精品解析：四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

安岳中学高2024级第二学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，所以， 解得， 故选:C. 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】画出原图可计算面积. 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形图象平移变换逐项求出解析式判断. 【详解】对于A，的图象向左平移个单位，得，A不是； 对于B，的图象向右平移个单位，得，B是； 对于C，的图象向左平移个单位，得，C不是； 对于D，的图象向左平移个单位，得，D不是. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 5. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出各个角，再用正弦定理求解即可. 【详解】根据题意，，， 所以， 在中由正弦定理可知， 所以， 在中， 所以. 故选：B． 6. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 7. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数在区间上是增函数，则有，在区间上恰好取得两次最大值1，得，即可求解. 【详解】由函数在区间上是增函数，则有， 由可得，所以， 又函数在区间上恰好取得两次最大值1，得， 所以，即. 故选：B. 8. 已知中，，，，O为的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值． 【详解】由题意可知，为的外心， 设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为, 因为 ，两边乘以，即， 的夹角为，而， 则 ，得①， 同理两边乘 ，即，， 则 得②， ①②联立解得，， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将两边分别乘以，结合数量积定义化简得到关于的方程，求得答案. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D，如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故D正确； 故选：AD． 10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，利用跟的判别式求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求得内切圆半径，从而求的面积. 【详解】对于A，由可得，即， 因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B，根据余弦定理可得，，即， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解， 因为， 所以或 解得或，因为，所以或，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， ，即, 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为，所以. 由正弦定理可得，，即，即， 所以，即， 因为，所以，又因为，所以为锐角，则. 所以，所以为直角三角形， 所以内切圆的半径满足，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以  13 已知，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系以及余弦的和差角公式即可求解. 【详解】由以及可得，故， 由以及可得，故， 故，， 故， 故答案为： 14. 在平面四边形中，，，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用三角函数函数得，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值. 详解】设，，则，代入数据得， ，， 在中运用余弦定理得， 即 ，， 所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为. 故答案：. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设，再利用三角函数和余弦定理得到，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果； （2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值. 【小问1详解】 已知向量与的夹角，且，， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线可知，由向量共线的坐标表示即可求解； （2）由可知，根据向量垂直的坐标表示求出实数的值，进而可根据向量模长计算公式可计算，，.以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，根据圆锥的表面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，，，. ∵三点共线，，，解得， 即实数的值为. 【小问2详解】 由（1）知，. ，，，即. ，，，，. 以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥， 故该几何体的表面积为. 17. 已知向量，，设． （1）求函数的表达式及单调减区间； （2）将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再求出函数单调递减区间. （2）由求出解析式；在上求出方程的解. 【小问1详解】 依题意，， 由，解得， 所以函数的表达式，单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知； 由，得，由，得， 则或或，解得或或， 所以方程在区间上的解集为． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解. （2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以的外接圆的周长为. 【小问2详解】 ①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 函数的最小正周期为，又，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 当时，，则， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 （3）令，由（2）知当时，，即， 则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，，解得， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第二学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位.塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱.上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟、如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得重兴塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得重兴塔在北偏西60°的B处，通过测量两个测量基点C与D之间的距离约为米，则塔高约为（ ）米. A. 54 B. 30 C. D. 6. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得两次最大值1，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，，O为的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 10. 已知函数部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 13 已知，，，，则________． 14. 在平面四边形中，，，，则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）与的夹角的余弦值. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，. （1）若三点共线，求实数值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 17. 已知向量，，设． （1）求函数的表达式及单调减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $