安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦数列、导数核心知识，通过舞蹈排练人数、宠物细菌增长等真实情境设计，实现基础概念（如等差等比数列）与创新应用（如导数优化行车费用）的梯度考查，体现数学建模与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|单选考查等差等比数列（1题）、导数切线（2题）；多选结合“垂切函数”（9题）、多边形边长数列（10题）|第8题构造函数比较大小，考查函数单调性应用| |填空题|3题/15分|数列综合（13题：前3项等比后3项等差）、三角函数周期性（14题）|13题融合等比等差性质与求和，考查方程思想| |解答题|5题/77分|导数求单调区间（15题）、等比数列证明（16题）、导数优化行车费用（17题）|17题以车速与费用关系为情境，考查导数求最值的数学建模能力|

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“2S1<S2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知曲线y=x-ln x的一条切线的方程为y=m,则实数m= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知{an}是等比数列,a1=2,a5=,则a3= A.-1 B.1 C.-1或1 D.2 4.设函数f(x)的导数为f'(x),且函数f(x)=x2-xf'(1),则f'(2)= A.3 B.2 C.1 D.-1 5.若Sn为等差数列{an}的前n项和,a2,a9是方程x2-12x-m=0的两根,则S10= A.60 B.40 C.-60 D.80 6.曲线f(x)=x4在x=0处的切线的倾斜角为α,曲线g(x)=xln x在x=1处的切线的倾斜角为β,则sin(α-β)= A.- B. C.- D. 7.某学校组织m名学生进行大型舞蹈节目排练,这些学生总共站成四排,四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加,这7名同学有1名站在第一排,3名站在第二排,3名站在第三排,此时四排学生人数恰好依次成等差数列,则m= A.56 B.65 C.72 D.84 8.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.若函数y=f(x)的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线垂直,则称函数y=f(x)为“垂切函数”.已知函数y=ax+ln x是“垂切函数”,则实数a的值可以是 A.-1 B.-2 C.0 D.1 10.已知一个多边形的周长为155 cm,各边的长成等差数列,最短的边长为2 cm,公差为3 cm,则 A.该多边形的内角和为1440° B.该多边形最长的边长为29 cm C.该多边形有一条边长为16 cm D.较长的五条边长度之和为115 cm 11.宠物很可爱,但宠物身上会有很多细菌,小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌的数量还会继续增加,但随着时间的推移,细菌增加的幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数f(t)=(t-49)e-t+50(0≤t<720),f'(t)为f(t)的导数,下列结论正确的是 A.滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌,却无法杀死所有细菌 B.f'(96)表示当t=96时,细菌数量以每小时46e-96的速度在减少 C.若存在a,b,且a≠b,使f(a)=f(b),则a+b<100 D.细菌数量在t=50时的瞬时变化率为0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=x3-6的最小值为　　　　.  13.已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列,后3项成等差数列,数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,a5=10,a4=S3,则a1+a4=　　　　.  14.已知数列{an}是首项为,公差为的等差数列,集合S={sin an|n∈N*},则集合S的子集个数为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=aln x-x3(a∈R),且f'(1)=-2. (1)求a的值; (2)设g(x)=f(x)-ln x+3x,求函数g(x)的单调区间. 16.(15分)已知数列{an}的首项a1=2,且{an}的前n项和Sn满足3Sn=an+1-2. (1)求证:数列{an}是等比数列. (2)求使Sn≥42成立的最小正整数n的值. 17.(15分)已知A,B两城市的距离是150 km,根据交通法规及省油原则,两城市之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设油价是8元/L,以x km/h的速度行驶时,汽车的耗油率为3+ L/h,其他费用是40元/h.当车速是多少时,才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h,参考数据:≈2.646) 18.(17分)已知等差数列{an}为递减数列,且a2+a4=-4,a2a4=-5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前k(k∈N*)项和Sk≤-95,求k的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=(x≠0). (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的倾斜角; (2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明:f(x)>. 参考答案 1.C　若2S1<S2,则a1=S1<S2-S1=a2,所以d>0.若d>0,则a2-a1>0,所以2S1<S2. 故“d>0”是“2S1<S2”的充要条件. 2.C　y'=1-,令1-=0,解得x=1,则切点坐标为(1,1),可得m=1. 3.B　根据题意,=a1a5=2×=1,所以a3=±1. 设{an}的公比为q, 则a3=a1q2=2q2>0,所以a3=1. 4.A　由f(x)=x2-xf'(1),得f'(x)=2x-f'(1), 取x=1,得f'(1)=2-f'(1),则f'(1)=1,f'(2)=2×2-1=3. 5.A　依题意,由a2,a9是方程x2-12x-m=0的两根,可得a2+a9=12,∴S10====60. 6.C　f'(x)=4x3,所以曲线f(x)=x4在x=0处的切线的斜率为0,倾斜角α=0. g'(x)=ln x+1,所以曲线g(x)=xln x在x=1处的切线的斜率k=g'(1)=1,可得β=. sin(α-β)=sin-=-. 7.B　设等比数列为{an},公比为q,等差数列为{bn},公差为d, 由题意可得b1=a1+1,b2=a2+3=a1q+3,b3=a3+3=a1q2+3,b4=a4=a1q3, 从而a1q+3=a1+1+d　①, a1q2+3=a1q+3+d　②, a1q3=a1q2+3+d　③, 由①②③可解得a1=8,q=,所以m=a1+a1q+a1q2+a1q3=65. 8.D　依题意,a==,b==,c==, 令f(x)=,x∈(0,+∞),则f'(x)=,所以当0<x<时,f'(x)>0, 当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减. 因为<2<e<3,所以f(3)<f(e)<f(2),即<<,即c>b>a. 9.AB　由题意得y'=a+,且存在正实数x1,x2,使得a+a+=-1成立,则a<0. 10.ABD　设该多边形为n边形,最长的边长为an,则解得或(舍去),所以该多边形为10边形,内角和为(10-2)×180°=1440°,最长的边长为29 cm,A项正确,B项正确;令3n-1=16,n=∉N*,C项错误;较长的五条边的长度之和为a6+a7+a8+a9+a10=5a8=5(3×8-1)=115,D项正确. 11.ABD　由题意,f(t)=(t-49)e-t+50(0≤t<720),可得f'(t)=(50-t)e-t. 对于A项,f(720)>0,所以杀菌剂不能杀死所有细菌,故选项A正确; 对于B项,因为f'(96)=-46e-96<0,所以当t=96时,细菌数量以46e-96的速度在减少,故选项B正确; 对于C项,若存在a,b,且a≠b,使f(a)=f(b),此时(a-49)e-a=(b-49)e-b, 不妨设g(x)=(x-49)e-x,h(x)=g(100-x)-g(x)=(51-x)ex-100-(x-49)e-x, 求导可得h'(x)=(50-x)(ex-100-e-x),当0≤x<50时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 此时h(x)>h(50)=0,即g(100-x)>g(x), 当50<x<720时,h'(x)<0,h(x)单调递减,此时h(x)<h(50)=0,即g(100-x)<g(x), 当0≤a<50,a≠b时,g(100-a)>g(a)=f(a)=g(b)=f(b),此时100-a>50,b>50,所以g(100-a)<g(b),可得100-a<b,即a+b>100,故选项C错误; 对于D项,因为f'(50)=0,所以当t=50时,瞬时变化率为0,故选项D正确. 12.-5　函数f(x)=x3-6的定义域为[0,+∞),f'(x)=3x2-. 令f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 所以当x=1时,f(x)=x3-6有极小值,也是最小值,f(1)=-5. 13.8　设后3项的公差为d,前3项的公比为q,由a2=2,a5=10,a4=S3, 可得a3=2q,a3+2d=10,+2+2q=10-d,解得或 当时,a1+a4=+10-d=2+10-4=8, 当时,a1+a4=+10-d=1+10-3=8,所以a1+a4=8. 14.16　由题意得an=+(n-1)=n-,sin an=sin(n-),其周期T==6, sin a1=sin-=sin=,sin a2=sin-=sin=1, sin a3=sin-=sin=,sin a4=sin-=sin=-, sin a5=sin-=sin=-1,sin a6=sin-=sin=-…… 结合集合元素的互异性,S=,其中有四个元素,故其子集个数为24,24=16. 15.解:(1)f(x)=aln x-x3(a∈R), 则f'(x)=-3x2,f'(1)=a-3=-2,故a=1. (2)g(x)=f(x)-ln x+3x=ln x-x3-ln x+3x=-x3+3x(x>0), g'(x)=-3x2+3(x>0).令g'(x)>0,得0<x<1,令g'(x)<0,得x>1, 所以函数g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 16.解:(1)证明:因为a1=2,3Sn=an+1-2, 所以3Sn-1=an-2,n≥2, 当n≥2时,两式相减得3an=an+1-an,即=4, 因为a2=3a1+2=8,即=4, 故数列{an}是以2为首项,4为公比的等比数列. (2)由(1)知an=2×4n-1=22n-1,Sn=(an+1-2)=(2×4n-2)≥42, 解得n≥3,所以使Sn≥42成立的最小正整数n的值为3. 17.解:由题意可设总费用为f(x)且x∈[50,100],则行车的时间为, 于是fx=3+×8+×40=+x, f'(x)=-=, 结合定义域,当x∈[50,20]时,f(x)单调递减,当x∈[20,100],f(x)单调递增, 故当x=20=52.92≈53时,f(x)取得最小值. 18.解:(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d, 联立解得或 ∵等差数列{an}为递减数列,∴ ∴d===-3, ∴an=a2-3(n-2)=1-3(n-2)=7-3n,n∈N*. (2)由题意及(1),可得Sk=k·4+·(-3)≤-95,化简整理得3k2-11k-190≥0,解得k≥10或k≤-,又k∈N*,所以k的最小值为10. 19.解:(1)由题意f'(x)=,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,倾斜角为. (2)由f'(x)=,可设g(x)=(x-1)ex+1,则g'(x)=xex, 当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 又g(0)=0,所以对于任意的x≠0有g(x)>0,即f'(x)>0, 因此f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递增, 设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1, 当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)>h(0)=0,则ex-1>x,即<1, 当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)>h(0)=0,则ex-1>x,即>1, 所以f(x)是其定义域上的增函数. (3)设m(x)=ex-x-1,则m'(x)=ex-1+=--1, 由(2)知,ex-x-1>0,所以--1>0,又>0,所以m'(x)=--1>0. 从而m(x)=ex-x-1在R上单调递增,当x>0时,m(x)=ex-x-1>m(0)=0, 所以ex-1>x,可得>,即f(x)>. 当x<0时,m(x)=ex-x-1<m(0)=0, 所以ex-1<x,可得>,即f(x)>. 综上可知,f(x)>. ( 第 7 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $