专题04 二元一次方程组实际应用的十大热考题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题04 二元一次方程组实际应用的十大热考题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的应用---商品销售问题 题型02 二元一次方程组的应用---古代数学问题 题型03 二元一次方程组的应用---数字问题 题型04 二元一次方程组的应用---行程问题 题型05 二元一次方程组的应用---几何图形问题 题型06 二元一次方程组的应用---几何图形问题 题型07 二元一次方程组的应用---销售购买方案问题 题型08 二元一次方程组的应用---租车方案问题 题型09 二元一次方程组的应用---分配方案问题 题型10 二元一次方程组的应用---其它问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 题型 核心考点 复习目标 考情规律 商品销售问题 销售类公式；找总金额、利润等量列方程组 熟记公式、快速找等量、精准设元求解 必考基础题，选择/解答题为主，难度低 古代数学问题 文言转数学语言；和差倍分关系列方程 快速翻译题意，不混淆数量关系 选择/填空基础题，易得分，易错关系倒置 数字问题 多位数数位表示；数字对调、和差等量 会写多位数代数式，找准数字等量 填空/中档解答，计算量小，易书写出错 行程问题 路程公式；相遇、追及等量关系 区分相遇追及，梳理路程关系解题 高频核心题，解答必考，中档难度 几何配套问题 配套比例转化；总量+比例双等量 比例转等式，结合总量列方程组 高频中档题，解答常考，思路固定 几何周长面积 长宽周长面积公式；图形边长关系 识图找边长，套用公式计算 数形结合基础题，全题型均可考查 购买方案问题 求单价；找方程正整数解；筛选方案 会求整数解，按条件筛选合理方案 高频压轴基础题，侧重实际应用 租车方案问题 运载量、租金等量；最优方案对比 列方程求方案，选出最优省钱方案 解答压轴题，和购买方案考法一致 分配方案问题 总数+总量双等量；求整数解 找准两类等量，快速求解分配数 中档解答常考题，场景多变 其他创新题型 找不变量；分段计费、叠放等等量 抓不变量解题，灵活套用方法 选择/填空创新题，基础为主 基础核心公式（必背） 1. 通用基础公式 路程=速度×时间；总价=单价×数量；工作总量=工作效率×工作时间 2. 商品销售专项公式 利润=售价-进价；利润率； 折扣售价=原价×折扣率（几折即为零点几）； 总售价=单价×销售量 3. 几何常用公式 长方形：周长，面积；正方形：周长，面积 4. 多位数表示公式 两位数：； 三位数： 解题核心步骤（必掌握） 第一步：审清题意：提取题干等量关系，区分已知量与未知量，找准题目中的和、差、倍、分、比例关系。 第二步：合理设元：优先直接设所求量，复杂题型间接设中间量，保证未知数个数为2个。 第三步：列方程组：根据两个独立等量关系，列出两个二元一次方程，联立成方程组。 第四步：求解检验：选用代入消元法、加减消元法求解，验证结果是否符合题意、是否为正整数（人数、数量必须为正整数）。 第五步：规范作答：贴合题干问题，完整写出答案，带单位作答。 通用必备解题规则 1. 配套问题：部件数量成比例，转化为等式（例：2×盒身数量=盒底数量）； 2. 方案问题：必须求解二元一次方程的正整数解，结合资金、数量限定条件筛选方案； 3. 行程问题：相遇找路程和、追及找路程差，分段行程需分开计算再求和； 4. 等量关系判定：以总量不变、总金额不变、总人数不变、总数量不变为核心依据； 5. 易错规避：单位统一、关系不颠倒、分数倍数不写反、舍去不符合实际的解。 解题必备能力 文字语言转数学语言的翻译能力、等量关系查找能力、消元法计算能力、实际问题取舍解的判断能力。 题型一 二元一次方程组的应用---商品销售问题 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 进价；折扣价 = 原价 × 折扣率。 2.设元技巧：常设单价、进价、售价、数量为未知数，总金额 / 总利润作为等量关系。 3.等量构建： 两种购买组合→列两个方程。 总价固定时，用 “总钱数不变” 列等式。 促销问题注意：赠品、折扣、满减需计入成本或售价。 4.关键思路：先求单价，再求数量 / 总费用 / 利润；遇到 “共花费”“共获利” 直接列方程。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 题型二 二元一次方程组的应用---古代数学问题 解｜题｜技｜巧 解古代数学问题的核心技巧是：先精准翻译文言关键词 → 再锁定两个独立等量关系 → 最后规范列方程组求解并检验合理性. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（   ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱．若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文．问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）古代农耕赋税问题：唐朝贞观年间，朝廷对农田征税．已知甲农户有上等田5亩，下等田3亩，共交税34斗；乙农户有上等田3亩，下等田5亩，共交税26斗．设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，则可列方程组为 A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组：_________． 题型三 二元一次方程组的应用---数字问题 解｜题｜技｜巧 1.数位表示： 两位数：10× 十位数字 + 个位数字。 四位数（左拼右）：100× 大数 + 小数. 2.等量关系： 数字和→直接相加。 对调后差→用 “新数 - 原数” 列等式。 整除 / 余数→被除数 = 除数 × 商 + 余数。 3.幻方技巧：每行每列对角线和相等，用中心数或对角建立等式。 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波期中）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是_____． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）一个两位数，减去它的各位数字之和的倍，结果是；这个两位数除以它的各位数字之和，商是，余数是这个两位数是______． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 题型四 二元一次方程组的应用---行程问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心公式：路程 = 速度 × 时间；相遇路程和 = 总路程；追及路程差 = 距离。 2.分类等量： ①相遇：(v₁+v₂)×t=S. ②追及：(v₁-v₂)×t=S. ③往返 / 上下山：分段算时间再求和. ④数轴运动：路程 = 移动单位长度，用 “起点 ± 路程 = 终点”. 3. 设元：设速度、时间为未知数，路程作等量. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）宁波市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了，付了元；小红乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为x元，超过后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　） A．B．C．D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（    ） A．5km B．10km C．20km D．答案不唯一 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？ 题型五 二元一次方程组的应用---配套问题 解｜题｜技｜巧 1. 配套核心：部件数量成比例（1:2、1:4 等）. ·2.常见模型： 盒身：盒底 = 1:2 → 2× 盒身数 = 盒底数. 桌面：桌腿 = 1:4 → 4× 桌面数 = 桌腿数. 螺栓：螺母 = 1:2 → 2× 螺栓数 = 螺母数. 3.设元：设生产人数 / 用料面积 / 制作个数，用 “总量 = 各部分和”+“配套比例” 列方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）用如图的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有 500张正方形纸板和1000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？若设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【变式4】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 题型六 二元一次方程组的应用---几何图形问题 解｜题｜技｜巧 1.识图列等式：从图中找长、宽、边长关系。 2.常用公式： 长方形周长 = 2 (a+b)；面积 = ab。 正方形周长 = 4a；面积 = a²。 3.拼接 / 叠放：用 “总长 = 各段和”“总宽 = 各段和” 建立方程；阴影周长注意重合边不计入。 4.技巧：设小图形长、宽，用大图形尺寸列方程。 【典例1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b． ①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【变式4】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 题型七 二元一次方程组的应用---销售购买方案问题 解｜题｜技｜巧 1.步骤： 第一步：求单价（用方程组）. 第二步：列总费用方程（ax+by = 总钱数）. 第三步：求正整数解（数量必须为正整数）. 2.多商品组合：三种商品时，固定一种求另外两种整数解. 3.关键点：“每种至少买 1 个”“恰好用完钱” 是限定条件。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元 (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？ 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、 5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【变式4】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品． (1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ (3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？ 题型八 二元一次方程组的应用---租车方案问题 解｜题｜技｜巧 1. 两步走： ①先求每车运载量 / 租金. ②再列 “总运载量 = 货物总量” 方程，求正整数解. 2. 最优方案：计算每种方案费用，比较选最小. 3.设元：设各车型数量为 a、b，利用 “满载、刚好运完” 列方程. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有28吨货物，计划同时租用两种车，其中A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式1】（23-24七年级下·浙江·期中）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式3】（23-24七年级下·浙江杭州·期中） 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材一 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材一 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一方有难，八方支援，郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也 伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州，调查得知，2辆小货车与3辆大货车 一次可以满载远输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物． ①有几种租车方案？请写出所有租车方案． ②考大货车需租金100元/辆，小货车需租金80元/辆．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 题型九 二元一次方程组的应用---分配方案问题 解｜题｜技｜巧 1. 两类分配： 人员分配：生产人数和 = 总人数；产量满足配套 / 总量。 物资分配：车辆 / 设备总数固定，总运量固定。 2.方程结构： 数量和方程（车数 / 人数 / 设备数和）。 产量 / 运量方程（总产出 = 总需求）。 3.整数解优先：人数、辆数必须为正整数。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）杭州即将召开亚运会，为统筹物资需要运输公司运送器材，某 运输公司有，两种货车，3辆货车与4辆货车一次可以运货120吨，5辆货车与2辆货车一次可以 运货130吨． (1)请问1辆货车和1辆货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有150吨货物需要运输，该运输公司计划同时安排，两种货车将全部货物一次运完（，两种货车均满载），请你列出所有的运输方案． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 题型十 二元一次方程组的应用---其它问题 解｜题｜技｜巧 1. 叠放物体：基础高度 + 每层增加高度 = 总高度。 2.天平称重：左右质量相等→直接列等式。 3.方阵问题： 实心方阵：总人数 = 边数 ²。 空心方阵：总人数 = 外层 ²- 内层 ²。 4. 分段计费：分段列代数式，按里程 / 时长分区间计算。 5.通用技巧：把 “不变量” 作为等量（总质量、总高度、总费用、总人数）。 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：    (1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度； (2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式． (1)填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人；（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数） (2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值； (3)某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用 一出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为______； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了x（）公里，他共用 元（用含x的代数式表示）． (2)甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程． (3)丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2324七年级下·浙江温州·期中）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 3．（2324七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数十位上的数字与个位上的数学之和为6，如果把这个两位数的个位与十位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是_________． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有_____ 人 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品．已知购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买1支钢笔和1本笔记本共需___________元． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是______ ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多______ 个    期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商店购入篮球和足球若干个．篮球进价80元/个，足球进价50元/个， (1)若商店购入篮球10个，足球15个，则需要元； (2)若商店购入篮球和足球共25个，总共花了1700元，求篮球和足球各多少个？ 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件： ①如果买2个篮球和6个足球共需480元； ②如果买3个篮球和4个足球共需460元； 请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分． 某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________ （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价） 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题： 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建的村路，甲队每天修建，乙队每天修建，共用18天完成． （1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了个不完整的二元一次方程组张红列出的这个不完整的方程组中未知数表示的是______，未知数表示的是 ；张红所列出正确的方程组应该是 ； （2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有座的大巴车和座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 赵老师：如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费元，若两个年级联合组团只需花费元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1： 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2： 请你为七年级师生求出所有恰好能提供座的租车方案． 问题3： 八、九年级各有多少人参加春游？ 13．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(t/辆) 1 3 4 汽车运费(元/辆) 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．(每个档次的得分不同，优秀>良好>合格) 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：总费用元为优秀 4800元总费用元为良好 总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 14．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组实际应用的十大热考题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的应用---商品销售问题 题型02 二元一次方程组的应用---古代数学问题 题型03 二元一次方程组的应用---数字问题 题型04 二元一次方程组的应用---行程问题 题型05 二元一次方程组的应用---几何图形问题 题型06 二元一次方程组的应用---几何图形问题 题型07 二元一次方程组的应用---销售购买方案问题 题型08 二元一次方程组的应用---租车方案问题 题型09 二元一次方程组的应用---分配方案问题 题型10 二元一次方程组的应用---其它问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 题型 核心考点 复习目标 考情规律 商品销售问题 销售类公式；找总金额、利润等量列方程组 熟记公式、快速找等量、精准设元求解 必考基础题，选择/解答题为主，难度低 古代数学问题 文言转数学语言；和差倍分关系列方程 快速翻译题意，不混淆数量关系 选择/填空基础题，易得分，易错关系倒置 数字问题 多位数数位表示；数字对调、和差等量 会写多位数代数式，找准数字等量 填空/中档解答，计算量小，易书写出错 行程问题 路程公式；相遇、追及等量关系 区分相遇追及，梳理路程关系解题 高频核心题，解答必考，中档难度 几何配套问题 配套比例转化；总量+比例双等量 比例转等式，结合总量列方程组 高频中档题，解答常考，思路固定 几何周长面积 长宽周长面积公式；图形边长关系 识图找边长，套用公式计算 数形结合基础题，全题型均可考查 购买方案问题 求单价；找方程正整数解；筛选方案 会求整数解，按条件筛选合理方案 高频压轴基础题，侧重实际应用 租车方案问题 运载量、租金等量；最优方案对比 列方程求方案，选出最优省钱方案 解答压轴题，和购买方案考法一致 分配方案问题 总数+总量双等量；求整数解 找准两类等量，快速求解分配数 中档解答常考题，场景多变 其他创新题型 找不变量；分段计费、叠放等等量 抓不变量解题，灵活套用方法 选择/填空创新题，基础为主 基础核心公式（必背） 1. 通用基础公式 路程=速度×时间；总价=单价×数量；工作总量=工作效率×工作时间 2. 商品销售专项公式 利润=售价-进价；利润率； 折扣售价=原价×折扣率（几折即为零点几）； 总售价=单价×销售量 3. 几何常用公式 长方形：周长，面积；正方形：周长，面积 4. 多位数表示公式 两位数：； 三位数： 解题核心步骤（必掌握） 第一步：审清题意：提取题干等量关系，区分已知量与未知量，找准题目中的和、差、倍、分、比例关系。 第二步：合理设元：优先直接设所求量，复杂题型间接设中间量，保证未知数个数为2个。 第三步：列方程组：根据两个独立等量关系，列出两个二元一次方程，联立成方程组。 第四步：求解检验：选用代入消元法、加减消元法求解，验证结果是否符合题意、是否为正整数（人数、数量必须为正整数）。 第五步：规范作答：贴合题干问题，完整写出答案，带单位作答。 通用必备解题规则 1. 配套问题：部件数量成比例，转化为等式（例：2×盒身数量=盒底数量）； 2. 方案问题：必须求解二元一次方程的正整数解，结合资金、数量限定条件筛选方案； 3. 行程问题：相遇找路程和、追及找路程差，分段行程需分开计算再求和； 4. 等量关系判定：以总量不变、总金额不变、总人数不变、总数量不变为核心依据； 5. 易错规避：单位统一、关系不颠倒、分数倍数不写反、舍去不符合实际的解。 解题必备能力 文字语言转数学语言的翻译能力、等量关系查找能力、消元法计算能力、实际问题取舍解的判断能力。 题型一 二元一次方程组的应用---商品销售问题 解｜题｜技｜巧 1.核心公式：总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 进价；折扣价 = 原价 × 折扣率。 2.设元技巧：常设单价、进价、售价、数量为未知数，总金额 / 总利润作为等量关系。 3.等量构建： 两种购买组合→列两个方程。 总价固定时，用 “总钱数不变” 列等式。 促销问题注意：赠品、折扣、满减需计入成本或售价。 4.关键思路：先求单价，再求数量 / 总费用 / 利润；遇到 “共花费”“共获利” 直接列方程。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元，根据“一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元”列方程组求解即可． 【详解】解∶设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元， 根据题意，得， 两方程相加，得， ∴， ∴购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费13元， 故答案为：13． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：，求出方程的非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元， 由题意得： ， ①②得：， 即丙礼盒每盒138元， 设乙礼盒m个，丙礼盒n个， 由题意得：， ∵m、n为非负整数， 当且仅当，时，方程成立， ∴李老师一共买礼盒：（盒）， 故答案为：10． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)可获利1000元 (3)销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1000元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 【答案】任务1：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元；任务2：82；株任务3：有4张兑换券用于兑换A款升级． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株，根据题意列出一元一次方程，即可求解； 任务3：设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元， 由题意得： 解得： 答：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株， 由题意可得：， 解得， ∴共有株； 任务3：1650元最多可兑换8张兑换券， A款升级与B款不升级的总株数为：株， 设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级， 张兑换B款升级， 由题意可得： ， ∴， ∴， ∵a，b为自然数且b是2的倍数 ∴(舍去)，(舍去)，． ∴有4张兑换券用于兑换A款升级． 题型二 二元一次方程组的应用---古代数学问题 解｜题｜技｜巧 解古代数学问题的核心技巧是：先精准翻译文言关键词 → 再锁定两个独立等量关系 → 最后规范列方程组求解并检验合理性. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意可得： 故选： A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱．若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文．问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组即可． 【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）古代农耕赋税问题：唐朝贞观年间，朝廷对农田征税．已知甲农户有上等田5亩，下等田3亩，共交税34斗；乙农户有上等田3亩，下等田5亩，共交税26斗．设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，则可列方程组为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗，根据两户交税的数量列出方程即可． 【详解】解：设上等田每亩交税斗，下等田每亩交税斗， 根据题意得 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 【答案】 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．设甲有只羊，乙有只羊，根据甲对乙说：可得，乙对甲说：可得：，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 由题意得，， 故答案为： 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙各持钱几何？”大意是：“甲、乙两人各有一些钱，如果将乙的钱的一半给甲，这时甲共有五十钱；如果将甲的钱的三分之二给乙，这时乙也共有五十钱．”设甲有钱，乙有y钱，根据题意可以列出方程组：_________． 【答案】 【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.，设设甲有钱，乙有y钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲有钱，乙有y钱，根据题意得： ， 故答案为：． 题型三 二元一次方程组的应用---数字问题 解｜题｜技｜巧 1.数位表示： 两位数：10× 十位数字 + 个位数字。 四位数（左拼右）：100× 大数 + 小数. 2.等量关系： 数字和→直接相加。 对调后差→用 “新数 - 原数” 列等式。 整除 / 余数→被除数 = 除数 × 商 + 余数。 3.幻方技巧：每行每列对角线和相等，用中心数或对角建立等式。 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波期中）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组． 【详解】根据题意，得． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是_____． 【答案】34 【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据“十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y＝10×3+4＝34． 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程组即可． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）一个两位数，减去它的各位数字之和的倍，结果是；这个两位数除以它的各位数字之和，商是，余数是这个两位数是______． 【答案】56 【分析】设这个两位数十位上数字为x，个位上数字为y，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】设这个两位数十位上数字为x，个位上数字为y，由题意得 解得 因此，这两位数为56． 故答案为：56． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用-数字问题，准确理解题意，并能列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于、的方程，继而进行求解即可得答案． 【详解】根据题意可得： 解得， ∴， 故答案为：． 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 题型四 二元一次方程组的应用---行程问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心公式：路程 = 速度 × 时间；相遇路程和 = 总路程；追及路程差 = 距离。 2.分类等量： ①相遇：(v₁+v₂)×t=S. ②追及：(v₁-v₂)×t=S. ③往返 / 上下山：分段算时间再求和. ④数轴运动：路程 = 移动单位长度，用 “起点 ± 路程 = 终点”. 3. 设元：设速度、时间为未知数，路程作等量. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）宁波市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了，付了元；小红乘坐这种出租车走了，付了元．设这种出租车的起步价为x元，超过后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过后每千米收费y元，由题意得等量关系：①起步价x元+超过后的费用＝23元；②起步价x元+超过后的费用＝35元，再列出方程组即可． 【详解】解：设这种出租车的起步价为x元，超过后每千米收费y元， 由题意得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（    ） A．5km B．10km C．20km D．答案不唯一 【答案】C 【分析】本题是求小明从上午到下午一共走的路程，也就是山路和平路往返各一次．在这些路程里有山路，有平路，都是未知的，所以要设它们未知数．设平路有xkm，山路有ykm．本题只包含一个等量关系：走山路时间+走平路时间=2+12-9．（走山路时间包括上山所用时间和下山所用时间，走平路时间包括往返两次平路时间）．据此列出方程，求出x+y值即可． 【详解】解：设平路有xkm，山路有ykm． 则， 解，得x+y＝10， ∴2（x+y）＝20， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用．本题设了2个未知数，只有一个等量关系．先尝试去做，可以发现答案就在这一个等量关系里．所以在做数学题的时候，不放弃也是一种方法．整体思想的运用是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？ 【答案】动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度 【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据“若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．”列出方程组，解出即可． 【详解】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度， ∵点A、B表示的数分别是-20、64， ∴线段AB长为， ∴由题意有， 解得 ∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型五 二元一次方程组的应用---配套问题 解｜题｜技｜巧 1. 配套核心：部件数量成比例（1:2、1:4 等）. ·2.常见模型： 盒身：盒底 = 1:2 → 2× 盒身数 = 盒底数. 桌面：桌腿 = 1:4 → 4× 桌面数 = 桌腿数. 螺栓：螺母 = 1:2 → 2× 螺栓数 = 螺母数. 3.设元：设生产人数 / 用料面积 / 制作个数，用 “总量 = 各部分和”+“配套比例” 列方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“共有40张铁皮，且制作的盒底总数是盒身的2倍”，即可得出关于， 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据共有40张铁皮， 得：， 根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍， ．根据题意可列方程组， 故选： C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）用如图的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有 500张正方形纸板和1000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？若设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据共有500张正方形纸板和1000张长方形纸板，列方程组求解． 【详解】解：根据题意，则 ， 故选：B 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 【答案】6人生产螺栓，8人生产螺母 【分析】设人生产螺栓，人生产螺母，根据题意列二元一次方程组解决问题． 【详解】解：设人生产螺栓，人生产螺母， 由题意得， 解得 答：6人生产螺栓，8人生产螺母能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 【变式4】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用代数式表示，一元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）利用代数式表示出生产螺母的工人，再根据螺栓与螺母配套的数量关系“螺母数量螺栓”列出方程即可； （2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据车间工人总数，以及螺栓与螺母配套的数量关系建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 题型六 二元一次方程组的应用---几何图形问题 解｜题｜技｜巧 1.识图列等式：从图中找长、宽、边长关系。 2.常用公式： 长方形周长 = 2 (a+b)；面积 = ab。 正方形周长 = 4a；面积 = a²。 3.拼接 / 叠放：用 “总长 = 各段和”“总宽 = 各段和” 建立方程；阴影周长注意重合边不计入。 4.技巧：设小图形长、宽，用大图形尺寸列方程。 【典例1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 【变式1】利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果． 【详解】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm， 由题意得：， 两式相加得：2a=150， 解得：a=75， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b． ①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系． 【答案】(1) (2)①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；② 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，整式的乘法运算，利用完全平方公式分解因式，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由长方形的性质建立方程组，再解方程组即可； （2）①先建立方程组可得，再结合长方形的周长可得答案，②由，可得，整理得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得 ； （2）① ①+②，得 ， ∴ ∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是 即1个小长方形周长与大长方形周长之比是； ②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ∴， ∴， ∴， 化简，得， ∴， ∴． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】每个小长方形的面积． 【分析】本题考查了列二元一次方程组的运用．根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， ， 解得， 每个小长方形的面积． 【变式4】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键． 题型七 二元一次方程组的应用---销售购买方案问题 解｜题｜技｜巧 1.步骤： 第一步：求单价（用方程组）. 第二步：列总费用方程（ax+by = 总钱数）. 第三步：求正整数解（数量必须为正整数）. 2.多商品组合：三种商品时，固定一种求另外两种整数解. 3.关键点：“每种至少买 1 个”“恰好用完钱” 是限定条件。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024年4月成都世界园艺博览会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色，五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”，若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元 (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)若小明购买两款吉祥物共花了800元，则小明分别购买了A，B款吉祥物各多少件？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件. 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据小明购买两款吉祥物共花了800元，列出二元一次方程，再求整数解即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：设购买A款吉祥物件和B款吉祥物件，根据题意，得 ， 解得：． 当时，， 当时，， 当时，， 答：购买A款吉祥物0件和B款吉祥物20件，或A款吉祥物4件和B款吉祥物13件，或A款吉祥物8件和B款吉祥物6件. 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、 5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元； (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 【答案】(1)等票和等票每张分别为元和元 (2)方案一：购买3张等票，张等票，张等票；方案二：购买3张等票，张等票，张等票；方案三：购买3张等票，张等票，张等票 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设等票和等票每张分别为元和元，根据购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；购买4张等票和1张等票，付款2300元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买三种门票分别为张，列出三元一次方程，求出正整数解即可得出结果． 【详解】（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得： ，解得：； 答：等票和等票每张分别为元和元； （2）设购买三种门票分别为张，由题意，得： ， ∴， ∵均为正整数， ∴或或； 故共有3种方案， 方案一：购买3张等票，张等票，张等票； 方案二：购买3张等票，张等票，张等票； 方案三：购买3张等票，张等票，张等票． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示： 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元． (1)求m和n的值． (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)可获利1000元 (3)销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1000元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【变式4】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品． (1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ (3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个 (2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔 (3)一共有7种购买方案，见解析 【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可． 【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个， 依题意得：， 解得：． 答：小明原计划购买文具袋13个． （2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔， 依题意得：， 解得：． 答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔． （3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本， 由题意得， ∵三样都要买，且把48元恰好用完， ∴有如下方案： ①当时，把48元恰好用完； ②当时，把48元恰好用完； ③当时，把48元恰好用完； ④当时，把48元恰好用完； ⑤当时，把48元恰好用完； ⑥当时，把48元恰好用完； ⑦当时，把48元恰好用完， 综上所述，一共有7种购买方案． 【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型八 二元一次方程组的应用---租车方案问题 解｜题｜技｜巧 1. 两步走： ①先求每车运载量 / 租金. ②再列 “总运载量 = 货物总量” 方程，求正整数解. 2. 最优方案：计算每种方案费用，比较选最小. 3.设元：设各车型数量为 a、b，利用 “满载、刚好运完” 列方程. 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有28吨货物，计划同时租用两种车，其中A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨 (2)有2种租车方案：方案一：A型车4辆，B型车4辆；方案二：A型车8辆，B型车1辆； (3)最省钱的方案为4辆A车，4辆B车，费用为720元 【分析】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，列出方程组求解即可； （2）根据题意可得，再根据a、b都是正整数进行求解即可； （3）分别计算出（2）中两种方案的租金即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨 依题意列方程组得： 解得， 答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是3的倍数， ∴当时，； 当时，； ∴有2种租车方案：方案一：A型车4辆，B型车4辆；方案二：A型车8辆，B型车1辆； （3）解：∵A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次， ∴方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） ∵， ∴最省钱的方案为4辆A车，4辆B车，费用为720元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程求解是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·浙江·期中）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？ 【答案】(1)型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人 (2)租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：型车每辆载学生30人，型车每辆载学生40人． （2）解：设租用型辆，型辆， 可得：， 因为，为正整数，所以方程的解为：，， 方案一：型1辆，型8辆，费用：元； 方案二：型5辆，型5辆，费用：元； 方案三：型9辆，型2辆，费用：元； 所以租用1辆型8辆型车花费最少，为10600元． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 【变式3】（23-24七年级下·浙江杭州·期中） 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材一 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． 素材一 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元． 任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． 任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案． 任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额． 【答案】任务一：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元；任务二：有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆；任务三：存在租车费用不超过预算的租车方案，租用B型客车9辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： 任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元，根据表格中的数据列出方程组求解即可； 任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆，根据题意可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案； 任务三：求出任务二中两种方案的费用和全部租用A型客车或全部租用B型客车的费用即可得到答案． 【详解】解：任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元； 任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是整数， ∴一定是5的倍数，即一定是5的倍数， ∴当时，； 当时，； ∴有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆； 任务三：租用A型客车4辆，B型客车7辆时的费用为，此时超出预算， 租用A型客车15辆，B型客车2辆时的费用为，此时超出预算； 全部租用A型客车辆，费用为，此时超出预算； 全部租用B型客车辆，费用为，此时预算刚好够用； 综上所述，存在租车费用不超过预算的租车方案，租用B型客车9辆． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一方有难，八方支援，郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也 伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州，调查得知，2辆小货车与3辆大货车 一次可以满载远输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物． ①有几种租车方案？请写出所有租车方案． ②考大货车需租金100元/辆，小货车需租金80元/辆．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资； (2)①共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．②费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为780元． 【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设租用小货车辆，大货车辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； ②利用租车费用每辆小货车的租金租用小货车的数量每辆大货车的租金租用大货车的数量，即可分别求出选择各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资， 依题意得：， 解得：． 答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资． （2）①设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． ②选择方案1所需租车费为（元； 选择方案2所需租车费为（元； 选择方案3所需租车费为（元． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为780元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各租车方案所需租车费用． 题型九 二元一次方程组的应用---分配方案问题 解｜题｜技｜巧 1. 两类分配： 人员分配：生产人数和 = 总人数；产量满足配套 / 总量。 物资分配：车辆 / 设备总数固定，总运量固定。 2.方程结构： 数量和方程（车数 / 人数 / 设备数和）。 产量 / 运量方程（总产出 = 总需求）。 3.整数解优先：人数、辆数必须为正整数。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 【答案】(1)需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； (2)安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型，根据“全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型，根据安排的三种车型一次可运送150吨苹果，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为正整数，可得出各派车方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型， 根据题意得：， 解得：． 答：需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种派车方案， 方案1：安排4辆甲种车型，3辆乙种车型，8辆丙种车型，总费用为（元）； 方案2：安排3辆甲种车型，6辆乙种车型，6辆丙种车型，总费用为（元）； 方案3：安排2辆甲种车型，9辆乙种车型，4辆丙种车型，总费用为（元）； 方案4：安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型，总费用为（元）． ∵， ∴安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）杭州即将召开亚运会，为统筹物资需要运输公司运送器材，某 运输公司有，两种货车，3辆货车与4辆货车一次可以运货120吨，5辆货车与2辆货车一次可以 运货130吨． (1)请问1辆货车和1辆货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有150吨货物需要运输，该运输公司计划同时安排，两种货车将全部货物一次运完（，两种货车均满载），请你列出所有的运输方案． 【答案】(1)1辆货车和1辆货车一次可以分别运货20吨，15吨， (2)一共有两种方案：方案1安排A货车3辆，B货车6辆；方案2安排A货车6辆，B货车2辆 【分析】（1）设1辆货车和1辆货车一次可以分别运货x吨，y吨，然后根据，3辆货车与4辆货车一次可以运货120吨，5辆货车与2辆货车一次可以运货130吨列出方程组求解即可； （2）设安排m辆A货车，n辆B货车，根据题意列出方程，根据m、n都为正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：设1辆货车和1辆货车一次可以分别运货x吨，y吨， 由题意得，， 解得， ∴1辆货车和1辆货车一次可以分别运货20吨，15吨， 答：1辆货车和1辆货车一次可以分别运货20吨，15吨； （2）解：设安排m辆A货车，n辆B货车， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴一定是3的倍数，即m一定是3的倍数， ∴当时，； 当时，； ∴一共有两种方案：方案1安排A货车3辆，B货车6辆；方案2安排A货车6辆，B货车2辆． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程和方程组是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 【答案】任务1：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台；任务2：一共有3种方案，①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台；②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台；③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；任务3： 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是： 任务1：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”列方程组求解即可； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台，根据“恰好完成每小时的挖掘量”列出二元一次方程，然后根据m、n是正整数求解即可； 任务3：分别计算任务2中各方案的费用，比较得出租金最少的租用方案，设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元，根据“购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元”列方程组，借至得出，代入方案③的实际维保费中，即可求出结论． 【详解】解∶任务1 ∶设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台， 根据题意，得， ∴， 又m、n是正整数， ∴或或， ∴一共有3种方案，具体如下： ①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台； ②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台； ③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台； 任务3：任务2中方案的费用如下： ①元；②元；③元； ∵， ∴方案③的费用最少， 设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元， 根据题意，得， ∴，， ∴方案③的实际维保费为 （元）， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 题型十 二元一次方程组的应用---其它问题 解｜题｜技｜巧 1. 叠放物体：基础高度 + 每层增加高度 = 总高度。 2.天平称重：左右质量相等→直接列等式。 3.方阵问题： 实心方阵：总人数 = 边数 ²。 空心方阵：总人数 = 外层 ²- 内层 ²。 4. 分段计费：分段列代数式，按里程 / 时长分区间计算。 5.通用技巧：把 “不变量” 作为等量（总质量、总高度、总费用、总人数）。 【典例1】（23-24七年级下·浙江·期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡 记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡 记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（　　）枚 A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克，根据题意列二元一次方程组并求解；设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，根据记录三得到一个等式，将用表示出来，根据和均为正整数求出的最大值即可． 【详解】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克． 根据题意，得， 解得， ∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克． 设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚， 则， 解得， ∵和均为正整数， ∴当时，值最大，此时． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：    (1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度； (2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 【答案】(1)一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是； (2)总高度是99.2厘米． 【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出方程求解即可． （2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度． 本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组． 【详解】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是， 根据题意得：， 解得：． 答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是； （2）根据题意得： 答：总高度是99.2厘米． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式． (1)填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人；（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数） (2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值； (3)某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人． 【答案】(1)40；； (2)； (3)96． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，找到相等关系列出方程组是解题的关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）根据“排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2”列方程组求解即可； （3）现根据“可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵”列出方程组，再求最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，7列2层空心方阵有：； x列2层空心方阵有：， 故答案为：40；． （2）解：由题意可得：m列2层空心方阵人数：； n列3层空心方阵人数：， ∴， 解得：． （3）解：由题意得，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴m的最小正整数为：， ∴． 故答案为：96． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用 一出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为______； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间． 【答案】(1)①400；② (2)求嘉琪同学的接水时间为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意： ∴王老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意： 解得 答：王老师的水杯容量为，水温约； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)一人乘坐滴滴快车，用了20分钟到目的地，快车共行驶了x（）公里，他共用 元（用含x的代数式表示）． (2)甲、乙两好友出行，因顺路两人乘坐同一辆滴滴快车（多人乘坐只需一人支付全程费用），在途中乙先下车，此时计费器显示已产生了8.4元费用，又过了8分钟，甲到达目的地，并在支付14.4元给司机时发现快车全程共行驶了5公里，求乙的乘车时长和实际里程． (3)丙、丁两人各自乘坐滴滴快车，丁比丙行车里程多1.5公里，如果下车时两人所付车费相同，且两人计费项目也相同，那么这两辆滴滴快车的行车时长相差 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)乙的乘车时长为10分钟，实际里程为3公里 (3)13分钟或9分钟 【分析】（1）根据滴滴快车计算得到所求即可； （2）设乙的乘车时长为x分钟，实际里程为y公里，根据途中乙先下车时，产生了8.4元费用，过了8分钟，甲到达目的地，支付14.4元，全程共行驶了5公里，列出二元一次方程组求解即可； （3）根据超没超过7公里分两种情况求解，设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为a分、b分，丙行车里程为t公里，则丁行车里程为公里，根据所付费用相同列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：他共用元． 故答案为：； （2）解：设乙的乘车时长为x分钟，实际里程为y公里， 根据题意得，， 解得， 答：乙的乘车时长为10分钟，实际里程为3公理； （3）解：①当丙丁行车都超过7公里时，设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为a分、b分，丙行车里程为t公里，则丁行车里程为公里， 由题意得：， 解得， ②当丙丁行车都在7公里内时，设丁与丙乘坐滴滴快车行车时间分别为a分、b分，丙行车里程为t公里，则丁行车里程为公里， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：13分钟或9分钟． 【点睛】此题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的实际应用及二元一次方程组的实际应用，弄清题意是解本题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2324七年级下·浙江温州·期中）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长= 1个长+3个宽，②一个长+一个宽= 80cm，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2324七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数十位上的数字与个位上的数学之和为6，如果把这个两位数的个位与十位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是_________． 【答案】24 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“十位上的数字与个位上的数字之和为6，如果把这个两位数的个位与+位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得  ， 解得： ， ∴10x+y=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有_____ 人 【答案】 【分析】设男生有人，女生有人，根据每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， 即男生有人， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（23-24七年级下·浙江温州·期中）为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品．已知购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买1支钢笔和1本笔记本共需___________元． 【答案】33 【分析】首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，”，列方程组求出未知数的值，即可得解． 【详解】解：设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元， 由题意得：， 解得：． ∴x+y=25+8=33（元）， ∴购买1支钢笔和1本笔记本共需33元， 故答案为：33． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组． 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是______ ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多______ 个    【答案】 2005 197 【分析】设做了竖式纸盒个，横式纸盒个，有张长方形纸板．根据所需正方形纸板和长方形纸板的张数列出方程组，再根据未知数均为整数的特点，判断出为的倍数，进而求解． 【详解】解：设张长方形纸板，根据题意列得， ， 得， ， ， 是的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组，再根据未知数的特点，判断出长方形纸板的张数正好是的倍数是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）商店购入篮球和足球若干个．篮球进价80元/个，足球进价50元/个， (1)若商店购入篮球10个，足球15个，则需要元； (2)若商店购入篮球和足球共25个，总共花了1700元，求篮球和足球各多少个？ 【答案】(1)1550； (2)篮球15个，足球10个． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据题目中的数量关系准确列出方程组并求解． （1）根据“总价单价数量”，分别算出篮球和足球的花费，再求和得到总花费； （1）设购入篮球个，足球个，，利用篮球和足球的总数以及总花费这两个等量关系列出二元一次方程组，然后求解方程组得出篮球和足球的个数． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴若商店购入篮球10个，足球15个，则需要1550元． 故答案为：1550； （2）解：设购入篮球个，足球个， 根据题意得：， 解得：． 答：购入篮球15个，足球10个． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 【答案】(1)大棚的长为米，宽为米 (2)选择方案二更优惠，理由见解析 【分析】（）设大棚的长为米，宽为米，根据题意列出方程组即可求解； （）求出大棚的面积为，再分别求出两种方案的造价，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设大棚的长为米，宽为米， 根据题意得，， 解得， 答：大棚的长为米，宽为米； （2）解：选择方案二更优惠，理由如下： 大棚的面积为平方米，   若按照方案一计算，大棚的造价为：元， 若按照方案二计算，大棚的造价为：元， ∵， ∴选择方案二更优惠． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件： ①如果买2个篮球和6个足球共需480元； ②如果买3个篮球和4个足球共需460元； 请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分． 某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________ （1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？ （2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价） 【答案】选择条件①：（1）一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， （1）一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程． 任选一个条件补充解答， （1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，然后根据等量关系列出方程求解即可； （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元，根据卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，列方程求解即可． 【详解】选择条件① 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 选择条件② 解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元， 依题意得：， 解得． 答：一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元． （2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元， ∴ ∴， 即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元， 解得 ∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元， 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题： 在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建的村路，甲队每天修建，乙队每天修建，共用18天完成． （1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了个不完整的二元一次方程组张红列出的这个不完整的方程组中未知数表示的是______，未知数表示的是 ；张红所列出正确的方程组应该是 ； （2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ 【答案】（1）甲（工程）队修建的天数；乙（工程）队修建的天数；；（2）甲队修建了12天，乙队修建了6天． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可得方程组为，然后进行求解方程组即可． 【详解】（1）由题意得： 未知数p表示的是甲（工程）队修建的天数， 未知数q表示的是乙（工程）队修建的天数， ， 故答案为：甲（工程）队修建的天数，乙（工程）队修建的天数，； （2）设甲工程队修建了村路，乙工程队修建了村路，根据题意，得： ， 解得， 所以，甲队修建的天数（天）， 乙队修建的天数（天）． 答：甲队修建了12天，乙队修建了6天． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确建立方程组和熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：类是三角形桌，每桌可坐3人，类是五边形桌，每桌可坐5人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） B类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司 6 5 1900 乙公司 5 5 1700 (1)设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元，则乙公司出售一套A类桌椅的售价为______元；一套B类桌椅的售价为______元； (2)求A、B两类桌椅每套的价格分别是多少？ (3)如果该数学实验室需设置48个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、B两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 【答案】(1)； (2)A、两类桌椅每套的价格分别是、元； (3)应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【分析】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式的性质和方程的知识解答． （1）根据题列代数式即可求解； （2）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性质，即可解答本题，注意． 【详解】（1）解：∵甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对类桌椅涨价、类桌椅降价出售，设甲公司一套A类桌椅标价为x元，一套B类桌椅标价为y元， ∴乙公司出售一套A类桌椅的售价为元；一套B类桌椅的售价为元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 答：A、两类桌椅每套的价格分别是、元； （3）解：设到甲公司采购A类桌椅a套，B类桌椅b套， 则所需费用为：， ， ， ， ，， 当b取最大值时，费用最小， ， 的最大值是9，此时， 当时，费用取得最小值，最小值为：， 故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有座的大巴车和座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 赵老师：如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费元，若两个年级联合组团只需花费元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1： 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2： 请你为七年级师生求出所有恰好能提供座的租车方案． 问题3： 八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】问题1：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 问题2：租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆 问题3：八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出式子和方程是解题的关键． 问题1：设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； 问题2：设七年级师生租用大巴车辆，租中巴车辆，、为非负整数，由恰好能提供座，即大巴车和中巴车都坐满，得，求解即可； 问题3：现根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：问题1：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； 问题2：设七年级师生租用大巴车辆，租中巴车辆，、为非负整数， 由恰好能提供座，即大巴车和中巴车都坐满， 得， 解得：或或， 经检验都满足题意； 则租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆； 问题3：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 13．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(t/辆) 1 3 4 汽车运费(元/辆) 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．(每个档次的得分不同，优秀>良好>合格) 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：总费用元为优秀 4800元总费用元为良好 总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆 (2)共有6种运输方案，详见解析 【分析】本题考查二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用； （1）设需要x辆甲种车，y辆乙种车，根据每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，据此得到方程：，根据运费总共5300元，据此列出方程：，最后将两个方程联立得到方程组，解此方程组即可求解； （2）设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，根据m辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜 辆丙种车运送的蔬菜列出方程，再根据m、n、都是正整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：设需要x辆甲种车，y辆乙种车， ∴ ∴， ∴需要甲13辆，乙16辆． （2）解：设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车， ∴ ∴ 又∵m，n，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有6种运输方案，所需费用如下表， 车型 甲 乙 丙 总费用 等级 汽车辆数 6 1 13 4750 优秀 5 4 11 4800 良好 4 7 9 4850 良好 3 10 7 4900 良好 2 13 5 4950 合格 1 16 3 5000 合格 14．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 甲 2 1 110 乙 5 4 350      (1)求牛奶与咖啡每箱的原价； (2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选． 方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表： 单次购买数量（箱） 不超过20箱 20箱以上但不超过40箱 40箱以上 价格（元/箱） 不打折 打9.6折 打9折 方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受． ①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量； ②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案） 【答案】(1)牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元 (2)①第二次购买咖啡35箱；②11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，再列出正确的方程组，然后解得，即可作答． （2）①先理解某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，再设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，，进行分类讨论，并列出相应的方程组，即可作答． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为，再算出打折牛奶价格以及打折咖啡价格，即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，再列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得， 解得， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； （2）解：①∵某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量， ∴设第一次购买咖啡a箱，第二次购买咖啡b箱，， ∴当时，则， ∴（元） 有 解得：（不合题意，舍去）， 当时，则， ∴（元） 有 解得：， 当时，则， 有， 方程组无解． ∴第二次购买咖啡35箱． ②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为n箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得： 整理得：， ∵a、b均为正整数，得或 ∵， ∴，， 即此次按原价采购的咖啡有11箱 故答案为：11． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $