专题03 二元一次方程组全章18种题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题03 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 由二元一次方程的定义求字母的值 题型03 由二元一次方程的解求参数 题型04 二元一次方程组的判断 题型05 代入消元法解二元一次方程组 题型06 加减消元法解二元一次方程组 题型07 二元一次方程组的特殊解法 题型08 直接由二元一次方程组解求参数 题型09 由二元一次方程组的解满足的条件求参数 题型10 二元一次方程组与遮挡问题 题型11 二元一次方程组与同解问题 题型12 二元一次方程组与新定义问题 题型13 二元一次方程组与错解问题 题型14 由实际问题列二元一次方程组 题型15 二元一次方程组的实际应用 题型16 二元一次方程组解决方案问题 题型17 三元一次方程组解的简单应用 题型18 三元一次方程组的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的三个条件：整式方程、含两个未知数、未知项次数均为 1，能准确判断并辨析易错题. 基础必考点，多以选择题、判断题考查，常设置 “分母含未知数”“次数不是 1” 等陷阱，难度低但易出错。 二元一次方程的解 理解解的意义，会检验解、求方程的解，知道二元一次方程有无数个解，会用一个未知数表示另一个未知数. 小题高频考点，选择题考查解的判断，填空题考查求特殊解，是解方程组的基础，期中必考。 二元一次方程组的定义 掌握二元一次方程组的条件，能正确判断，区分一元与二元、整式与分式方程组. 概念辨析题常考，选择题居多，侧重对定义的理解，属于基础概念题，得分率较高。 二元一次方程组的解 理解 “公共解”，会检验一组数是否为方程组的解. 期中必考小题，选择、填空均会出现，送分但易因只代入一个方程出错，考查细心程度。 代入消元法解方程组 掌握代入法步骤，会将一个未知数用含另一未知数的式子表示，再代入消元求解，规范书写解题过程. 解答题必考，常与加减法二选一考查，适合系数为 ±1 的方程组，考查计算能力与步骤规范。 加减消元法解方程组 掌握加减法步骤，会统一系数后相加 / 相减消元，能灵活选择最优方法解方程组. 核心考点，考查频率最高，期中解答题必出，适合系数较复杂的方程组，侧重计算准确性。 二元一次方程组的实际应用 会审题、找等量关系、设元、列方程组、求解并检验作答，掌握和差倍分、行程、工程等常见模型. 大题 / 压轴题必考，分值占比高，常结合生活情境命题，考查建模与计算能力，是拉开分差的关键。 三元一次方程组及其解法 理解消元思想，会用代入法或加减法将三元转化为二元，再化为一元求解，规范书写步骤. 期中选考，多为基础解答题，难度较低，考查消元思想的迁移应用，部分试卷不考。 三元一次方程组的应用 会根据题意设三个未知数，找三个等量关系列方程组，求解并检验实际意义 低频考点，仅在综合拓展题中少量考查，难度不大，属于拓展内容，期中一般不做重点要求。 知识点01 二元一次方程 ★二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程. ★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． ★二元一次方程的解定义：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来. 2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解. 知识点02 二元一次方程组和它的解 ★1、二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 【注意】二元一次方程组需满足三个条件： ① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程的左右两边都是整式. 2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程. ★2、二元一次方程组的解定义：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做二元一次方程组的解. ①只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解． ②方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的 解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验． 知识点03 解二元一次方程组 ●代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． ●加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点04 二元一次方程组的应用 ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点05 三元一次方程组及其解法 ●三元一次方程（组）的定义 ★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程． ★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． ●三元一次方程组的解法 ★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. ★2、解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可． 【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”. ●三元一次方程组解简单的实际问题 ★列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组． （4）解方程组：解方程组求出未知数的值. （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3 个条件.① 整式方程（分母不能有未知数）.② 有两个未知数③ 所有未知项的次数都是1. 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二 由二元一次方程的定义求字母的值 解｜题｜技｜巧 ① 一对数代入方程左右相等就是解.② 一个二元一次方程有无数组解.③ 会用一个未知数表示另一个. 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则__________时，它是关于x，y的二元一次方程． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若是二元一次方程，则_______． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）当方程是二元一次方程时，则__，__． 【变式3】（23-24七年级下·浙江金华·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则 ______． 题型三 由二元一次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 ① 总共两个未知数.② 每个方程都是一次整式.③ 方程个数可以是 2 个或更多，允许含一元一次方程. 【典例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（    ） A． ①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 题型四 二元一次方程组的判断 解｜题｜技｜巧 ① 必须同时满足所有方程才叫公共解.② 检验时要代入每一个方程，不能只代一个.③ 解要用大括号 { 写成一组. 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型五 代入消元法解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 ① 选系数为 ±1的方程变形.② 把一个未知数用另一个表示.③ 代入另一个方程，消元变一元一次④ 求解后回代，写出最终解. 【典例1】在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．3x﹣2x﹣3＝8 B．3x﹣2x﹣6＝8 C．3x﹣4x﹣3＝8 D．3x﹣4x+6＝8 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）解方程组． (1) (2) 【变式3】（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得3×4+y＝14， 解得y＝2， 把y＝2代入①，得x＝2， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 题型六 加减消元法解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 ① 把同一未知数系数变相等或相反数.② 两式相加 / 相减直接消元.③ 解一元一次方程，再回代求另一个未知数.④ 系数复杂时优先用加减法. 【典例1】在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（　　） A．4 B． C． D． 【变式1】用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【变式2】用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 题型七 二元一次方程组的特殊解法 解｜题｜技｜巧 ①用整体代入法解特殊方程组. ② 用换元法解特殊方程组. ③ 用整体加减法解轮换对称方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是___________，___________． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的方程组的解是，则关于 x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于的方程组，解为．则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是___________． 题型八 直接由二元一次方程组解求参数 解｜题｜技｜巧 ① 把参数当数字正常解方程组.② 用代入 / 加减算出 x = 含参，y = 含参.③ 按题目条件（正数、整数、相等）列式求参数. 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 【变式1】（23-43七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的方程组的解是，则________． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于x、y的二元一次方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求2024a﹣b的值． 题型九 由二元一次方程组的解满足的条件求参数 解｜题｜技｜巧 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数. 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程的解，则k的值是  （   ） A． B． C． D． 95．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程组 (1)消去m，可得到关于x，y的二元一次方程： ． (2)若x与y的和等于4，求m的值 题型十 二元一次方程组与遮挡问题 解｜题｜技｜巧 ① 设未知数：把被挡住的数字设为 x、y. ②还原式子：根据算式规则把完整式子写出来. ③列方程：根据等式成立、和差关系、倍数关系列二元一次方程组. ④求解并检验：解方程组. 【典例1】解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　） A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和 【变式1】小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（　　） A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如果二元一次方程组的解为，则 ___________． 题型十一 二元一次方程组与同解问题 解｜题｜技｜巧 ① 先联立不含参数的两个方程求公共解.② 把解代入含参数方程求参数.③ 同解即两组方程组的解完全一样. 【典例1】（20-21七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D．2021 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为____． 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型十二 二元一次方程组与新定义问题 解｜题｜技｜巧 ① 按新运算规则翻译成标准方程组.② 用代入 / 加减法解方程组.③ 最后代回新运算得出答案. 【典例1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【变式1】对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）对x，y定义一种新运算“&”，规定：x&y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1&1＝3，1&2＝4．则2&（-1）的值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 题型十三 二元一次方程组与错解问题 解｜题｜技｜巧 ① 看错的方程仍满足错解.② 把错解代入看错的方程.③ 联立正确方程，求原系数 / 原方程. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a， 解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 题型十四 由实际问题列二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 先找两个等量关系，设两个未知数，按等量关系列出两个方程，组成方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18 升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等 稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校举办篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负， 胜1场得2分，负1场得1分．1班篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述 等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 题型十五 二元一次方程组的实际应用 解｜题｜技｜巧 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验并作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）哪吒的战斗武器是混天绫和风火轮，已知：混天绫的长度是风火轮直径的3倍，混天绫的长度与风火轮直径的和为16米，求混天绫的长度和风火轮的直径． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 题型十六 二元一次方程组解决方案问题 解｜题｜技｜巧 解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案． 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆型车和1辆型车装满材料一次可运输11吨；用1辆型车和2辆型车装满材料一次可运输13吨．该公司现有材料29吨，计划租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)求1辆型车和1辆型车都装满材料一次可分别运多少吨； (2)请你帮这个公司设计租车方案，若型车每辆需租金100元，型车租金每辆150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某商店决定购进两种计算器，若购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元． (1)求购进两种计算器每台需多少元？ (2)若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买种或只买种）． (3)若销售每件种计算器可获利润15元，每件种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式3】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 题型十七 三元一次方程组解的简单应用 解｜题｜技｜巧 三元一次方程组的简单应用有求字母系数问题，求比值问题，三元一次方程组与非负数的综合等问题，主要是利用三元一次方程组的解的定义和解方程组的知识来解决. 【典例1】有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k， 则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 【变式3】已知方程组的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值． 题型十八 三元一次方程组的实际应用 解｜题｜技｜巧 根据实际问题中蕴含的等量关系建立方程组模型，列出符合条件的三元一次方程组以达到解决问题的目的. 【典例1】小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【变式2】某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱 相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼 盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（　　） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【变式2】甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已 知甲比丙多付了680元，请问： （1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ （2）这台电视机的售价是多少元？ 【变式3】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公 司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是方程组 的解，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛：古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程，写出该方程的所有正整数解_______． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方 程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②若，则；③无论m为何值，的值不变；④当m为整数时，此方程组有2个自然数解，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1)(2) 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解方程组： (1) (2) 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．已知关于x，y的方程组． (1)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． (2)若方程组的解满足，求m的值； 14．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 15．周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达五台山，共用了1.5h；返回时，她先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到五台山的路程． 16．（24-25七年级下·浙教金华·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案． 18．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 由二元一次方程的定义求字母的值 题型03 由二元一次方程的解求参数 题型04 二元一次方程组的判断 题型05 代入消元法解二元一次方程组 题型06 加减消元法解二元一次方程组 题型07 二元一次方程组的特殊解法 题型08 直接由二元一次方程组解求参数 题型09 由二元一次方程组的解满足的条件求参数 题型10 二元一次方程组与遮挡问题 题型11 二元一次方程组与同解问题 题型12 二元一次方程组与新定义问题 题型13 二元一次方程组与错解问题 题型14 由实际问题列二元一次方程组 题型15 二元一次方程组的实际应用 题型16 二元一次方程组解决方案问题 题型17 三元一次方程组解的简单应用 题型18 三元一次方程组的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的三个条件：整式方程、含两个未知数、未知项次数均为 1，能准确判断并辨析易错题. 基础必考点，多以选择题、判断题考查，常设置 “分母含未知数”“次数不是 1” 等陷阱，难度低但易出错。 二元一次方程的解 理解解的意义，会检验解、求方程的解，知道二元一次方程有无数个解，会用一个未知数表示另一个未知数. 小题高频考点，选择题考查解的判断，填空题考查求特殊解，是解方程组的基础，期中必考。 二元一次方程组的定义 掌握二元一次方程组的条件，能正确判断，区分一元与二元、整式与分式方程组. 概念辨析题常考，选择题居多，侧重对定义的理解，属于基础概念题，得分率较高。 二元一次方程组的解 理解 “公共解”，会检验一组数是否为方程组的解. 期中必考小题，选择、填空均会出现，送分但易因只代入一个方程出错，考查细心程度。 代入消元法解方程组 掌握代入法步骤，会将一个未知数用含另一未知数的式子表示，再代入消元求解，规范书写解题过程. 解答题必考，常与加减法二选一考查，适合系数为 ±1 的方程组，考查计算能力与步骤规范。 加减消元法解方程组 掌握加减法步骤，会统一系数后相加 / 相减消元，能灵活选择最优方法解方程组. 核心考点，考查频率最高，期中解答题必出，适合系数较复杂的方程组，侧重计算准确性。 二元一次方程组的实际应用 会审题、找等量关系、设元、列方程组、求解并检验作答，掌握和差倍分、行程、工程等常见模型. 大题 / 压轴题必考，分值占比高，常结合生活情境命题，考查建模与计算能力，是拉开分差的关键。 三元一次方程组及其解法 理解消元思想，会用代入法或加减法将三元转化为二元，再化为一元求解，规范书写步骤. 期中选考，多为基础解答题，难度较低，考查消元思想的迁移应用，部分试卷不考。 三元一次方程组的应用 会根据题意设三个未知数，找三个等量关系列方程组，求解并检验实际意义 低频考点，仅在综合拓展题中少量考查，难度不大，属于拓展内容，期中一般不做重点要求。 知识点01 二元一次方程 ★二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程. ★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0) 【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． ★二元一次方程的解定义：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来. 2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解. 知识点02 二元一次方程组和它的解 ★1、二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 【注意】二元一次方程组需满足三个条件： ① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程的左右两边都是整式. 2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中有的方程也可以是一元一次方程. ★2、二元一次方程组的解定义：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做二元一次方程组的解. ①只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解． ②方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的 解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验． 知识点03 解二元一次方程组 ●代入消元法 ★1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想. ★2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法. ★3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． ②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． ⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． ●加减消元法 ★1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. ★2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． ②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值． ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． ⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点04 二元一次方程组的应用 ★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ★2、找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. ★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 知识点05 三元一次方程组及其解法 ●三元一次方程（组）的定义 ★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程． ★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． ●三元一次方程组的解法 ★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. ★2、解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可． 【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”. ●三元一次方程组解简单的实际问题 ★列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组． （4）解方程组：解方程组求出未知数的值. （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3 个条件.① 整式方程（分母不能有未知数）.② 有两个未知数③ 所有未知项的次数都是1. 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列式子是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键； 根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可， 【详解】解： A、含有1个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是一元一次方程，故不符合题意； B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意； C、分母中含有未知数，不是整式方程，更不是二元一次方程，故不符合题意； D、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义∶满足两个未知数且次数均为1，且为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解∶A．，含两个未知数和，次数均为1，故符合二元一次方程的定义； B．，含两个未知数，但的次数为2，非一次， 故不符合二元一次方程的定义； C．，含两个未知数，但不是整式，故不符合二元一次方程的定义； D．，仅含一个未知数，故不符合二元一次方程的定义， 故选∶A． 【变式3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数且所含未知数的项的次数均为1的整式方程，逐一分析选项即可. 【详解】A. ：含有两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，符合二元一次方程的定义； B. ：仅含有一个未知数x，属于一元一次方程，不符合条件； C. ：含有一个未知数x且存在二次项，属于一元二次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数x和y，但项的次数为2（x和y的次数之和），属于二元二次方程，不符合条件； 故选：A. 题型二 由二元一次方程的定义求字母的值 解｜题｜技｜巧 ① 一对数代入方程左右相等就是解.② 一个二元一次方程有无数组解.③ 会用一个未知数表示另一个. 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则__________时，它是关于x，y的二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若是二元一次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）当方程是二元一次方程时，则__，__． 【答案】 3 0 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且， 即①且②， ①②，得， ， 把代入①，， ． 故答案为：3，0． 【变式3】（23-24七年级下·浙江金华·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则 ______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：一是方程中只含有2个未知数；二是含未知数的项的最高次数为一次；三是方程是整式方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故答案为：1． 题型三 由二元一次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 ① 总共两个未知数.② 每个方程都是一次整式.③ 方程个数可以是 2 个或更多，允许含一元一次方程. 【典例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了二元一次方程的解． 将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【分析】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键．将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，将代入方程中， 得： 化简，得： 解得：， 因此，a的值为， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此将方程的解代入原方程得到关于a、b的关系式，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：将解代入方程，得： ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（    ） A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义（使二元一次方程左右两边相等的未知数的值）是解题的关键．将方程组的解分别代入四张卡片的方程，判断哪些方程成立，成立的方程对应的卡片即为所求． 【详解】解：把代入，得，所以①不成立． 把代入，得，所以②不成立． 把代入，得，所以③成立． 把代入，得，所以④成立． 因为③和④对应的方程，当，时成立，所以所取的两张卡片是③和④． 故选：D． 题型四 二元一次方程组的判断 解｜题｜技｜巧 ① 必须同时满足所有方程才叫公共解.② 检验时要代入每一个方程，不能只代一个.③ 解要用大括号 { 写成一组. 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组仅含x、y两个未知数，且均为一次整式方程，是二元一次方程组，符合题意； C.、第一个方程含项，次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第一个方程含分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程． 利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意； B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，即两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．根据该定义对各选项逐一分析即可． 【详解】A.该方程组中含有三个未知数，故不符合题意； B.该方程组是二元一次方程组，故符合题意； C.该方程组中的次数是二次，故不符合题意； D.该方程组中不是整式，故不符合题意， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．方程组是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组不是二元一次方程组，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键，满足下列条件的方程组叫二元一次方程组：①方程组中共含有三个不同的未知数，②每个方程都是整式方程，③每个方程中所含未知数的项的最高次数都是1． 题型五 代入消元法解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 ① 选系数为 ±1的方程变形.② 把一个未知数用另一个表示.③ 代入另一个方程，消元变一元一次④ 求解后回代，写出最终解. 【典例1】在解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（　　） A．3x﹣2x﹣3＝8 B．3x﹣2x﹣6＝8 C．3x﹣4x﹣3＝8 D．3x﹣4x+6＝8 【答案】D． 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：将方程①代入②得：3x﹣2（2x﹣3）＝8， 整理得：3x﹣4x+6＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）把②代入①，求得，然后把代入②求出的值即可； （2）①②，得：，求得，然后把代入①求出的值即可； 解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法（代入消元法，加减消元法），并能根据具体情况选用合适的方法求解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得：， 把代入②，得：， ∴方程组的解为； （2）， ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式3】（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得3×4+y＝14， 解得y＝2， 把y＝2代入①，得x＝2， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【分析】（1）将第一个方程变形为x﹣y＝1，利用整体代入法解方程组即可； （2）将第一个方程变形为2x﹣3y＝2，利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）， 由①得：x﹣y＝1③， 将③代入②得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1， 将y＝﹣1代入③得：x+1＝1， 解得：x＝0， 则原方程组的解为， 故答案为：； （2）， 由（1）得：2x﹣3y＝2③， 将③代入②得：2y＝9， 解得：y＝4， 将y＝4代入③得：2x﹣12＝2， 解得：x＝7， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查整体代入法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型六 加减消元法解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 ① 把同一未知数系数变相等或相反数.② 两式相加 / 相减直接消元.③ 解一元一次方程，再回代求另一个未知数.④ 系数复杂时优先用加减法. 【典例1】在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据可以用①×2+②消去未知数x，得到2m+2+n＝0③，根据可以用①+②×5消去未知数y，得到5m﹣n＝0④，据此建立关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：①×2+②整理得得：（2m+2+n）x+（m﹣2n）y＝27， ∵可以用①×2+②消去未知数x， ∴2m+2+n＝0③， ①+②×5整理得得：（m+1+5n）x+（5m﹣n）y＝63， ∵可以用①+②×5消去未知数y， ∴5m﹣n＝0④， 联立③④得， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是关键． 【变式1】用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【答案】D． 【分析】根据等式的可加性直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ①×3+②×2，消去x，故A选项不符合题意， ①×2+②×3，消去y，故B选项不符合题意， ①×（﹣3）﹣②×2，消去x，故C选项不符合题意， ①×2﹣②×（﹣3），消去y，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． 【变式2】用加减法解方程组具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴这个方程组的解是．其中，开始出现错误的步骤是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A． 【分析】第（1）步两方程相减时出现错误． 【详解】解：用加减消元法解方程组：．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为， 最先出现错误的一步是（1）， 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法的应用． （1）利用加减消元法将两方程相加得到关于x的方程并解得x的值，再将x的值代入第一个方程即可求解y的值，方程组的值即可解得； （2）先将第一个方程的分母消去化简得到③式，再通过加减消元法得到x的值，再将x的值代入③式即可求得y的值，方程组的值即可解得． 【详解】（1）解：， 由得：，解得， 将代入①式得：，解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 先将①化简得：③， 由得：， 由得：， 两式相加得：，解得， 将代入②式得：，解得， ∴方程组的解为． 题型七 二元一次方程组的特殊解法 解｜题｜技｜巧 ①用整体代入法解特殊方程组. ② 用换元法解特殊方程组. ③ 用整体加减法解轮换对称方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将整理得：，由题意得出关于x，y的方程组的解为，计算即可得解． 【详解】解：将整理得：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解为， 解得：， 故答案为：，． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的方程组的解是，则关于 x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对比两个方程组，运用换元思想可得：，解出即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握换元思想求解． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于的方程组，解为．则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案． 【详解】解：将关于，的方程组变形得， 则， 解得：， 即该方程组的解为：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解得定义，结合已知条件求得是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】根据条件及所求，由同解方程组的性质得到方程组求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解是 ， ， 若令，则方程组的解为， 解方程组得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及同解方程组，利用整体思想是解决问题的关键． 题型八 直接由二元一次方程组解求参数 解｜题｜技｜巧 ① 把参数当数字正常解方程组.② 用代入 / 加减算出 x = 含参，y = 含参.③ 按题目条件（正数、整数、相等）列式求参数. 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 【变式1】（23-43七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的方程组的解是，则________． 【答案】5 【分析】先利用方程组解的定义得到，解得，即可求解代数式的值． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和代数式的值，理解题意准确计算是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 把代入，解关于的方程组，再求解的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组中的解 ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式3】已知关于x、y的二元一次方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求2024a﹣b的值． 【分析】（1）把代入关于x、y的二元一次方程组得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可； （2）把（1）中所求a，b代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程组得： ， ①+②得：b＝﹣3， 把b＝﹣3代入①得：a＝1， ∴a＝1，b＝﹣3； （2）由（1）得：a＝1，b＝﹣3， ∴2024a﹣b ＝2024×1﹣（﹣3） ＝2024+3 ＝2027， ∴2024a﹣b的值为2027． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． 题型九 由二元一次方程组的解满足的条件求参数 解｜题｜技｜巧 求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤： ①把字母参数看作已知数并解方程组； ②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程； ③解方程组求得字母参数. 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，得，即， 又∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程的解，则k的值是  （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解二元一次方程组，二元一次方程的解的概念，掌握解二元一次方程组的解法及二元一次方程的解的概念是解题的关键；先由加减消元解出方程组，再把方程组的解代入二元一次方程求解即可； 【详解】解：解方程组 得， 二元一次方程组 的解也是二元一次方程的解， ， 解得：， 故选：D． 95．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程组 (1)消去m，可得到关于x，y的二元一次方程： ． (2)若x与y的和等于4，求m的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法直接消去m，即可得到关于x，y的二元一次方程； （2）先联立和，解方程组求出x与y的值，再代入中即可求出m的值． 【详解】（1）， ，得：， 故答案是； （2）∵x与y的和等于4，即， 联立和得： ， ，得：， 把代入得，， 把，，代入，得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． 题型十 二元一次方程组与遮挡问题 解｜题｜技｜巧 ① 设未知数：把被挡住的数字设为 x、y. ②还原式子：根据算式规则把完整式子写出来. ③列方程：根据等式成立、和差关系、倍数关系列二元一次方程组. ④求解并检验：解方程组. 【典例1】解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　） A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和 【答案】D 【分析】根据解的定义，代入确定y，得到方程组的解，再代入覆盖的方程计算即可． 【详解】把代入中得：， 故方程组的解为， 故★表示的数为； 把代入中得：， 故选D． 【点睛】本题考查了方程组的解即满足方程组中每一个方程的一组未知数的值，正确理解定义应用定义是解题的关键． 【变式1】小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（　　） A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4 【答案】C． 【分析】根据方程的解的定义，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，进而求出●的值，即可得到答案． 【详解】解：把x＝5代入2x﹣y＝12，可得 10﹣y＝12， 解得 y＝﹣2， 把x＝5，y＝﹣2代入可得 2x+y＝10﹣2＝8， 则“●”“★”表示的数分别为8，﹣2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如果二元一次方程组的解为，则 ___________． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的解适合每个方程． 把代入求出y，然后把x，y的值代入求解． 【详解】解：把代入得， 解得，即 再把代入得：， ∴， 故答案为：5． 题型十一 二元一次方程组与同解问题 解｜题｜技｜巧 ① 先联立不含参数的两个方程求公共解.② 把解代入含参数方程求参数.③ 同解即两组方程组的解完全一样. 【典例1】（20-21七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】A 【分析】根据同解方程组的含义可得，求解方程组的解，再代入系数未知的两个方程可得，解方程组得到a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴ ， 同理解得：， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是同解方程组的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，理解同解方程组的含义是解本题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为____． 【答案】-1 【分析】联立系数已知的方程得方程组，求解得，代入含参数方程，得关于参数的方程组，求解得参数值，代入代数式求解． 【详解】解：由题意，得，解得 代入另外两个方程，得，解得 ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查方程组解的概念，解二元一次方程组，理解方程组解的概念是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，代数式求值，理解题意正确计算是解题的关键． （1）根据题意联立得，即可求出两个方程组的相同的解； （2）把方程组的解分别代入方程和中，得到关于、的方程组求解，然后代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即这两个方程组的相同解是； （2）解：把分别代入方程和中，得， 解得， ． 题型十二 二元一次方程组与新定义问题 解｜题｜技｜巧 ① 按新运算规则翻译成标准方程组.② 用代入 / 加减法解方程组.③ 最后代回新运算得出答案. 【典例1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 【变式1】对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）对x，y定义一种新运算“&”，规定：x&y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1&1＝3，1&2＝4．则2&（-1）的值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入新运算，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵x&y＝mx+ny，1&1＝3，1&2＝4 ∴， 解得， ∴． ． 故选C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，求得的值是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 【答案】(1) (2)是“等解”方程组，理由见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）根据“等解”方程组的定义得，即可得，解方程组即可求出m的值； （2）方程组中的两个方程相减得，整理后可得，再由得，，进而得，根据“等解”方程组的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为“等解”方程组， ∴， ∴， 解得， 即m的值为； （2）解：是“等解”方程组，理由如下： ， 得， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组． 题型十三 二元一次方程组与错解问题 解｜题｜技｜巧 ① 看错的方程仍满足错解.② 把错解代入看错的方程.③ 联立正确方程，求原系数 / 原方程. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a， 解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】； 【分析】把代入②中，把代入①中，联立方程求解可得到，的值，再代入所求的式子运算即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， ∴， ， ， ， 【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用． 题型十四 由实际问题列二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 先找两个等量关系，设两个未知数，按等量关系列出两个方程，组成方程组. 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．根据题意，每个人看不到自己戴的帽子，男生看到其他男生的蓝帽子和所有女生的红帽子，女生看到所有男生的蓝帽子和其他女生的红帽子，据此列出方程． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个， 男生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍， 女生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 因此方程组为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18 升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等 稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，设上等稻每捆出谷粒x升，下等稻每捆出谷粒y升，通过分析题目中的两个条件，分别建立方程，再与选项匹配即可作答． 【详解】解：∵今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒： ∴ ∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒． ∴ 则可列出方程组为， 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某校举办篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负， 胜1场得2分，负1场得1分．1班篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述 等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设该队胜场，负场，根据比赛9场可得方程，根据一共得到12分可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设该队胜场，负场， 由题意得，， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键 根据题意列出方程组即可求解 【详解】解：设苹果的质量为，每个梨的质量为， 根据题意得： 故选：D 题型十五 二元一次方程组的实际应用 解｜题｜技｜巧 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验并作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）哪吒的战斗武器是混天绫和风火轮，已知：混天绫的长度是风火轮直径的3倍，混天绫的长度与风火轮直径的和为16米，求混天绫的长度和风火轮的直径． 【答案】混天绫的长度为12米，风火轮的直径为4米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意正确列方程组是解题关键．设混天绫的长度为米，风火轮的直径为米．根据“混天绫的长度是风火轮直径的3倍，混天绫的长度与风火轮直径的和为16米”列方程求解即可． 【详解】解：设混天绫的长度为米，风火轮的直径为米． 由题意得， 解得， 答：混天绫的长度为12米，风火轮的直径为4米． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有38本书，乙原来有18本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有38本书，乙原来有18本书． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用代数式表示，一元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）利用代数式表示出生产螺母的工人，再根据螺栓与螺母配套的数量关系“螺母数量螺栓”列出方程即可； （2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据车间工人总数，以及螺栓与螺母配套的数量关系建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 题型十六 二元一次方程组解决方案问题 解｜题｜技｜巧 解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案． 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 素材1：学校组织爱心义卖，七年级(1)班选定一家商店采购义卖商品．该商店销售钥匙扣每个4元，玩偶每个2元． 素材2：为支持爱心事业，商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠． 方案二 购买玩偶满50个，立减10元． 问题1：若班委购买钥匙扣和玩偶各40个，一共花费多少元？ 问题2：班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，求钥匙扣和玩偶各购买了多少个？ 问题3：现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，通过计算设计购买方案． 【答案】问题1：元；问题2：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个；问题3：方案一：当时，；方案二：当时，；方案三：当时，． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． 问题1：利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； 问题2：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题3：设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】解：问题1：(元) 问题2：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意，得， 解得． 答：钥匙扣购买了50个，玩偶购买了30个． 问题3：解：设购买钥匙扣个，玩偶个， 由题意得，， 则． 方案一：当时，； 方案二：当时，； 方案三：当时，． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆型车和1辆型车装满材料一次可运输11吨；用1辆型车和2辆型车装满材料一次可运输13吨．该公司现有材料29吨，计划租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)求1辆型车和1辆型车都装满材料一次可分别运多少吨； (2)请你帮这个公司设计租车方案，若型车每辆需租金100元，型车租金每辆150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】(1)1辆型车装满材料一次可运3吨，1辆型车装满材料一次可运5吨； (2)最省钱的租车方案为租用型车3辆，型车4辆，最少的租车费为900元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设1辆型车装满材料一次可运吨，1辆型车装满材料一次可运吨，根据用2辆型车和1辆型车装满材料一次可运输11吨；用1辆型车和2辆型车装满材料一次可运输13吨，列出方程，解方程即可； （2）根据公司现有材料29吨，计划租用型车辆，型车辆，得出，然后得出二元一次方程的整数解，再分别求出租车费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆型车装满材料一次可运吨，1辆型车装满材料一次可运吨， 由题意，得， 解得， 答：1辆型车装满材料一次可运3吨，1辆型车装满材料一次可运5吨； （2）解：根据题意，得， ，均为正整数， 或， 有2种租车方案； ①租用型车8辆，型车1辆，租车费为（元）， ②租用型车3辆，型车4辆，租车费为（元）， ， 最省钱的租车方案为租用型车3辆，型车4辆，最少的租车费为900元． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）某商店决定购进两种计算器，若购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元． (1)求购进两种计算器每台需多少元？ (2)若该商店决定拿出1700元全部用来购进这两种计算器，钱正好用完，那么该商店共有几种进货方案？（允许只买种或只买种）． (3)若销售每件种计算器可获利润15元，每件种计算器可获利润10元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种计算机55元一台，B种计算机85元一台 (2)两种 (3)购进A种计算机17台，B种计算机9台利润大，利润为345元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设种计算器单价元，种计算器单价元，根据“购进种计算器7件，种计算器3件，需要640元；若购进种计算器3件，种计算器5件，需要590元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种计算机台，B种计算机台，正好用完1700元，根据总价单价数量结合（1）的结论，即可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为非负整数解，即可找出各进货方案； （3）由上述两个方案算出每种方案利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设种计算器单价元，种计算器单价元． 可列方程：， 解得：， 答：A种计算机55元一台，B种计算机85元一台． （2）解：设购进A种计算机台，B种计算机台． 由题意可得方程， 变形可得：， 则非负整数解为和， 答：有两种进货方案． （3）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， 答：方案一的利润大，利润为345元． 【变式3】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 【答案】(1) (2)她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； (3)有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程（组）的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设她用了张B型“消费券”，根据不同类型的“消费券”的优惠金额和张数列方程求解即可； （2）设她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，根据“同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元”，列二元一次方程组求解即可；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． （3）设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，，分三种情况讨论：根据优惠金额列二元一次方程，从而得到、、的可能取值，再分别求出实际付款金额，即可求解． 【详解】（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 题型十七 三元一次方程组解的简单应用 解｜题｜技｜巧 三元一次方程组的简单应用有求字母系数问题，求比值问题，三元一次方程组与非负数的综合等问题，主要是利用三元一次方程组的解的定义和解方程组的知识来解决. 【典例1】有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【答案】C 【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值． 【详解】解：， ①②得：， ， ②①得：， ， 把，代入得： ， 故本题选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案 【详解】解：根据题意， 把代入方程组，得， 由①+②+③，得， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算. 【变式2】已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k， 则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【分析】根据得出，，然后代入中即可求解． 【详解】解：， ①+②得， ∴③， ①﹣③得：， ②﹣③得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键． 【变式3】已知方程组的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值． 【答案】a． 【分析】把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入x﹣2y+3z＝﹣10中计算即可求出a的值． 【详解】解：， ①+②+③得：x+y+z＝6a， 解得：z＝3a，x＝a，y＝2a， 代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10， 解得：a． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 题型十八 三元一次方程组的实际应用 解｜题｜技｜巧 根据实际问题中蕴含的等量关系建立方程组模型，列出符合条件的三元一次方程组以达到解决问题的目的. 【典例1】小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B． 【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果． 【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元， 根据题意得：， ①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200， ∴2x+2y+2z＝400， 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 【变式2】某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱 相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼 盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（　　） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【答案】D． 【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出z﹣7x的值即可． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱， 由题意得：， （①+②）÷2得：z（x+y）③， （①﹣②）÷3得：y﹣x＝2， ∴y＝x+2④， 将④代入③中得：z（x+x+2）， ∴z﹣7x＝7， 即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元， 故选：D． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式2】甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已 知甲比丙多付了680元，请问： （1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ （2）这台电视机的售价是多少元？ 【分析】（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，根据“甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍，且甲比丙多付了680元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之可得出x，y，z的值，相比后即可得出结论； （2）将三人所付钱数相加，即可求出结论． 【详解】解：（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元， 根据题意得：， 解得：， ∴x：y：z＝1020：510：340＝6：3：2． 答：甲、乙、丙三人所付的钱数之比是6：3：2； （2）根据题意得：1020+510+340＝1870（元）． 答：这台电视机的售价是1870元． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式3】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公 司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解． 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．含有两个未知数，未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，含两个未知数，但的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、，含两个未知数和，未知数的次数均为1，且为整式方程，是二元一次方程，符合题意； C、，含三个未知数、、，不是二元一次方程，不符合题意； D、，含两个未知数，但为分式，非整式方程，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是方程组 的解，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是求出m与n的值． 将已知解代入方程组，解出未知参数，再计算差值． 【详解】解：将代入方程组得： 解得： ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 利用整体思想，将两个方程相减，再整体代入解题即可． 【详解】 得 因为 所以 所以． 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛：古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意找出等量关系，是解题的关键．设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意得： ， 故选：B． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程 站与站的距离千米，列车小时行驶的路程 站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得 ， 解得：， （小时）， 故答案：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程，写出该方程的所有正整数解_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．先用x的代数式表示y，再得出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程的所有正整数解为． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方 程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是同解方程，将两个方程相加，可得，把代入即可得到答案. 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②若，则；③无论m为何值，的值不变；④当m为整数时，此方程组有2个自然数解，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 【答案】D 【分析】将代入方程组的两个方程即可判断①；将代入方程组求解即可判断②；根据方程组求出，再根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用计算即可判断③；先根据为自然数和求出的值，再代入方程组求出的值，由此即可判断④． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得， 所以是方程组的一个解，结论①正确； 若，则， 解得，则结论②错误； 由得：， 则 ， 所以无论为何值，的值不变，结论③正确； 都是自然数，且， 或， 将代入方程组得：，解得，为整数， 将代入方程组得：，解得，为整数， 则当为整数时，此方程组有2个自然数解，结论④正确； 综上，结论正确的是①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用，熟练掌握二元一次方程组的解是解题关键． 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟记代入消元法和加减消元法是解方程的关键． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）先化简，利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 再将代入①得，， ∴此方程组的解为； （2）化简原方程组得， 得：， 将代入①得，， ∴此方程组的解为． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解：原方程组整理得， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．已知关于x，y的方程组． (1)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． (2)若方程组的解满足，求m的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将原式进行变换后即可求出这个固定解； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可． 【详解】（1）解：方程，整理得， 由于无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解， ∴列出方程组， 解得：； （2）解：解方程组，得， 将代入， 解得． 【点睛】本题考查解二元一次方程组求参数，关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． 14．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 15．周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达五台山，共用了1.5h；返回时，她先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到五台山的路程． 【答案】9千米． 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返所用的时间列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则x+y＝6+3＝9（千米）． 答：从出发点到五台山的路程是9千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16．（24-25七年级下·浙教金华·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案． 【答案】(1)医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元； (2)共有两种购买方案：购买了医用口罩个，消毒液瓶；购买了医用口罩个，消毒液瓶． 【分析】（）设医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设购买了医用口罩个，消毒液瓶，根据题意，列出二元一次方程，根据都为正整数解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元， 由题意可得，， 解得， 答：医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元； （2）解：设购买了医用口罩个，消毒液瓶， 则， ∵都为正整数， ∴或， ∴共有两种购买方案：购买了医用口罩个，消毒液瓶；购买了医用口罩个，消毒液瓶． 18．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $