专题05 整式的乘除24种题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题05 整式的乘除（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法及其逆运算 题型02 幂的乘方及其逆运算 题型03 积的乘方及其逆运算 题型04 同底数幂的除法及其逆运算 题型05 零指数幂与整数指数幂 题型06 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型07 与幂有关的混合运算 题型08 整式乘法的计算 题型09 整式乘法与化简求值 题型10 由整式的乘法求字母的值 题型11 整式乘法与看错问题 题型12 整式乘法与不含某项问题 题型13 整式乘法与新定义问题 题型14 利用平方差公式计算 题型15 利用完全平方公式计算 题型16 整式乘法公式的简便计算 题型17 乘法公式表示的几何意义 题型18 求完全平方公式的字母系数 题型19 利用乘法公式变形求值 题型20 整式乘法的实际应用 题型21 整式乘法与看错问题 题型22 整式的四则混合运算 题型23 多项式乘法的规律性问题 题型24 整式乘法与几何图形的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的四种运算 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则，能正用、逆用，区分易混运算. 期中选择、填空必考，常以混合运算考查，易混淆法则，是计算基础，分值占比高. 零指数与负指数 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，会计算并注意底数不为 0 小题高频考点，选择题考查定义，填空题考查计算，属于基础易得分点. 单项式乘除 熟练进行单项式乘、除运算，注意系数、符号、同底数幂分别处理. 计算基础题，解答题第一步常考，侧重运算准确性，是整式乘除入门考点. 单项式乘多项式 会用分配律展开，注意符号与不漏项，规范书写步骤 基础计算题必考，常出现在化简题中，考查符号意识与步骤完整性. 多项式乘多项式 掌握逐项相乘再合并同类项，能正确展开并化简. 核心计算考点，解答题必考，是乘法公式的基础，易漏项、符号易错 平方差公式 掌握公式结构特征，能正用、逆用、变形用于简便运算. 期中高频核心考点，选择、填空、解答全覆盖，常考化简求值与简便计算. 完全平方公式 掌握公式结构，会变形应用与配方，理解几何意义. 期中最重要考点，各类题型均会出现，易漏中间项，常与代数求值结合. 多项式除以单项式 会用分配律逐项相除，注意符号、指数与合并结果. 解答题必考，常与化简求值综合，考查计算细心程度，属于基础必拿分. 整式乘除混合运算 按运算顺序计算，综合运用法则与公式，规范书写.. 期中解答大题必考，综合所有知识，分值高，是计算能力核心考查点. 化简求值 先化简再代入求值，熟练运用公式与运算法则. 期中固定必考题型，综合公式与混合运算，强调先化简再计算的思路. 整式乘除的应用 解决面积、体积、规律探究等实际问题. 中档题、压轴题常见，结合图形或新定义考查，考查建模与公式灵活运用，体现数学应用意识. 知识点01 同底数幂的乘法 ◆1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02 幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03 积的乘方 ◆1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点04 单项式乘单项式 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 知识点05 单项式乘多项式 ◆1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同. 知识点06 多项式乘多项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 知识点07 乘法公式 ●平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． ●完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点08同底数幂的除法 ●同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． ●零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. ●整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． ●用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 知识点09 整式的除法 ●单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． ●多项式除以单项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 题型一 同底数幂的乘法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（底数不变，指数相加）逆用： 解题方法：①先统一底数，再套公式计算；②逆用常用于已知、求。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 【变式2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则______． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型二 幂的乘方及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（底数不变，指数相乘）逆用： 解题方法： ①区分“幂的乘方（指数相乘）”与“同底数幂乘法（指数相加）”；②遇不同底数先化为同底数再计算。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：________ 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则值为（    ） A．27 B．9 C． D．3 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则______；______． 题型三 积的乘法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（每项分别乘方，再相乘）逆用： 解题方法：①系数、字母都要乘方，注意符号；②指数相同时，逆用简化计算。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算：______． 题型四 同底数幂的除法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（，底数不变，指数相减）逆用： 解题方法：①底数互为相反数时，偶次不变、奇次变号；②混合运算先统一为同底数。 【典例1】计算x4÷（﹣x）的结果是（　　） A．﹣x3 B．﹣x4 C．x3 D．x4 【变式1】计算（﹣a2）3÷a4结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3 【变式2】若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（　　） A．m•n B． C． D．m﹣n 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 零指数幂与整数指数幂 解｜题｜技｜巧 公式：（）；（） 解题方法：①牢记“底数不为0”；②负指数=正指数取倒数，先算乘方再算乘除。 【典例1】下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小 关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 形式：（，为正整数） 解题方法：①数左边第一个非0数字前的0的个数，即为；②结果保留1位整数，符号与原数一致。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知纳米米，某种植物花粉的直径是纳米， 即 米，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知某花粉的直径约为米，用科学记数法表示这种花 粉直径是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长 仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型七 与幂有关的混合运算 解｜题｜技｜巧 ①运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减； ②合并同类项只合并系数，幂部分不变； ③符号、指数、系数三步核对。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 整式乘法的计算 解｜题｜技｜巧 ①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照写； ②单项式×多项式：分配律逐项乘，注意符号； ③多项式×多项式：逐项相乘，再合并同类项； ④解题方法：不跳步、不漏项、符号不搞错。 【典例1】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）化简 (1) (2) 【变式3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 题型九 整式乘法与化简求值 解｜题｜技｜巧 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值． 【变式3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)．其中． 题型十 由整式的乘法求字母的值 解｜题｜技｜巧 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 【典例1】若，则的值为（   ） A．1 B． C．2026 D．-2025 【变式1】若（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D． 【变式2】若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（m，n为整数），则 k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 题型十一 整式乘法与看错问题 解｜题｜技｜巧 ①按“看错条件”列错误算式并展开； ②对比正确与错误展开式，系数对应相等求参数； ③代入正确参数算出正确结果。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是___________． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式 中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【变式3】小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． (1)求出，的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 题型十二 整式乘法与不含某项问题 解｜题｜技｜巧 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数 为 0. 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．5 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为_____________． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 题型十三 整式乘法与新定义问题 解｜题｜技｜巧 ①严格按题目规则，把新定义转化为常规运算； ②结合幂运算、公式计算，注意顺序与符号。 【典例1】（22-23七年级下·浙江温州·期中）定义一种新运算：，则_____． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是______． ①；        ②；        ③ 【变式2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算：________． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 题型十四 利用平方差公式计算 解｜题｜技｜巧 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【典例1】在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）代数式化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，则 ． 题型十五 利用完全平方公式计算 解｜题｜技｜巧 公式特征：①积为二次三项式；②积中两项为两数的平方和；③另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；④公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列式子与相等的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，为完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 题型十六 整式乘法公式的简便计算 解｜题｜技｜巧 ①通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. ②运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【典例1】计算20242﹣2023×2025＝　 ． 【变式1】用乘法公式简便计算： （1） （2）124×122﹣1232 【变式2】用简便方法计算： （1）498×502； （2）20222﹣2023×2021． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3) ． 题型十七 乘法公式表示的几何意义 解｜题｜技｜巧 ①面积法验证：大图形面积=各部分面积和； ②平方差：大正方形−小正方形=长方形； ③完全平方：大正方形=小正方形+2长方形+小正方形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置 时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可 用表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 题型十八 求完全平方公式的字母系数 解｜题｜技｜巧 第一步：定型判断，分清是完全平方和还是完全平方差，找准公式里的首项、尾项； 第二步：拆分对应项，将题干式子与完全平方公式逐项对比，定位二次项、一次项、常数项； 第三步：套用中间项公式，抓住核心±2×首项系数平方根×尾项系数平方根，求出未知系数； 第四步：分类讨论，此类题目系数多数有正负两种情况，切勿漏解； 第五步：回代验证，将求出的系数代入原式，展开核对是否符合完全平方式。 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 【变式1】已知是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）代数式能写成一个整式的完全平方的形式，则 （　　） A．12 B． C．4 D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型十九 利用乘法公式变形求值 解｜题｜技｜巧 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 【典例1】已知，则的值为_______． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知． (1)求． (2)求． 题型二十 整式乘法的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用整式的乘法解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 【变式2】某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将剩余部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）某校园一角有长方形区域，内铺有一条小路（阴影部分），剩余部分作为草坪，尺寸如图所示（单位：m） （1）草坪面积共有多少平方米？（结果用含a，b的代数式表示，并进行化简） （2）当，时，求草坪面积． 题型二十一 整式的除法 解｜题｜技｜巧 ①单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照写； ②多项式÷单项式：分配律逐项相除，再合并； ③解题方法：符号、指数、系数逐项算准。 【典例1】一个多项式除以2x﹣1，所得商式是x2+1，余式是5x，则这个多项式是（　　） A．2x3﹣x2+7x﹣1 B．2x3﹣x2+2x﹣1 C．7x3﹣x2+7x﹣1 D．2x3+9x2﹣3x﹣1 【变式1】下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3】已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 题型二十二 整式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1)； (2) 题型二十三 多项式乘法的规律性问题 解｜题｜技｜巧 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1）______． （2）______． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列算式： ①；②；③；④_______； (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来： (3)你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 题型二十四 整式乘法与几何图形的综合题 解｜题｜技｜巧 ①识图：标注边长，分清整体、空白、目标图形 ②列式：面积优先用割补法（整体减空白 / 拆分求和） ③化简：套用乘法公式，合并同类项 ④求值/推导：先化简再代入；同面积列等式推公式 【典例1】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1_______________， 图2_______________ ， 图3_______________． (2)用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积， 写出这三个代数式之间的等量关系． (3)根据（2）中你探索发现的结论，计算： 当时， 求的值． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）完全平方公式：，适当的变形，可解决很多问题． (1)若，，则的值为_____； (2)若满足．求的值； (3)如图，正方形的边长为，点、分别在、上，且，，分别以、为边作正方形．若长方形的面积是18，求阴影部分的面积． 【变式3】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）小慧同学在学习了完全平方公式后，发现，这四个代数式之间是有联系的，不仅体现数学中的整体思想，如果赋予它们几何意义，还体现数形结合思想，于是他在研究后提出了以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．分别表示正方形，正方形的面积，若，求阴影部分的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）计算所得的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若的乘积中不含项，则常数m的值为（　　） A．5 B． C． D． 7．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算：的结果是______． 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 15．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 17．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 18．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 19．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． (3)利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 20．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法 ； 方法 ． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘除（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法及其逆运算 题型02 幂的乘方及其逆运算 题型03 积的乘方及其逆运算 题型04 同底数幂的除法及其逆运算 题型05 零指数幂与整数指数幂 题型06 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型07 与幂有关的混合运算 题型08 整式乘法的计算 题型09 整式乘法与化简求值 题型10 由整式的乘法求字母的值 题型11 整式乘法与看错问题 题型12 整式乘法与不含某项问题 题型13 整式乘法与新定义问题 题型14 利用平方差公式计算 题型15 利用完全平方公式计算 题型16 整式乘法公式的简便计算 题型17 乘法公式表示的几何意义 题型18 求完全平方公式的字母系数 题型19 利用乘法公式变形求值 题型20 整式乘法的实际应用 题型21 整式乘法与看错问题 题型22 整式的四则混合运算 题型23 多项式乘法的规律性问题 题型24 整式乘法与几何图形的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的四种运算 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则，能正用、逆用，区分易混运算. 期中选择、填空必考，常以混合运算考查，易混淆法则，是计算基础，分值占比高. 零指数与负指数 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，会计算并注意底数不为 0 小题高频考点，选择题考查定义，填空题考查计算，属于基础易得分点. 单项式乘除 熟练进行单项式乘、除运算，注意系数、符号、同底数幂分别处理. 计算基础题，解答题第一步常考，侧重运算准确性，是整式乘除入门考点. 单项式乘多项式 会用分配律展开，注意符号与不漏项，规范书写步骤 基础计算题必考，常出现在化简题中，考查符号意识与步骤完整性. 多项式乘多项式 掌握逐项相乘再合并同类项，能正确展开并化简. 核心计算考点，解答题必考，是乘法公式的基础，易漏项、符号易错 平方差公式 掌握公式结构特征，能正用、逆用、变形用于简便运算. 期中高频核心考点，选择、填空、解答全覆盖，常考化简求值与简便计算. 完全平方公式 掌握公式结构，会变形应用与配方，理解几何意义. 期中最重要考点，各类题型均会出现，易漏中间项，常与代数求值结合. 多项式除以单项式 会用分配律逐项相除，注意符号、指数与合并结果. 解答题必考，常与化简求值综合，考查计算细心程度，属于基础必拿分. 整式乘除混合运算 按运算顺序计算，综合运用法则与公式，规范书写.. 期中解答大题必考，综合所有知识，分值高，是计算能力核心考查点. 化简求值 先化简再代入求值，熟练运用公式与运算法则. 期中固定必考题型，综合公式与混合运算，强调先化简再计算的思路. 整式乘除的应用 解决面积、体积、规律探究等实际问题. 中档题、压轴题常见，结合图形或新定义考查，考查建模与公式灵活运用，体现数学应用意识. 知识点01 同底数幂的乘法 ◆1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点02 幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点03 积的乘方 ◆1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点04 单项式乘单项式 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 知识点05 单项式乘多项式 ◆1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同. 知识点06 多项式乘多项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ◆2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 知识点07 乘法公式 ●平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． ●完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点08同底数幂的除法 ●同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． ●零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. ●整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． ●用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 知识点09 整式的除法 ●单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． ●多项式除以单项式 ◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 题型一 同底数幂的乘法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（底数不变，指数相加）逆用： 解题方法：①先统一底数，再套公式计算；②逆用常用于已知、求。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 依据同底数幂相乘法则和合并同类项的方法，逐一判断各式的正确性即可． 【详解】解：∵，，，，与无法合并，， ∴只有符合题意， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂的乘法法则求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 幂的乘方及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（底数不变，指数相乘）逆用： 解题方法： ①区分“幂的乘方（指数相乘）”与“同底数幂乘法（指数相加）”；②遇不同底数先化为同底数再计算。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：________ 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方法则，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键． 幂的乘方法则为：底数不变，指数相乘．对于 ，需要运用该法则进行计算，将指数和相乘，从而得出结果． 【详解】． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）已知，则值为（    ） A．27 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆用，熟练掌握法则是解答本题的关键． 逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则把变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则______；______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算法则，关键是逆用同底数幂和幂的乘方的运算法则． 由，得，，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：4；20． 题型三 积的乘法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（每项分别乘方，再相乘）逆用： 解题方法：①系数、字母都要乘方，注意符号；②指数相同时，逆用简化计算。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算．根据积的乘方运算法则，将每个因数分别乘方，再将所得的幂相乘． 【详解】解：， 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，需正确应用幂的运算法则，包括系数和字母部分的分别乘方，以及符号处理．熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】解：A、中，系数未乘方，正确结果应为，故错误． B、的系数应立方为，正确结果应为，故错误． C、中，系数，字母部分平方为，平方为，结果为，正确． D、中，系数，字母平方为，正确结果应为，故错误． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型四 同底数幂的除法及其逆运算 解｜题｜技｜巧 公式：（，底数不变，指数相减）逆用： 解题方法：①底数互为相反数时，偶次不变、奇次变号；②混合运算先统一为同底数。 【典例1】计算x4÷（﹣x）的结果是（　　） A．﹣x3 B．﹣x4 C．x3 D．x4 【答案】A． 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：x4÷（﹣x） ＝﹣x4÷x ＝﹣x3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】计算（﹣a2）3÷a4结果是（　　） A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3 【答案】A． 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：（﹣a2）3÷a4 ＝﹣a6÷a4 ＝﹣a2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式2】若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（　　） A．m•n B． C． D．m﹣n 【答案】B． 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵a7＝m，a5＝n（a≠0）， ∴a7÷a5＝a2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型五 零指数幂与整数指数幂 解｜题｜技｜巧 公式：（）；（） 解题方法：①牢记“底数不为0”；②负指数=正指数取倒数，先算乘方再算乘除。 【典例1】下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，，那么a，b，c的大小 关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方的运算根据法则求出a、b、c,进而比较大小即可求解． 【详解】解：，，， 故， 故选：A ． 【变式2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 【变式3】计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 题型六 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 形式：（，为正整数） 解题方法：①数左边第一个非0数字前的0的个数，即为；②结果保留1位整数，符号与原数一致。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知纳米米，某种植物花粉的直径是纳米， 即 米，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，指数中n的值，等于原数小数点后第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0），据此来解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知某花粉的直径约为米，用科学记数法表示这种花 粉直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长 仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： 故选B． 题型七 与幂有关的混合运算 解｜题｜技｜巧 ①运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减； ②合并同类项只合并系数，幂部分不变； ③符号、指数、系数三步核对。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项及积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与的指数不同，不是同类项，无法直接相加合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘法，再算加法，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加法，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)a4 (2)2y8 (3)4a6 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案； （3）利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． (1)根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (3)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (4)根据积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 整式乘法的计算 解｜题｜技｜巧 ①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照写； ②单项式×多项式：分配律逐项乘，注意符号； ③多项式×多项式：逐项相乘，再合并同类项； ④解题方法：不跳步、不漏项、符号不搞错。 【典例1】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式运算法则． 根据单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算法则进行计算得出答案． 【详解】A．，选项正确，不符合题意； B．，选项错误，符合题意； C．，选项正确，不符合题意； D．，选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算单项式乘单项式，积的乘方，再合并即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，再合并即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）直接根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式的法则把括号展开，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法法则． （1）先算乘法，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2） 原式 题型九 整式乘法与化简求值 解｜题｜技｜巧 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】31 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，涉及完全平方公式和分配律的应用，以及合并同类项．其中正确展开平方项，正确处理减号后的运算符是解题的关键． 利用完全平方公式展开，利用分配律展开乘法项，将展开后的所有项合并进行化简，代入值并计算最终结果． 【详解】解：原式展开并化简得 = = 当时， = ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；． 【分析】本题考查了整式整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后把，时，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则展开，然后合并同类项，最后代值计算即可； （2）先推出，然后把，整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)．其中． 【答案】(1)，6 (2)，10 【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项，有理数运算，是解题的关键． （1）运用完全平方公式，单项式乘多项式展开，合并同类项化简，代入计算即得； （2）运用平方差公式，单项式乘多项式展开，合并同类项化简，代入计算即得． 【详解】（1）解：， 当时， 原式 （2）解：， 当时， 原式． 题型十 由整式的乘法求字母的值 解｜题｜技｜巧 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 【典例1】若，则的值为（   ） A．1 B． C．2026 D．-2025 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 将左边两个多项式相乘，合并同类项后与右边对比，确定一次项系数即可得到的值． 【详解】∵ ∴， 对比一次项系数可得． 故选：A． 【变式1】若（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，计算含x2项的系数之和，得到方程并求解，即得答案． 【详解】解：在（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算过程中含x2项有mx2和﹣6x2， 所以m﹣6＝﹣3， 解得m＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键． 【变式2】若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 【分析】根据多项式乘以多项式法则即可求出答案． 【详解】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n， ∴x2+（3+n）x+3n＝x2+mx+6， ∴3+n＝m，3n＝6， ∴n＝2，m＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查整式运算，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（m，n为整数），则 k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值． 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D． 题型十一 整式乘法与看错问题 解｜题｜技｜巧 ①按“看错条件”列错误算式并展开； ②对比正确与错误展开式，系数对应相等求参数； ③代入正确参数算出正确结果。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由题意得出，再根据多项式乘多项式的运算法则计算等式的左边，即可求出a、b的值． 【详解】解：由题意得，， ， ，， ， ， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是___________． 【答案】 【分析】先“将错就错”进行求解a、b的值，再将a、b值代入原式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ， ∴，解得：； ∴a、b的值分别为、3； ∴， ∴该题的正确答案是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式 中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据题意得出，然后通过多项式乘以多项式运算法则得，再进行对比得，再解方程组即可． （）把代入，再通过多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴，解得：； （2）解：由（）得：， ∴ ． 【变式3】小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． (1)求出，的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组； （1）由于小马抄错了的符号，进行运算可得，由小虎漏抄了第一个多项式中的系数，进行运算可得，即可求解； （2）将，的值代入，按多项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； 掌握多项式乘以多项式法则，能根据题意得到，是解题的关键． 【详解】（1）解： 由于小马抄错了的符号，得到的结果为： ； ①， 小虎漏抄了第一个多项式中的系数， 得到的结果为， ②， 由①②解得； 故，； （2）解：由（1）得 ； 故这道整式乘法题的正确结果为． 题型十二 整式乘法与不含某项问题 解｜题｜技｜巧 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数 为 0. 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据关于的多项式的结果中不含项，可得含项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式的结果中不含项， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为_____________． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【答案】(1) (2)；4 【分析】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，根据展开式中不含x2项得到关于m的方程，解方程即可； （2）将原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后将m的值代入计算即可． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项， ， 解得：； （2）原式 ； 当时， 原式． 题型十三 整式乘法与新定义问题 解｜题｜技｜巧 ①严格按题目规则，把新定义转化为常规运算； ②结合幂运算、公式计算，注意顺序与符号。 【典例1】（22-23七年级下·浙江温州·期中）定义一种新运算：，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是______． ①；        ②；        ③ 【答案】①③/③① 【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得． 【详解】解：，，则等式①成立； ， ，则等式②不成立； ， ，则等式③成立； 综上，等式成立的是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的乘法．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【答案】-，－20 【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案． 【详解】解： = = =- 当x=2，y=1时， 原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键． 题型十四 利用平方差公式计算 解｜题｜技｜巧 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【典例1】在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式判断即可． 【详解】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内所填的代数式是； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）代数式化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式3】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查 了平方差公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 因为，，所以，得到，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 题型十五 利用完全平方公式计算 解｜题｜技｜巧 公式特征：①积为二次三项式；②积中两项为两数的平方和；③另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；④公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列式子与相等的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式计算出的值即可得到答案． 【详解】解：， ∴与相等的是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的特点是解题的关键：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，为完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】解：因为符合完全平方公式的形式，所以A正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以B不正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以C不正确； 因为不符合完全平方公式的形式，所以D不正确． 故选：A． 【变式2】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算、完全平方公式等知识，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．根据多项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式分别进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴所有式子中，计算正确的只有算式④， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 题型十六 整式乘法公式的简便计算 解｜题｜技｜巧 ①通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. ②运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【典例1】计算20242﹣2023×2025＝　 ． 【答案】1． 【分析】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是平方差公式，将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解决此题的关键． 【变式1】用乘法公式简便计算： （1） （2）124×122﹣1232 【答案】(1)2499； (2)﹣1； 【分析】（1）将原式化为（50）（50），利用平方差公式进行计算即可； （2）先把124×122﹣1232化为（123+1）（123﹣1）﹣1232的形式，再用平方差公式计算； 【详解】解：（1）原式＝（50）（50） ＝2500 ＝2499； （2）124×122﹣1232 ＝（123+1）（123﹣1）﹣1232 ＝1232﹣1﹣1232 ＝﹣1； 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【变式2】用简便方法计算： （1）498×502； （2）20222﹣2023×2021． 【答案】(1)249996； (2)1． 【分析】（1）将原式化为（500﹣2）（500+2），再根据平方差公式进行计算即可； （2）将原式化为20222﹣（2022+1）（2022﹣1），根据平方差公式得出20222﹣20222+1即可． 【详解】解：（1）原式＝（500﹣2）（500+2） ＝5002﹣22 ＝250000﹣4 ＝249996； （2）原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1） ＝20222﹣20222+1 ＝1． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式计算，利用提取公因式法简化运算，逆用积的乘方，解题关键是掌握上述运算技巧进行计算． （1）利用平方差公式分解因式计算； （2）利用多次提取公因式法简化运算； （3）逆用积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 题型十七 乘法公式表示的几何意义 解｜题｜技｜巧 ①面积法验证：大图形面积=各部分面积和； ②平方差：大正方形−小正方形=长方形； ③完全平方：大正方形=小正方形+2长方形+小正方形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的推导方法是解答本题的关键． 用代数式分别表示图甲和图乙的面积，再根据两个图的面积相等的关系可得结论． 【详解】解：图甲的面积可以看作一个长方形， ∴面积为， 图乙可以看作两个正方形的面积差， 即， 两个图的面积相等， ， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个图形阴影部分面积相等即可得到结果． 【详解】解：图①的阴影部分的面积为：， 图②的阴影部分的面积为：， ∵阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置 时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可 用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，由题意得、，则可求出，再根据图1中阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个三角形面积列式求解即可． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积， 故选：C． 题型十八 求完全平方公式的字母系数 解｜题｜技｜巧 第一步：定型判断，分清是完全平方和还是完全平方差，找准公式里的首项、尾项； 第二步：拆分对应项，将题干式子与完全平方公式逐项对比，定位二次项、一次项、常数项； 第三步：套用中间项公式，抓住核心±2×首项系数平方根×尾项系数平方根，求出未知系数； 第四步：分类讨论，此类题目系数多数有正负两种情况，切勿漏解； 第五步：回代验证，将求出的系数代入原式，展开核对是否符合完全平方式。 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，将多项式与标准形式对比，确定中间项的系数关系，进而求解参数k的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方公式的展开式． ∴， ∴时，解得． 时，解得． 则k的值为或8， 故选：B． 【变式1】已知是完全平方式，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）代数式能写成一个整式的完全平方的形式，则 （　　） A．12 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的完全平方式的含义，熟记两个完全平方式的特点是解本题的关键．由两个完全平方式的特点可得答案． 【详解】解：∵代数式能写成一个整式的完全平方的形式， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的形式是解题的关键．根据完全平方式的结构：，找出公式中的和即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴公式中的，分别为，， ∴， ∴， 故选：C． 题型十九 利用乘法公式变形求值 解｜题｜技｜巧 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 【典例1】已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式． 将化为，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知． (1)求． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确利用完全平方公式求出是解题关键． （1）将变形为，再整体代入计算即可； （2）将原式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 题型二十 整式乘法的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用整式的乘法解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 【答案】32 【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答． 【详解】解：设正方形和的边长为、， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴， 故答案为32． 【变式2】某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将剩余部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算中的化简求值，根据题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积等于长方形面积减去4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：绿化的面积是： ． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米）， （元）， 答：完成绿化共需要元． 【变式3】（23-24七年级下·浙江·期中）某校园一角有长方形区域，内铺有一条小路（阴影部分），剩余部分作为草坪，尺寸如图所示（单位：m） （1）草坪面积共有多少平方米？（结果用含a，b的代数式表示，并进行化简） （2）当，时，求草坪面积． 【答案】（1）；（2）草坪面积为28平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去阴影面积即可求得草坪面积，阴影面积可以分为三个长方形的面积相加，这三个长方形的面积分别为，然后利用整式乘法运算法则化简即可； （2）将，带入（1）中化简结果计算即可． 【详解】（1）S草坪=S长方形S阴影 ； 故草坪面积共有平方米； （2）将，代入， 原式（平方米） 故草坪面积为28平方米． 【点睛】本题考查整式乘法运算，解题关键是根据题意正确列出面积的代数式，并运用整式乘法计算法则正确化简． 题型二十一 整式的除法 解｜题｜技｜巧 ①单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独字母照写； ②多项式÷单项式：分配律逐项相除，再合并； ③解题方法：符号、指数、系数逐项算准。 【典例1】一个多项式除以2x﹣1，所得商式是x2+1，余式是5x，则这个多项式是（　　） A．2x3﹣x2+7x﹣1 B．2x3﹣x2+2x﹣1 C．7x3﹣x2+7x﹣1 D．2x3+9x2﹣3x﹣1 【分析】设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【详解】解：设多项式为A， ∴A÷（2x﹣1）＝（x2+1）…5x， ∴A＝（x2+1）（2x﹣1）+5x ＝2x3﹣x2+2x﹣1+5x ＝2x3﹣x2+7x﹣1 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，属于基础题型． 【变式1】下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；③9x8y2÷3x3y＝3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2+4m+2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据单项式除法法则：系数相除作系数，相同字母根据同底数幂除法运算，多项式除以单项的除法法则：用每一个单项式除以单项式求解即可得到答案． 【详解】解：对于A，，故①错误，不符合题意； 对于B，16a6b4c÷8a3b2＝2a3b2c，故②错误，不符合题意； 对于C，9x8y2÷3x3y＝3x5y，故③正确，符合题意； 对于D，（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）＝12m3÷（﹣2m）+8m2÷（﹣2m）+（﹣4m）÷（﹣2m）＝﹣6m2﹣4m+2，故④错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，解决本题的关键是运用整式的计算法则计算． 【变式2】已知（xn+a+xn+b）÷xn+1＝x2+x3，其中n是正整数，那么a+b的值是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据题意，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．求出a﹣1＝2，b﹣1＝3，解出a、b，再求和即可． 【详解】解：（xn+a+xn+b）÷xn+1 ＝xn+a÷xn+1+xn+b÷xn+1 ＝xa﹣1+xb﹣1， 即xa﹣1+xb﹣1＝x2+x3， 所以a﹣1＝2，b﹣1＝3， 所以a＝3，b＝4， 所以a+b＝7． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 【变式3】已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【分析】（1）根据整式混合运算的顺序和法则进行化简即可； （2）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （3）根据题意列出式子进行计算即可． 【详解】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2， ＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2， ＝﹣x2y2﹣xy， （2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2． 由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， ∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣xy． （3）由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， 由（2）知B＝﹣xy． ∴A÷B＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy）＝xy+1． 故A÷B的正确结果xy+1． 【点睛】本题考查整式的除法和多项式乘多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型二十二 整式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算；掌握运算法则及平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先进行单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先利用平方差公式、完全平方公式运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，平方差公式，多项式乘以多项式： （1）根据多项式除以单项式法则计算，即可求解； （2）先根据平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后，再合并同类项即可得到答案； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十三 多项式乘法的规律性问题 解｜题｜技｜巧 运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1）______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． （1）根据代数式的规律即可得； （2）根据代数式的规律得，进行化简即可得出答案． 【详解】（1）解：观察代数式可得， 故答案为：； （2）解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 【答案】五 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解：，（其中m，n，p，q为常数）， ∴除以7的余数为1， ∵今天是星期四，再过7天还是星期四， ∴再过天是星期五． 故答案为：五． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）观察下列算式： ①；②；③；④_______； (1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来： (3)你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)一定成立．理由见解析 【分析】此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键． （1）按照前3个算式的规律写出即可； （2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可； （3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与-1比较即可． 【详解】（1）∵①， ②， ③， ∴第4个算式为：④； 故答案为：； （2）第n个式子是：； （3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可； （）根据已知等式写出猜想即可； （3）根据规律进行解答即可； （4）根据（2）的结论求出，进而即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式，根据已知等式找到规律是解题的关键 【详解】（1）解：第5个等式为： 故答案为： （2）猜想 故答案为： （3）当，时， 即 ∴ 即当，时，的值为． （4）∵， ∴ 题型二十四 整式乘法与几何图形的综合题 解｜题｜技｜巧 ①识图：标注边长，分清整体、空白、目标图形 ②列式：面积优先用割补法（整体减空白 / 拆分求和） ③化简：套用乘法公式，合并同类项 ④求值/推导：先化简再代入；同面积列等式推公式 【典例1】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1_______________， 图2_______________ ， 图3_______________． (2)用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积， 写出这三个代数式之间的等量关系． (3)根据（2）中你探索发现的结论，计算： 当时， 求的值． 【答案】(1)a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，（a+b）（a-b）=a2-b2 (2)（a-b）2=（a+b）2-4ab (3)7 【分析】（1）观察图形，根据阴影部分的面积不变得结论； （2）通过计算阴影部分的面积，可发现关系； （3）把已知代入（2）的结论，先求出（a-b）2，可得a-b． 【详解】（1）解：图一、阴影部分的面积：a2+2ab+b2=（a+b）2； 图2、阴影部分的面积：a2-2ab+b2=（a-b）2； 图3、阴影部分的面积：（a+b）（a-b）=a2-b2． （2）∵S阴=（a-b）2=a2-2ab+b2， S阴=（a+b）2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2， ∴（a-b）2=（a+b）2-4ab． （3）∵a+b=5，ab=-6， ∴（a-b）2=（a+b）2-4ab =52-4×（-6） =25+24 =49． 又∵a-b＞0， ∴a-b=7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，看懂和理解题图是解决本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）完全平方公式：，适当的变形，可解决很多问题． (1)若，，则的值为_____； (2)若满足．求的值； (3)如图，正方形的边长为，点、分别在、上，且，，分别以、为边作正方形．若长方形的面积是18，求阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，再代入计算即可． （2）设，，可得，结合，再利用完全平方公式的变形计算即可； （3）由题意得：，，则长方形的面积，设，，则，，再进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， . （2）解：设，， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：，， 则长方形的面积， ， 设，， 则，， ， 由得，， . 【变式3】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）小慧同学在学习了完全平方公式后，发现，这四个代数式之间是有联系的，不仅体现数学中的整体思想，如果赋予它们几何意义，还体现数形结合思想，于是他在研究后提出了以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．分别表示正方形，正方形的面积，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解代数式的值，以及完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）由完全平方公式变形得到，再代入计算求值即可； （2）由完全平方公式变形得到，再根据求解即可； （3）设，，由题意可得，，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：， ， ， ， （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘等基本法则的应用。需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：， 合并同类项时，系数相加，字母部分不变。，但结果错误地写为，故A错误； 选项B：， 只有同类项（同底数且同指数）才能合并，而与指数不同，无法合并为，故B错误； 选项C：， 根据幂的乘方法则，，故，C正确； 选项D：， 系数相乘为，字母部分，结果应为，但D写为，故D错误． 故选C． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由长方形的面积公式可得，． 故选：． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）计算所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【分析】A：应用平方差公式，应为，但选项结果为，错误； B： 可变形为，应用平方差公式得，但选项结果为，错误； C：应用完全平方公式，展开为，与选项结果一致，正确； D：正确展开为，但选项缺少，错误； 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求了代数式的值，多项式乘以多项式，合并同类项，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若的乘积中不含项，则常数m的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵积中不含项， ∴， 解得：． 故选：C 7．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，分别表示出，根据，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算：的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．根据题意，原式变形得，由积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【详解】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算以及因式分解： （1）直接利用平方差公式解答即可求解； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可求解； （3）利用多项式除以单项式法则计算即可求解； （4）先利用平方差公式因式分解，再计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据平凡差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 【答案】(1)需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张 (2)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）由型卡片的面积为，可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张； （2） 型卡片的面积为， ， ， ， ， 又阴影部分的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 又， ， ，． 17．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）等积法列出等式即可； （2）①利用（1）中的等式，进行求解即可； ②算式乘以前面乘以，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为； 故选B． （2）①由（1）可知：， ∵， ∴； ② ‘’ ． 18．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）先利用完全平方公式变形求得，再利用平方差公式求得，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 19．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． (3)利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． （）由小长方形的边长即可得到答案； （）由图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （）由（）可知，则有，然后把，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：图中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴， 故答案为：； （3）解：由（）知， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法 ； 方法 ． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①2.5，15；②21 【分析】（1）方法1：根据“阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积”即可得出答案； 方法2：根据“阴影部分的面积边长为的正方形边长为，的长方形”即可得出答案； （2）由（1）计算的结果即可得出，，之间的等量关系； （3）①由（2）的结果得，则，将，代入计算即可得出的值；根据，得，由此可得的值； ②设，，则，，进而由得，根据得，继而得，然后根据即可得出答案． 此题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 【详解】（1）解：方法阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积， 阴影部分部分的面积为：； 方法阴影部分的面积边长为的正方形的面积边长为，的长方形的面积， 阴影部分的面积为：； 故答案为：；； （2）由（1）可知：； （3）①由（2）可知：； ， ，， ， ； ，， ， ； ②设，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $