专题08 概率分布综合应用（含泊松分布、指数分布）8种难点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题08 概率分布综合应用（含泊松分布、指数分布）8种难点常考题型 题型一：二项分布的最大概率问题 题型二：比赛背景下的概率分布问题 题型三：二项分布的综合应用 题型四：超几何分布的综合应用 题型五：正态分布的综合应用 题型六：泊松分布的应用 题型七：指数分布的应用 题型八：概率分布与其他章节融合 题型一：二项分布的最大概率问题 1．2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【解析】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 2.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见解析；； (2)7个或8个 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【解析】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 3.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）先确定的可能取值，求出对应的概率，进而得到其分布列. （2）设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，分别求出甲、乙两人答对题数服从二项分布的概率，再根据独立事件的概率公式求出的表达式，进而确定最值. 【解析】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 ， 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 4.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；②连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 【答案】(1)分布列见解析， ； (2)21； (3)单调递增，证明见解析 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决. （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可. （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【解析】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 因此比赛次数不会超过5，令比赛共进行了n局，（）， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， ． 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，， 记，已知， 则， 由，得，即，；，， 则当时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为， 记乙在每场比赛获胜的概率为， ， 由知，，因此， 所以单调递增. 5.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)；(2)①；②或或． 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【解析】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 6.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【解析】（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； （2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 7.为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 【答案】(1)；； (2)极大值； (3) 【分析】（1）通过超几何分布模型计算答对题数的数学期望，并利用条件概率公式分析在已知至少答对一题的情况下仍未能进入决赛的可能性； （2）建立二项分布概率函数，通过求导确定其极值点，进而求得该概率函数在给定区间内的最大值； （3）基于二项分布列出奖金期望的表达式，通过解多项式不等式确定概率参数的取值范围，从而满足总奖金期望的条件. 【解析】（1）记总题数，甲会做的题数，从中任选题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：. （2）设一次抽奖中奖概率为，次抽奖中中奖次数， 则“恰好中奖次”的概率：， 对求导： 令，得（舍去）， 当时，当时，故为极大值点， 极大值为. （3）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为，， ，， 期望，化简得 名同学总奖金的期望， 即整理得 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得. 8.随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【解析】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 题型二：比赛背景下的概率分布问题 9．“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）先明确 “甲第一轮获胜” 和 “乙获得第 3 名” 的比赛路径，计算联合概率，再用条件概率公式求解即可. （2）先确定的所有可能取值，再逐一分析每种名次对应的比赛路径，计算概率，最后列出分布列并求期望即可. 【解析】（1）设事件M：乙队获得第3名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则， ， 所以， 所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为. （2）随机变量的可能取值为1，2，3，4， ； ； ； . 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 故的数学期望. 10.为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析，(2) (3)证明见解析 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前局甲赢局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，再作差比较大小即可. 【解析】（1）（1）的可能取值为1，3，5， ， ， ， 则的分布列为： 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）若两人共进行了局比赛，甲所赢局数为，则， 甲获胜的概率， 若两人共进行了局比赛， 可以认为在进行了局比赛的基础上再比两局， 则甲获胜的概率， ， 已知，所以，证毕. 11.为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【解析】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 12.某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3) 【分析】（1）利用对立事件简化概率计算即可； （2）首先确定随机变量的所有可能取值，计算每个取值的概率，进而构建分布列并求解数学期望； （3）进行分类讨论，分别分析随机变量的分布与期望即可得出结论. 【解析】（1）设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． （2）的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． （3）． 每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为. 两轮都选甲： 的可能取值为 . 两轮都选乙： 的可能取值为 故. 先甲后乙： 由（2）可知，， 先乙后甲： 同理可得， 故， 所以. 13.近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）． (1)求前3局中，不“调试”的概率； (2)求； (3)若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)（）； (3)分布列见解析， 【分析】（1）由第1局和第2局均要获胜，结合独立事件概率乘法公式即可求解； （2）由题意得到，构造等比数列，进而可求解； （3）确定的可能取值，求得相应概率，即可求解. 【解析】（1）记为前3局中，不“调试”， 开始比赛由和对弈， 第1局和第2局均要获胜，； （2）若第局进行“调试”，则第局负， （），， ，又， （）； （3）记：“”为“比赛”，“”为“调试”， ，，， 分布列如下： 0 1 2 ． 题型三：二项分布的综合应用 14．新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，0.6 【分析】（1）根据古典概型公式进行计算； （2）根据二项分布的概率公式求出对应的概率，进而列出分布列，求出期望. 【解析】（1）记抽到的2张券为类券和类券为事件， 则事件包含第一次抽到类券且第二次抽到类券和第一次抽到券且第二次抽到券． 则． （2）有放回的抽取时，抽到类券的概率，抽不到类券的概率， 随机变量表示3次抽取中抽到类券的张数，则，可能的取值为0，1，2，3． ∴， 则的分布列为     0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 ∴． 15.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）最终所在的位置的坐标为1为事件，则3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，再根据乘法公式计算概率即可； （2）根据题意，可取，再分别计算对应概率，得到分布列并计算期望即可； （3）设在移动次中，向右移动的次数为，则向左移动次，，结合，，即可求解． 【解析】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件， 由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动， ； （2）根据题意，可取， ，， 又， ， ， ∴分布列为 4 2 0 ∴； （3）设在移动次中，向右移动的次数为， 则，， 向右移动的次数为，则向左移动次， 质点最终所在位置的坐标为， ， 即随机变量的数学期望为． 16.不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【解析】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 17.甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 18.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，，；(2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高；；若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【解析】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 题型四：超几何分布的综合应用 19.某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)，；(2)；(3)分布列见解析， 【分析】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解析】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 20.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.            专业 性别 中文 英语 数学 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）. （1）求，的值； （2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； （3）设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】（1），；（2）；（3）分布列见解析，均值为，方差为. 【分析】（1）根据古典概型公式即可求得m，n； （2）分为有中文专业和没有中文专业两类，进而根据古典概型公式求得答案； （3）根据超几何分布概率公式求出概率，进而列出分布列，再根据期望和方差公式求得答案. 【解析】（1）设事件为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”. 由题意，可知数学专业的同学共有名，则，解得. 因为，所以. （2）设事件为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则. （3）由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，的可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 方差. 21.2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9; (2); (3) 【分析】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【解析】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 22.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析，； (2) 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【解析】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人. 服从超几何分布，， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是. 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 另：或 又，故，下同法一 23.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望；；(3) 【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【解析】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 24.口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】(1)两种游戏中第二次摸到白球的概率均为；(2)；(3)，游戏一的“不确定性”更高. 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求游戏一中第二次摸到白球的概率，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求游戏二中第二次摸到白球的概率； （2）根据已知分别写出、的可能值，进而求出其分布列，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求； （3）根据已知求出与，作差比较大小，即可得结论. 【解析】（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则； 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则； （2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ； （3）由（2）知， ； 同理 . 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高. 题型五：正态分布的综合应用 25．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【解析】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 26.为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析， 【解析】（1）分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. （2）由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. （3）的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 27.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.8186； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【解析】（1），其中，故， ， 由题设，得，， ； （2）①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 28．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；②； (2)28 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【解析】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 题型六：泊松分布的应用 29．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得.. 【解析】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，则， 于是, ,， 所以次品率小于的概率约为. 故选：C 30.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（  ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得. 【解析】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 31.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】100个元件，次品率不超过，即次品数为0或1，根据题干公式，求即可. 【解析】由题意知，则，所以. 因为， 所以次品率不超过的概率约为. 故选：B 32.泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)4或5； (3) 【分析】（1）根据泊松分布，计算，由概率公式计算，，再相加即可； （2）计算，比值与1比较，确定概率单调性，利用的最大值是即可得到的值； （3）利用泊松分布的概率公式，计算，，，相加再与0.99比较即可. 【解析】（1）根据题意比较大，而大小适中， 所以满足近似泊松分布， 则，， ， 在1000个产品中至多有1个次品的概率为. （2），， 则，又为正整数， 所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增， 的最大值是， 或， 综上，或. （3），则， ， ， 所以， 即. 33.泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率； （2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可； （ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得. 【解析】（1）由得， 且，解得. 故. （2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 于是 . 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 34.某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 【答案】(1)0.006；(2)①；②或 【分析】（1）条件概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法，可得答案； （2）①由题目中的概率公式，结合互斥事件的概率加法，可得答案；②利用比值判别法，可得概率计算的单调性，可得答案. 【解析】（1）记：事件“患流感”，事件“未患流感”，， 事件“接种疫苗”，事件“未接种疫苗”，则， 由已知可得：， ， , 所以， 即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为． （2）①由已知：当且时，二项分布近似于泊松分布， 设1000人中患流感的人数为Y人，则， ，，， . ②由题意得：， 所以，， 当时，随i的增大而增大， 当时，随i的增大而减小， 当时，， 所以，或时，最大． 题型七：指数分布的应用 35．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1)0.8186； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，利用正态分布曲线的性质，求得，结合则，即可求解； （2）①根据题意，分别求得和，即可得到答案； ②由①得，得到元件正常工作的概率均为，结合独立事件的概率乘法和对立事件的概率计算方法，即可求解. 【解析】（1）解：由电源电压服从正态分布，且的累积分布函数为， 可得， 则. （2）解：①由题意，可得 ， ， 所以. ②由①得， 所以接下来1小时内元件正常工作的概率均为， 为使接下来1小时内系统仍正常工作，元件必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 36.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． (2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正态分布原则，计算结果即可. （2）①根据条件概率和所给分段函数，求出条件概率，证明等式成立；②根据上述等式，求出第元件正常工作的概率，根据独立事件概率公式，写出事件概率，求出结果即可. 【解析】（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，可知， 则， 则, （2）①由题意知， 因为，所以， 等式右边， 所以成立. ②由①可得， 所以第天元件正常工作的概率均为， 当第天系统正常运行时，元件至少有一个在正常工作，其对立事件第天系统不正常运行时，元件都不正常工作. 则第天系统正常运行概率为. 37.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：； 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． 【答案】(1)0.8186；(2)证明见解析 【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解； （2）根据条件概率的计算公式结合的定义以及的定义域即可求解. 【解析】（1）由题设得， 所以 . （2）由题设得： ， 所以． 38.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.8186； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）由条件概率得到，证明出结论； （3）由（2）得，利用对立事件求概率即可. 【解析】（1），其中，故， ， 由题设，得， （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 题型八：概率分布与其他章节融合 39．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1)； (2)分布列见解析；期望为； (3) 【分析】（1）根据频率和为1求解可得，再根据平均值的求法求解即可； （2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望； （3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可. 【解析】（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. 40.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【解析】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值. （1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 . . . （2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 41.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)74分；(2)72分； (3)分布列见解析， 【分析】（1）将每个矩形底边中点值与各矩形面积相乘，再将所得数据相加即可得出结果； （2）根据频率分布直方图估计数据的第40百分位数即可； （3）利用分层抽样原理，求得、两区间内分别抽取了多少份，再结合超几何分布即可求解． 【解析】（1）由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． （2）成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （3）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：． 42.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64； (2)1587； (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 43.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】(1)11.5；(2)平均值为9，方差为；(3)，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数； （2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果； （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值； 【解析】（1）由频率分布直方图得： ，解得 频率分布直方图中，第一个小长方形面积为 第二个小长方形面积为 第三、四个小长方形面积为 第五个小长方形面积为 第六个小长方形面积为 前六个长方形面积和为0.8， 所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内， 设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得 （2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 设这一组的平均值，方差 所以总体方差是，解得 （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知内的概率是， 由 得 解得 所以当最大时， 44.某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）;（ii）能完成 【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得； （2）（i）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得； （ii）利用全概率公式求得 ， ，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有 . 【解析】（1）随机变量 表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， ∴，，，； （2）（i）由于 取离散整数值，分析条件 ， 故：， 概率总和为 1：，代入得， 解得； （ii）事件：一个家庭单月节省电量总和至少为 4 度，即总节省电量 . 总节省电量 ，其中 独立同分布于 ， 与 独立. 由（1）知，故 的分布为：，，，， 计算 ： 若，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若，则，需. 计算 ： ：，概率 ： 或 ，概率 ， 故，所以 ， 若，则，需. 计算 ： 仅当所有 ，概率 ， 故， 则： . 设函数 ， . 求导得， 令，则，为开口向下的抛物线， ∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵当 ，， 当 ，， ∴在 内 恒成立， 因此，对任意，有 ，即政府目标总能完成. 45.泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解. （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解. 【解析】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因， 故. （2）设为配送延迟包裹数，则，， 因为，， ， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . （3）由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设， 由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率分布综合应用（含泊松分布、指数分布）8种难点常考题型 题型一：二项分布的最大概率问题 题型二：比赛背景下的概率分布问题 题型三：二项分布的综合应用 题型四：超几何分布的综合应用 题型五：正态分布的综合应用 题型六：泊松分布的应用 题型七：指数分布的应用 题型八：概率分布与其他章节融合 题型一：二项分布的最大概率问题 1．2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 2.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 3.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 4.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；②连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 5.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 6.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 7.为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 8.随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 题型二：比赛背景下的概率分布问题 9．“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 10.为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲､乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局． (1)当时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为，证明：当时，． 11.为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 12.某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 13.近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）． (1)求前3局中，不“调试”的概率； (2)求； (3)若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 题型三：二项分布的综合应用 14．新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 15.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为． (1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率； (2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望． 16.不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 17.甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 18.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 题型四：超几何分布的综合应用 19.某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 20.某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.            专业 性别 中文 英语 数学 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）. （1）求，的值； （2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； （3）设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 21.2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 22.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 23.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 24.口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 题型五：正态分布的综合应用 25．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 26.为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 27.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 28．近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 题型六：泊松分布的应用 29．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（  ） A． B． C． D． 30.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（  ）（参考数据：） A． B． C． D． 31.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过的概率约为（参考数据:）（  ） A． B． C． D． 32.泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 33.泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 34.某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 题型七：指数分布的应用 35．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则. 36.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． (2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，． 37.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：； 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． 38.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 题型八：概率分布与其他章节融合 39．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 40.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 41.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 42.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 43.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 44.某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 45.泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $