以下成正比例的是（    ）。 A．周长一定时，长方形的长与宽 B．面积一定时，平行四边形的底和高 C．一个人的身高与年龄 D．正方形的周长与边长 A．周长一定时，长方形的长与宽；（长＋宽）×2＝周长（一定），长与宽的和一定，所以长与宽不成比例。 B．面积一定时，平行四边形的底和高；底×高＝平行四边形面积（一定），底与高成反比例。 C．一个人的身高与年龄；一个人身高与年龄不成比例。 D．正方形的周长与边长；边长×4＝周长，周长∶边长＝4（一定），周长与边长成正比例。 成正比例的是正方形的周长与边长。 故答案为：D 创新拓展 拔尖冲刺 难度分层训练 2．（24-25六年级下·广东湛江·期中）甲数的与乙数的相等，甲数∶乙数＝( )∶( )，甲数与乙数成( )比例。 甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ∶ ＝（×21）∶（×21） ＝14∶18 ＝7∶9 甲数∶乙数＝7∶9 甲数∶乙数＝（一定） 甲数的与乙数的相等，甲数∶乙数＝7∶9，甲数与乙数的比值一定，所以甲数与乙数成正比例。 创新拓展 拔尖冲刺 难度分层训练 3．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 创新拓展 拔尖冲刺 难度分层训练 （1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 谢谢大家 $