专题05 三角形中的最值与取值范围问题（5大高频考点）（期中真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题05 三角形中的最值与取值范围问题 4大高频考点概览 考点01求角的最值或范围 考点02求边的最值或范围 考点03求面积的最值或范围 考点04求周长的最值或范围 考点05与其它综合的最值或范围问题 地 城 考点01 求角的最值或范围 一、多选题 1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在中，，则角的可能取值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是____________． 3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，若，则的最小值为______. 三、解答题 4．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 5．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 地 城 考点02 求边的最值或范围 一、选择题 1．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 5．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则 三、填空题 6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)在锐角中，角的对边分别为，已知，点在上，是的平分线，则的取值范围为______． 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________． 8．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在平面四边形中，，，，则的最大值为______.         四、解答题 9．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)中，角A、B、C所对的边为，若． (1)求角的大小； (2)若，求的最大值． 10．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 11．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 12．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 地 城 考点03 求面积的最值或范围 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______． 3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)在中，角所对的边分别为，已知，且，则__________；当时，面积的最大值为__________. 三、解答题 4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 7．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形中， (1)若，，(图1)，求线段长度的最大值； (2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 地 城 考点04 求周长的最值或范围 一、多选题 1．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（     ）   A．存在使是正三角形 B．若的周长为，则 C．若为中点，则的周长的最小值为 D．若，则的面积的最大值为 二、解答题 2．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求，； (3)若，求周长的取值范围． 地 城 考点05 与其它综合的最值或范围问题 一、多选题 1．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则是锐角三角形 C．已知，，，则内切圆的半径为 D．若，是的外心，，则 2．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D．若是的外心，，则最小值为 二、填空题 3．已知的外心为O，，则实数k的最大值为________． 三、解答题 1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ①，②，③ (1)求的大小； (2)若，且，求； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. (1)求函数的“相关向量”的模长； (2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求证：； (2)若，且，，求； (3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围. 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的最值与取值范围问题 4大高频考点概览 考点01求角的最值或范围 考点02求边的最值或范围 考点03求面积的最值或范围 考点04求周长的最值或范围 考点05与其它综合的最值或范围问题 地 城 考点01 求角的最值或范围 一、多选题 1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在中，，则角的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由正弦定理有，即，解得，注意到从而，所以角的可能取值是，.故选：BC. 二、填空题 2．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由，可得：，由正弦定理得， 再由余弦定理：，再结合正弦定理可得：， 所以，即，即，因为是锐角三角形，, 所以，或，当时，又,所以，即，所以，此时为直角，舍去，当时，可得：，即，同时：，即， 综上角A的取值范围是，故答案为： 3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，若，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】，得，所以， 所以，即，由正弦定理和余弦定理，得，整理得，由余弦定理，得 ，当且仅当即等号成立，所以的最小值为.故答案为： 三、解答题 4．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得，所以的外接圆的周长为. （2）①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角的取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 5．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【详解】（1）若选①，，则， ，解得或（舍），又是锐角，则. 若选②，，由正弦定理，得， ，化简整理得， 又，，故，又，所以. 若选③，，则由正弦定理，得，，， 上式化简得，即，，，故. （2）由（1），，则， ， 因为，则， ，所以. （3）由，，由余弦定理， ，即， ，化简得，得，又，所以是正三角形. 地 城 考点02 求边的最值或范围 一、选择题 1．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理可得，若满足条件的三角形有且只有一个，则或，所以或，可得或.故选：D. 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，由正弦定理可知. ∵为锐角三角形，∴，解得，∴，. 故选：D. 3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，由正弦定理得，可得，即，所以， 又，则，是的中点，，故，两边平方得，，故，其中，故（当且仅当时符号成立），解得．故选：C 二、多选题 4．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，在中，，A正确；对于B，由余弦定理得，即，而，解得，B错误；对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；对于D，有两解，则，而，因此，D正确.故选：ACD 5．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由可得，即， 因为，所以，且，所以，故A正确；对于B，根据余弦定理可得，，即，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，因为，所以或 解得或，因为，所以或，故B错误；对于C，由正弦定理可得， ，即,因为为锐角三角形， 所以，即，解得，所以，故C正确； 对于D，因为，所以.因为，所以. 由正弦定理可得，，即，即， 所以，即， 因为，所以，又因为，所以为锐角，则. 所以，所以为直角三角形， 所以内切圆的半径满足，即， 所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 6．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)在锐角中，角的对边分别为，已知，点在上，是的平分线，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为是的平分线，由角平分线定理得，设，则，所以.因为为锐角三角形，则，由余弦定理得，解得；，解得恒成立； ，解得.综上，.在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得， 所以，整理得.故答案为： 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________． 【答案】4 【详解】如图，由题意得：，可得：，由基本不等式，可得，解得．当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4. 故答案为：4． 8．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)在平面四边形中，，，，则的最大值为______.         【答案】 【详解】设，，则，代入数据得，，，在中运用余弦定理得，即 ，，所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)中，角A、B、C所对的边为，若． (1)求角的大小； (2)若，求的最大值． 【详解】（1）因为，所以， 即，，由正弦定理得， 三角形中，，所以，，所以． （2）由正弦定理得 所以 ， 又， 所以当时，取最大值为．即取得最大值为． 10．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【详解】（1）由，根据正弦定理得， 则，所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）因为是锐角三角形，且由（1）知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以，又，则， 所以，则， 所以的范围为. 11．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即. （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. （ii）在中，由正弦定理得，即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 将①，②，③式依次代入即得： ， 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为. 12．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 【详解】（1）选①：，由正弦定理，可得， 再由余弦定理，可得，又，所以； 选②：由，可得 ，又，所以； 选③：由，可得，即， 即，解得或（舍），又，所以； （2）如图，因为E为BC中点，所以，所以，即，即， 因为，，，所以，即， 解得，即AC的值为2； （3）已知，，，设，则，， 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得：，可得 ，因为是锐角三角形，所以，解得，则，故当时，可得AC的最大值是． 地 城 考点03 求面积的最值或范围 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故选：B. 二、填空题 2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】在中，由正弦定理得由余弦定理得因为为的内角，则，所以因为的外接圆的半径为由正弦定理得所以由余弦定理得即因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为故答案为： 3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)在中，角所对的边分别为，已知，且，则__________；当时，面积的最大值为__________. 【答案】 【详解】根据题意知，边角互化可得， 再根据余弦定理可得，化简变形可得，当时，可得.当，根据正弦定理边角互化可得，根据余弦定理， 根据二次函数的性质可得当时，最大值为.故答案为：1； 三、解答题 4．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)在中，设所对的边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得， 因，则，则得，而，所以. （2）在中，由及正弦定理，得， 故得，因，故得，即为等边三角形. （3）由（1）知，，因为锐角三角形，得，则， 由正弦定理，得， 所以. 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 【详解】（1）因为，， ， 令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）①因为，所以， 因为，所以， 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即 所以，又，所以三角形为等边三角形. ②因为，， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以面积的最大值为. 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角A； (2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； （2）①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，，   则在中，由正弦定理，得，所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有, 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 7．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形中， (1)若，，(图1)，求线段长度的最大值； (2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 【详解】（1）设，则， 由材料可知，， 即，解得， 当且仅当四点共圆时等号成立即,且此时, 所以线段长度的最大值为， （2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，分别在和利用余弦定理， 可得，解得，， 所以 ，记，则上式，于是四边形的面积为：. 地 城 考点04 求周长的最值或范围 一、多选题 1．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（     ）   A．存在使是正三角形 B．若的周长为，则 C．若为中点，则的周长的最小值为 D．若，则的面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，设，则，由勾股定理得，由得，，解得（负根舍去），故A正确.对于B，设，，由勾股定理得，由题意得，即，， ，故B正确.对于C，因为，所以只需求的最小值即可.如图，延长至点，使得，连接，此时可得，   则，当仅当共线时等号成立，则的周长的最小值为．故C错误.对于D，设，，，，则，即， 因为，当且仅当等号成立，解得或，因为，所以，则当时，的最大值为．故D正确.故选：ABD 二、解答题 2．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 【详解】解：（1）由向量，，且， 得： 由正弦定理，得： 化为：，由余弦定理，得：，所以； （2）因为，所以，，由，得：， 由正弦定理，得：， 的周长为： ， 由，得：，， 所以，周长，． 3．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：， 即，所以， 由于，所以，又，所以. （2）由正弦定理得：，因为，所以， 所以 ， 因为，所以，故，所以. 故的周长的取值范围为：. 4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求，； (3)若，求周长的取值范围． 【详解】（1）因为， 由余弦定理，可得， 由正弦定理可得 ， ． ，，即， ，， ，则，．． （2）的面积为，， 由余弦定理得，即， ，即，． （3）法一：由正弦定理 ，， 所以， 由于为锐角三角形，则，则，所以， 又，，， 的周长的取值范围为． 法二：， 由于为锐角三角形，所以，则，，． 由余弦定理得，所以的周长 记，则在上单调递增，的周长的取值范围为． 地 城 考点05 与其它综合的最值或范围问题 一、多选题 1．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)（多选）已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则是锐角三角形 C．已知，，，则内切圆的半径为 D．若，是的外心，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，可得，所以，所以，同理可得，，所以点是的垂心，故A错误；对于B，由，可知，，由，可得，，所以，所以，所以，因为，所以，所以是锐角三角形，故B正确；对于C，由，，，可得，所以，所以，设的内切圆的半径为，可得，所以，故C正确；对于D，因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，  设，，因为，所以，得，所以，又，所以，所以，所以，故D正确；故选：BCD. 2．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D．若是的外心，，则最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，由正弦定理，，所以，，所以，因为，所以， 所以，，所以，故A正确；对于В．是边上的一点，且，则有，即，由，，，，，所以16，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积，故B正确．对于C，不妨设最大，则，又因为是钝角三角形，所以，解得，所以，所以，故C错误；对于D．若是的外心，有，，由，所以，得，设，，则，其中，当取 “”，所以D正确.故选：ABD． 二、填空题 3．已知的外心为O，，则实数k的最大值为________． 【答案】4 【详解】因为， 所以. 在三角形中，， 所以，则 . 设中角、、所对的边分别为、、，则，，： 所以. 两边同时除以，得到. 因为，所以，即， 又， 则.所以. 因为是三角形内角，.所以，解得，当且仅当时取等号，则的最大值为. 故答案为：4. 三、解答题 1．(24-25高一下·四川南江中学·期中)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【详解】（1）方法一：直接法:可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法:因为， 即，而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简: ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 2．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） ①，②，③ (1)求的大小； (2)若，且，求； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）选①：即， 由余弦定理得，又，所以； 选②：在中，由及正弦定理得， 则，又，于是， 而，解得，又，则，所以； 选③：在中，由及正弦定理得， 得，即， 由余弦定理得，又，所以； （2）， ，． （3）在中，由正弦定理得：， 由（1）知，即，由为锐角三角形，得，即， 于是，所以，即的取值范围为， 所以． 3．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. (1)求函数的“相关向量”的模长； (2)在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 【详解】（1）函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. （2）①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求证：； (2)若，且，，求； (3)若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围. 【详解】（1）由余弦定理可得，整理得①， 即，所以. （2）因为，所以， 又，，所以②， 由余弦定理得③， ①-③可得，联立，可得，代入②可得： ，解得. （3）因为，即， 所以，整理得， 又，所以，即， 所以， 由三角形面积公式知， 整理得，由正弦定理可知， 所以 ， 由上分析可知，为方程的两正根， 所以，解得， 又，所以， 即，解得（舍去）或， 综上，，易知在上单调递减， 所以，即的取值范围为. 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）， ，， ， 又，，，,， （2）， ，又，， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又，， ， ． （3）由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又，所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $