专题01 相交线与平行线全章23种题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题01 相交线与平行线 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角及其性质 题型02 邻补角及其性质 题型03 垂直的定义 题型04 垂线的画法及其性质 题型05 垂线最短的实际应用 题型06 点到直线的距离 题型07 相交线的综合题 题型08 同位角、内错角、同旁内角 题型09 平行线及其画法 题型10 平行线基本事实 题型11 平行线判定的条件 题型12 平行线判定的证明 题型13 平行线的性质求角 题型14 平行线的性质在实际生活中的应用 题型15 平行线的性质在实际生活中的应用 题型16 通过阅读推理过程填空 题型17 平行线性质与判定的综合 题型18 生活中的平移 题型19 图形的平移 题型20 利用平移的性质计算 题型21平移作图 题型22平移的实际应用 题型23 相交线与平行线的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 能准确识别对顶角和邻补角，熟练运用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算与简单推理. 期中选择、填空必考，多与垂直、相交线综合考查，属于基础送分题，侧重概念辨析与角度计算。 垂直与垂线性质 理解垂直的定义，掌握垂线的两条基本性质，会用符号表示垂直关系，能进行简单角度计算与作图. 选择题常考性质理解与概念判断，填空题考查角度计算，简答题考查作图与说理，是几何基础必考点。 垂线段最短与距离 理解垂线段最短的原理，掌握点到直线的距离的定义，能区分线段与距离，会解决实际最短路径问题. 常结合生活情境（修路、引水、最短距离）考查，易与 “两点之间线段最短” 混淆，选择、填空、应用题均有出现。 三线八角 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，明确位置特征，为平行线判定与性质打基础. 平行线模块的前提考点，期中必考，多以选择、填空形式考查图形识别，难度低但必须熟练。 平行线基本事实 理解平行线定义，掌握平行公理及推论，明确 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”. 以判断题、选择题形式考查，侧重语言严谨性与概念理解，属于基础概念题。 平行线的判定 掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三种判定方法，能规范书写推理步骤判定两直线平行. 几何核心考点，填空、解答、说理题均会考查，是几何推理的关键步骤，期中解答题必考。 平行线的性质 掌握两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，能熟练求角度并进行简单推理. 期中几何最高频考点，选择、填空、解答全覆盖，常与对顶角、邻补角、垂直综合考查，分值占比高。 平行线综合应用 能区分判定与性质，解决折叠求角、实际应用、推理填空等综合题，规范书写说理过程. 中档题、压轴题常见，折叠求角为经典模型，说理填空是必考题型，重点考查逻辑推理与书写规范。 知识点01 直线的相交 ●相交线的定义 （1）如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点. （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类. ●对顶角和邻补角概念和性质 ★1、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ★2、对顶角的性质：对顶角相等． 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. ★3、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图中∠1 和∠2，∠1 和∠3 都互为邻补角. ★4、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况. ●垂线的概念、画法及其性质 ★1、垂线的概念： 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ★2、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ★3、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ★4、垂线的性质 ：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ●垂线段与点到直线的距离 ★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ★2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ★3、点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 知识点02 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ★4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 知识点03 平行线 ●平行线的定义 ★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． ●平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. ●平行线基本事实 ★1、平行线基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★2、平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 知识点04 平行线的判定 ★1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ★3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 知识点05 平行线的性质 ★1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、平行线的判定与性质 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 知识点06平移 ●平移的概念 ◆1、平移的定义：一个图形沿着某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. ●平移的性质 ①平移不改变图形的形状和大小． ②一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． ●平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 题型一 对顶角及其性质 解｜题｜技｜巧 1. 先找公共顶点，再看两边是否互为反向延长线，快速锁定对顶角。 2.直接用对顶角相等列等式计算角度。 3.结合邻补角、垂直，先求已知角再推导对顶角。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．根据对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是对顶角； B、与不是对顶角； C、与是对顶角； D、与不是对顶角； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，直线，相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角相等，理解图示，掌握对顶角相等是关键． 根据对顶角相等得到，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：C ． 【变式2】泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】B． 【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断． 【详解】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等． 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知直线与交于点，，，则___________． 【答案】98 【分析】本题考查了对顶角相等，几何中角度的计算，理解图示，掌握几何中角度的计算是关键． 根据对顶角相等，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：98 ． 题型二 邻补角及其性质 解｜题｜技｜巧 1. 识别：有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为 180°。 2.计算：用 ∠1+∠2=180°，知一求一。 3. 区分：邻补角是相邻且互补，补角只要求和为 180°。 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据邻补角的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角， 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义．解题的关键在于熟练掌握两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【变式1】如图，图中邻补角有几对（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【答案】D． 【分析】根据邻补角的概念判断即可． 【详解】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对， 故选：D． 【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．55° C．125° D．135° 【答案】D． 【分析】根据邻补角互补可得∠2＝135°． 【详解】解：∵∠1＝45°，∠2与∠1是邻补角， ∴∠2＝180°﹣45°＝135°． 故选：D． 【点睛】此题考查了邻补角，解题的关键是掌握邻补角互补，即和为180°． 【变式3】如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，则∠BOE等于（　　） A．65° B．60° C．50° D．45° 【答案】A． 【分析】根据邻补角求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠BOE的度数． 【详解】解：∠BOC＝180°﹣50°＝130°， ∠BOE＝130°÷2＝65°， 故选：A． 【点睛】本题考查了邻补角和角平分线，解题的关键是根据互为补角的两个角和为180度，先求出∠BOC的度数． 题型三 垂直的定义 解｜题｜技｜巧 1.判定：夹角为90°→两直线垂直；两直线垂直→夹角为 90°。 2.符号：看到“⊥” 直接写 90°，看到 90° 直接标⊥。 3.计算：利用直角拆分、对顶角、邻补角求角。 【典例1】如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（　　） A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③ 【答案】B． 【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∠AOD＝90°，可以得出AB⊥CD； ②∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°，可以得出AB⊥CD； ③∠AOC＝∠BOD，不能得到AB⊥CD； 故能说明AB⊥CD的有①②． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°． 【变式1】在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（　　） ①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D． 【分析】根据垂线的定义，可得答案． 【详解】解：①两直线相交所成的四个角都是直角； ②两条直线相交，对顶角互补； ③两直线相交所成的四个角都相等. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角，熟练掌握了垂线，余角和补角，对顶角、邻补角的定义进行求解是解决本题的关键． 【变式2】如图，AO⊥OB，若∠AOC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C． 【分析】根据OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠BOC的度数． 【详解】解：∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°． 又∵∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝40°． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，余角的知识．要注意领会由垂直得直角这一要点． 【变式3】如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（　　） A．∠2=∠3=50° B．∠2=∠3=40° C．∠2=40°，∠3=50° D．∠2=50°，3=40° 【答案】C． 【分析】直接利用垂直定义以及结合互余的定义得出答案． 【详解】解：如图所示：∵∠1=40°，OE⊥a， ∴∠3=90°－∠1=90°－40°=50°， 又∵OF⊥b， ∴∠2=90°－∠3=90°－50°=40°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及互余的定义，正确的把握相关定义是解题关键． 题型四 垂线的画法及其性质 解｜题｜技｜巧 1.画法：一落、二移、三画，直角边对齐、过定点、画直线。 2. 性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.作图：标垂足、写垂直符号，步骤规范不省略。 【典例1】已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A。 【分析】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：∵在同一平面时，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线， ∴过点P画直线l的垂线，画1条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查垂线，掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 【变式1】下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式2】过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 【变式3】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型五 垂线最短的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 核心：直线外一点到直线，垂线段最短。 2.应用：修路、引水、最短路径，一律作垂线段。 3.区分：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的应用，解题的关键是理解垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．据此解答即可． 【详解】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段的长度． 故选：A． 【变式1】数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段____，理由是___． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据“垂线段最短”进行解答即可，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键． 【详解】解：如图，直线表示一段河道，现要从河道向村庄引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式3】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点， 则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是______．    【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 题型六 点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 1.定义：点到直线垂线段的长度（是数值，不是线段）。 2.找法：过点作垂线，垂足间线段长度即距离。 3.易错：距离是长度，必须带单位；垂线段是图形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为 米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C） 的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【答案】C 【分析】题目主要考查点到直线的距离，结合图形求解即可 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度取值范围为：， 符合题意的只有选项C， 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，，点到直线的距离是以下哪条 线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是过这个点向直线作垂线所得的垂线段的长度是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是点到直线的距离， 故选：A． 【变式3】如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 题型七 相交线的综合题 解｜题｜技｜巧 1.步骤：先标对顶角、邻补角、直角→列等式→代入计算。 2.方法：把复杂角拆成已知角 + 直角 / 对顶角。 3.书写：每一步注明依据（对顶角相等、垂直定义等）。 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键． （1）根据垂直定义，得到即可求解； （2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可； 【详解】（1）解：． 理由如下：因为，所以， 所以． 又因为，所以， 即，所以； （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】如图，直线和相交于点，射线，在内部， 与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，解答即可； （2）设，则，，列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，互余，角的倍数，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 题型八 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 1. 同位角：F 型，同侧同旁。 2.内错角：Z 型，之间两旁。 3.同旁内角：U 型，之间同旁。 4.技巧：先找截线，再辨被截线，按位置特征快速匹配。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角等知识．同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：根据题意知，选项ACD中，与有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； 选项B中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，与是一对（    ） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：由图可知，与是一对同旁内角， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列所示的四个图形中，与属于同位角的有（     ） A．①②④ B．①④ C．④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：①②④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一旁，是同位角； ③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故与属于同位角的有①②④； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列说法中正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的知识，解答本题的关键是熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各个选项判断即可． 【详解】解：A. 与是同旁内角，选项说法正确符合题意； B. 与是同旁内角，选项说法错误不符合题意； C. 与是同旁内角，选项说法错误不符合题意； D. 与不是内错角，选项说法错误不符合题意； 故选：A． 题型九 平行线及其画法 解｜题｜技｜巧 1.画法：一落、二靠、三移、四画，直尺靠紧三角尺平移。 2.前提：过直线外一点才能画平行线，直线上一点不行。 3.表示：用 **∥** 符号，规范书写。 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）下列说法中，错误的个数是（    ） ①两条不相交的直线叫作平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④如果两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的定义，平行线公理，垂线段最短，掌握平行线的定义，平行线公理是解题的关键． 根据平行线的定义，平行线公理，垂线段最短，同一平面内，直线的位置关系，逐一判断各个小题，即可得到答案． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故原说法错误， ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误， ③连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确， ④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线不一定相交，故原说法错误， ∴错误的有3个， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级·浙江·期中）如图，在的方格中，有两条线段，．利用方格完成以下操作． （1）过点A作的平行线（点D在格点上）； （2）过点B作的垂线（点E在格点上）． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析． 【分析】（1）借助网格的特点画出图形即可； （2）借助网格的特点，过点B画出BC的垂线即为AD的垂线． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【点睛】本题考查借助网格画图．主要考查画平行线和画垂线，掌握平行线的性质和判定定理以及垂线的定义即可． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点P是内一点．（以下作图工具不限） (1)过点P画直线l平行于； (2)过点P画直线垂直，垂足为Q； (3)量出点P到的距离．（精确到） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1.2cm 【分析】本题考查按要求作图、平行线，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据垂线的性质求解即可； （3）根据点到直线的距离求解即可． 【详解】（1）如图所示，直线l即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）（都可以）． 题型十 平行线基本事实 解｜题｜技｜巧 1.公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 2.推论：a∥b，a∥c→b∥c（平行传递性）。 3.判断：紧扣 “有且只有”“直线外一点” 关键词。 【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 【变式1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C． 【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意； B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意； C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意； D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查里平行公理及推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题需根据平行公理、垂直性质及点到直线的距离定义，对四个说法逐一判断．分别分析每个说法是否符合相应的数学定义与性质．本题主要考查了平行公理、垂线性质以及点到直线的距离的定义，熟练掌握这些数学定义和性质是解题的关键． 【详解】解：①错误．垂直于同一条直线的两条直线必须在同一平面内才互相平行，原说法缺少前提条件． ②正确．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质． ③正确．经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行，符合平行公理． ④错误．点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身． 综上，正确的说法为②③， 故选B． 【变式3】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 题型十一 平行线判定的条件 解｜题｜技｜巧 1.选依据：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补→平行。 2.先找角：锁定三线八角，判断角的关系。 3.补条件：题目缺条件时，按三种判定反向补充。 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，请你添加一个条件，使，这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解∶由不能判断，故选项A错误； 由，根据“内错角相等，两直线平行”可以判断，故选项B正确； 由不能判断，故选项C错误； 由不能判断，故选项A错误； 故选：B 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解∶A．∵，∴，不能判断，故选项A不符合题意； B．∵，∴，不能判断，故选项B不符合题意； C．∵，∴，能判断，故选项C符合题意； D．根据无法证明两直线平行，故选项D不符合题意； 故选∶C． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）根据，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是关键；根据平行线的判定方法逐项判断即可得解． 【详解】解：A、根据，不能得到，故本选项不符合题意； B、根据，能得到，故本选项不符合题意； C、根据，不能得到，故本选项不符合题意； D、根据，由内错角相等，两直线平行能得到，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，请添加一个条件：______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 结合图形，根据平行线的判定定理添加条件即可． 【详解】解：同位角相等；或内错角相等；用同旁内角互补如，可使， 故答案为：（答案不唯一） 题型十二 平行线判定的证明 解｜题｜技｜巧 1. 模板：已知角关系→推出平行，注明判定依据。 2.步骤：标角→找等量 / 互补→写判定→得平行。 3.规范：每步因果清晰，不跳步，依据写括号内。 【典例1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，是的平分线，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用角平分线得到，进而得到，即可得到． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的定义、掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平角定义及角平分线定义求出结论即可； （2）先求出，得出，即可求出结论． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由题意可得，再由平角的定义可得，据此可得答案． （2）由角平分线的定义可得，，则由平角的定义可得，即，据此可证明，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十三 平行线的性质求角 解｜题｜技｜巧 1.模板：已知平行→得角相等 / 互补，计算角度。 2.组合：平行 + 对顶角 + 邻补角 + 垂直，连环推导。 3.顺序：先由平行得角关系，再代入数值计算。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点D作，可得，得出，，，利用，求出，再求出，即可求解． 【详解】如图，过点B作，过点D作， ∵直线， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．先由平行线的性质求出，再由直角和平角的定义，角的和差关系求出． 【详解】解：如下图所示： 直线， ， 又，， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，一副三角板放置在两条平行线之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点C作，则由平行线的性质可得，可求出，再证明，即可得到． 【详解】解；如图所示，过点C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 故选：D． 题型十四 平行线的性质在实际生活中的应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：把实物图转化为平行线 + 截线几何图。 2.用性质：平行→角相等 / 互补，求拐角、方位角。 3.书写：先说明平行，再用性质计算。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变 化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果 ，，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．利用平行线性质得出，根据对顶角相等得出，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 即光的传播方向改变了， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，，当为（     ）时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．根据平行线的性质可知，根据同旁内角互补，两直线平行可知当时，与平行，求出此时的度数即可解答． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵当时，与平行， ∴， ∴， ∴当为时，与平行． 故选C． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，交的延长线于点Q，过点B作，利用平行线的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点Q，过点B作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 故选：D． 题型十五 平行线的性质解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.核心：折叠前后角相等，折痕为角平分线。 2.步骤：标折叠等角→用平行性质得角关系→列方程求解。 3.关键：折叠角 + 平行线内错角 / 同旁内角联立。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度 数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴； 故选A． 【变式1】如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 【答案】A． 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数． 【详解】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BGD'＝26°， ∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°， 由折叠可得，∠α∠DEG154°＝77°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式2】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型十六 通过阅读推理过程填空 解｜题｜技｜巧 1.抓依据：填定义 / 公理 / 性质 / 判定（对顶角相等、两直线平行等）。 2.顺逻辑：由已知→推导→结论，因果对应。 3.记高频：垂直定义、平行公理、同位角相等、两直线平行等。 【典例1】如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 【答案】见解析 【分析】根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同位角相等，两直线平行由可判断；根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同旁内角互补，两直线平行由可判断 ． 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【详解】解：已知， 内错角相等，两直线平行， 已知， 同位角相等，两直线平行， 已知 ， 已知 ． 故答案为，，内错角相等，两直线平行；，；，；，． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，点D在上，交于点E，点F在上，． (1)说明与平行的理由． 理由如下： ∵（    ）， ∴（    ）． ∵， ∴（    ）． ∴（    ）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)已知；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据等量代换可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平角的定义即可得． 【详解】（1）解：理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．证明：． 证明：∵（已知）， ∴① （② _）， 又∵（已知）， ∴③______（等式的基本事实）， ∴④______⑥______（同位角相等，两直线平行）， ∴（⑥ ） 又∵（已知）， ∴⑦（等式的基本事实）， ∴（⑧ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行． 题型十七 平行线性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.区分： 2.判定：角关系→平行（证平行用判定） 性质：平行→角关系（求角用性质） · 连环：先判定得平行，再用性质求角。 · 书写：先证平行，再用平行推角。 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据，得出，根据平行线的判定即可作答． （2）先根据平行线的性质得出，再根据，得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，点在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、OF、OG，其中，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）证明，，结合，可得，进一步可得结论； （2）由题意设，，证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ∵， ，， ∵， ∴， ， ， 解得， ． 题型十八 生活中的平移 解｜题｜技｜巧 1.判断平移：形状、大小、方向都不变，只改变位置，就是平移。 2. 排除干扰：旋转、翻转、缩放都不是平移。 3.建模：把生活场景转化为直线方向、等距离移动的几何图形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各汽车标志可以看作是由其中某部分图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：可以看作是由其中某部分图案平移得到的是 故选：D 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象中，属于平移的是（    ） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．足球在草坪上滚动，属于旋转，故该选项不符合题意； B．货物在传送带上移动，属于平移，故该选项符合题意； C．小朋友在荡秋千，属于旋转，故该选项不符合题意； D．汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，根据平移的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意； B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意； C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意； D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意； 故选：B． 题型十九 图形的平移 解｜题｜技｜巧 1.抓两要素：平移方向+平移距离。 2.定对应点：原图点→新图点，连线平行且相等。 3.性质牢记：形状大小不变、对应线段平行（共线）且相等、对应角相等。 4.题型二十 利用平移的性质计算 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的基本性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；根据平移的性质可知平移后的图形不改变图形的形状、大小、方向； 【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将图所示的图案通过平移后可以得到B选项中的图案，其它三个选项皆改变了方向，故错误． 故选：B． 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图是Deepseek的标志，通过平移该标志可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】 解：可以通过平移能与上面的图形重合．其他选项则需要通过轴对称或旋转才能得到， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列各组图形中，能用一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，解题关键是理解平移的意义． 根据平移的意义，对四组图分别作出判断． 【详解】解：A、两个图形不能用一个图形平移得到另一个图形，故A不符合； B、两个图形不能用一个图形平移得到另一个图形，故B不符合； C、两个图形不能用一个图形平移得到另一个图形，故C不符合； D、两个图形能用一个图形平移得到另一个图形，故D符合； 故选：D ． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移概念，根据平移概念逐项判断，即可解题． 【详解】 解：根据图形观察可知，三角形M平移后能与三角形N重合的是， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列图形中，能通过原图平移得到的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，掌握理解定义是解题关键．在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．根据平移的定义即可得． 【详解】解：观察四个选项可知，只有选项B能通过平移图得到， 故选：B． 题型二十 利用平移的性质计算 解｜题｜技｜巧 1. 线段计算：对应线段相等，直接代换长度。 2.角度计算：对应角相等，直接代换角度。 3.周长 / 面积：平移不改变周长与面积，直接用原图计算。 4. 路径长度：平移距离之和就是总路径长。 【典例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识．首先根据平移的性质得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，沿射线方向平移到（点在线段上），若，，则平移距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移．根据平移的性质有：，则有，即有，根据，问题得解． 【详解】解：根据平移的性质有：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴则平移距离为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角 形．已知，则有下列说法：①；②；③；④图 中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和判定， 根据平移的性质可解答①③；再根据解答④；最后根据各角之间的关系判断②即可． 【详解】解：根据平移的性质可知，，， ∴． 则①③正确； ∵， ∴． 则④正确； ∵， ∴． ∵，且， ∴． 则②不正确． 所以正确的有①③④． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，的周长为，将沿方向平移 至，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移性质，根据平移的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移至， ∴，， ∵的周长为， ∴则四边形周长为 ， 故选：B． 题型二十一 平移的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 四步标准：定方向距离→找关键点→平移关键点→顺次连线。 2. 画对应点：过关键点作平行且等长的线段。 3. 规范：连线要直，对应点清晰，标注方向与距离。 【典例1】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽 米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小 路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平移，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向进行分析，横向距离等于，纵向距离等于，相加即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，横向距离等于，纵向距离等于， ∴从到需要走的距离为：米， 故选：． 【变式1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是______平方厘米．    【答案】16 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键． 利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积为：（平方厘米）． 故答案为：16． 【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是_______． 【答案】48 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键． 根据平移的性质将阴影部分转化为长为，宽为的长方形即可． 【详解】解：如图，将图中阴影部分①向右平移，阴影部分②向左平移，可以拼成长为，宽为的长方形， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：48． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某公园为方便行人观赏花木，拟在一块方形绿化带中修建如图 所示的小路，若绿化带周长为，且路宽忽略不计，则小路总长为_______． 【答案】150 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得小桥的总长恰为长方形周长的一半，由此问题可求解． 【详解】解：由平移可得，如图所示： ∵绿化带周长为，且路宽忽略不计， ∴小路总长为； 故答案为：150． 题型二十二 平移作图 解｜题｜技｜巧 1. 四步标准：定方向距离→找关键点→平移关键点→顺次连线。 2. 画对应点：过关键点作平行且等长的线段。 3. 规范：连线要直，对应点清晰，标注方向与距离。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在6×6的方格纸上有，请按以下要求画格点三角形（顶点都在格点上）： (1)在图1中，过点B作线段的平行线； (2)在图2中，平移，得到，使得点P在内部的格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质结合网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图，取格点D，作直线，则直线； （2）解：如图，即为所求作． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点 和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质以及平行线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键． （1）根据平移的性质得出C和D点的位置，作图即可； （2）过点P作，即可得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，点E即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格边长为，已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使得点落在，点A的对应点是． (1)画出平移后的三角形； (2)点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查作图平移变换、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质、点到直线的距离是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，将三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求． （2）过点A作直线的垂线，交直线于点， 点A到直线的距离为． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点处，点分别移动到点处．    (1)请画出平移后的三角形； (2)试说明：三角形是由三角形如何平移得到的； (3)若连接，则这两条线段之间的关系是_________． 【答案】(1)图见解析 (2)三角形是由三角形向左平移5个单位再向下平移2个单位得到 (3)平行且相等 【分析】（1）观察点A平移到点，系先向左移动5个单位，然后再向下平移2个单位得到，仿此可画出点与点，然后再把三点连接起来构成． （2）由（1）的分析可知，向左平移5个单位再向下平移2个单位可得到． （3）根据图形平移时，对应点平移的距离相等可得到结论． 【详解】（1）平移后的三角形如图所示．      （2）将点A、B、C先向左平移5个单位，然后再向下平移2个单位，得到点，然后连接，即可得到三角形． （3）连接， 根据平移的性质可知，，． 故答案为：平行且相等． 【点睛】本题考查了平移的作图、平移的性质，解题的关键是理解平移的特点和性质． 题型二十三 相交线与平行线的综合题 解｜题｜技｜巧 · 全流程：标角→找对顶 / 邻补 / 垂直 / 平行→用判定与性质→计算。 · 模型：熟练用F/Z/U型、折叠模型、拐角模型。 · 规范：步骤完整、依据明确、角度计算准确。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据平行线的性质，即可求解； （2）①根据，只有一种情形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②，根据，或建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：①如图1，， 只有一种情形， 则'， ， 。 ②如图2，此时。， ， ， 。 如图3，此时 ， ， 。 综上，若，则的值为或。 【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在三角形中，，直线． (1)如图1，点E在直线上，若，求的度数； (2)如图2，点E在直线的下方，交于点F，G是上一点，连接交于点H，点K在、之间且在的右侧，连接、．若、分别是和的平分线，试说明； (3)在（1）的条件下，点P、Q在直线上，点P在点Q左侧，，平分交于点M，点N是直线上方一点，．若．请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线性质得出，进而得出； （2）作，作，设，，可表示出，，进而得出．，依次表示出，，，，，进一步得出结论； （3）当时，设，则，，依次表示出，，根据，列出，进而得出结果；同样方法得出当时的情形的结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， 作，作， 又∵， ∴， 设，， 又∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当时，而， 设，则，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3， 当时， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故舍去， 综上所述：． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的应用，角的和差运算，本题的难度很大，掌握角度之间的和差关系是解本题的关键. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）在下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向，根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、B、D中的图案不能通过平移得到，故符合题意； C、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角定义，对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A．与是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．与是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．与是内错角，原说法错误，不符合题意； D．与是同旁内角，原说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能够判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，据此求解即可． 【详解】解：由不能证明，故A不符合题意； 由，可以根据同位角相等，两直线平行证明，故B符合题意； 由，可以根据内错角相等，两直线平行证明，不能证明，故C不符合题意； 由，可以根据同旁内角互补，两直线平行证明，不能证明，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的个数为（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ④两条直线被第三条直线所做，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的定义、垂直的性质、平行公理及同位角，根据平行线的定义、垂直的性质、平行公理及同位角的性质逐一判断各说法的正确性即可． 【详解】①错误．平行线需满足“在同一平面内不相交”，原说法缺少“同一平面内”的条件． ②正确．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的性质． ③正确．平行公理指出：经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行． ④错误．只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原说法未限定平行条件． 故选C． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线与直线，分别交于点，，，，则1的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，得出，进而根据邻补角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，线段的和差等，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，然后利用线段的和差进行计算即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， ， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点E是上一点，点F是上一点，与互余，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，余角概念，解答的关键是熟记平行线的性质． 由平行线的性质可求得，从而利用余角定义即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互余， ∴． 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则____度． 【答案】55 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等以及角的和差，熟练掌握垂直的定义和对顶角相等是解题关键； 根据垂直的定义可得，对顶角相等可得，再计算角的和差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，进而得到，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将直角三角形平移2个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 12．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可证明； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ； （2）解：，， ， 平分， ． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)补全三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)20 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． （1）先根据点确定平移方式，从而可得点的位置，再顺次连接点即可得； （2）根据平移的性质求解即可得； （3）根据线段平移过程中扫过的面积等于一个长方形的面积减去两个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：补全三角形如下： ． （2）解：如图，连接，， 由平移的性质可知，，， 故答案为：，． （3）解：如图，连接， 则线段平移过程中扫过的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，点分别在上，． (1)判断与的大小关系，并说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键． （1）由得到，由，得到，从而，进而即可解答； （2）由求得，根据平分得到，从而，进而即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）完成下面的证明． 如图，与互补，，求证：．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整． 证明：与互补，（已知） ∴．（_____________________） ．（__________________） ，（已知） ，（等量代换）即__________________． ．（__________________） ．（__________________） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行； 两直线平行，内错角相等 【分析】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理与性质．已知与互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案． 【详解】证明：与互补，（已知） ∴．（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ，（等量代换）即 ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析． 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，．    (1)证明：； (2)若， ①，求的度数； ②求证： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）①先根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．②证明，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）①解：，， ， 由（1）已证：， ， ． ②∵， ∴， ∴， ∵． ∵． ∴ 18．（23-24七年级下·浙江·期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 【答案】(1)① ②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． （1）①根据，即可得出结果； ②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可； （2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解． 【详解】（1）解：①，， ， 故答案为：； ②，理由如下： ，， ， 同理，， ， ， 即， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角及其性质 题型02 邻补角及其性质 题型03 垂直的定义 题型04 垂线的画法及其性质 题型05 垂线最短的实际应用 题型06 点到直线的距离 题型07 相交线的综合题 题型08 同位角、内错角、同旁内角 题型09 平行线及其画法 题型10 平行线基本事实 题型11 平行线判定的条件 题型12 平行线判定的证明 题型13 平行线的性质求角 题型14 平行线的性质在实际生活中的应用 题型15 平行线的性质在实际生活中的应用 题型16 通过阅读推理过程填空 题型17 平行线性质与判定的综合 题型18 生活中的平移 题型19 图形的平移 题型20 利用平移的性质计算 题型21平移作图 题型22平移的实际应用 题型23 相交线与平行线的综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 能准确识别对顶角和邻补角，熟练运用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算与简单推理. 期中选择、填空必考，多与垂直、相交线综合考查，属于基础送分题，侧重概念辨析与角度计算。 垂直与垂线性质 理解垂直的定义，掌握垂线的两条基本性质，会用符号表示垂直关系，能进行简单角度计算与作图. 选择题常考性质理解与概念判断，填空题考查角度计算，简答题考查作图与说理，是几何基础必考点。 垂线段最短与距离 理解垂线段最短的原理，掌握点到直线的距离的定义，能区分线段与距离，会解决实际最短路径问题. 常结合生活情境（修路、引水、最短距离）考查，易与 “两点之间线段最短” 混淆，选择、填空、应用题均有出现。 三线八角 能在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，明确位置特征，为平行线判定与性质打基础. 平行线模块的前提考点，期中必考，多以选择、填空形式考查图形识别，难度低但必须熟练。 平行线基本事实 理解平行线定义，掌握平行公理及推论，明确 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”. 以判断题、选择题形式考查，侧重语言严谨性与概念理解，属于基础概念题。 平行线的判定 掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三种判定方法，能规范书写推理步骤判定两直线平行. 几何核心考点，填空、解答、说理题均会考查，是几何推理的关键步骤，期中解答题必考。 平行线的性质 掌握两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，能熟练求角度并进行简单推理. 期中几何最高频考点，选择、填空、解答全覆盖，常与对顶角、邻补角、垂直综合考查，分值占比高。 平行线综合应用 能区分判定与性质，解决折叠求角、实际应用、推理填空等综合题，规范书写说理过程. 中档题、压轴题常见，折叠求角为经典模型，说理填空是必考题型，重点考查逻辑推理与书写规范。 知识点01 直线的相交 ●相交线的定义 （1）如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点. （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类. ●对顶角和邻补角概念和性质 ★1、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ★2、对顶角的性质：对顶角相等． 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. ★3、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图中∠1 和∠2，∠1 和∠3 都互为邻补角. ★4、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．互为邻补角是互为补角的特殊情况. ●垂线的概念、画法及其性质 ★1、垂线的概念： 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ★2、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ★3、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ★4、垂线的性质 ：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ●垂线段与点到直线的距离 ★1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ★2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ★3、点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 知识点02 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ★4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 知识点03 平行线 ●平行线的定义 ★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． ●平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. ●平行线基本事实 ★1、平行线基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★2、平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 知识点04 平行线的判定 ★1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ★3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 知识点05 平行线的性质 ★1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 几何语言表示： ∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、平行线的判定与性质 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 知识点06平移 ●平移的概念 ◆1、平移的定义：一个图形沿着某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. ●平移的性质 ①平移不改变图形的形状和大小． ②一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． ●平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 题型一 对顶角及其性质 解｜题｜技｜巧 1. 先找公共顶点，再看两边是否互为反向延长线，快速锁定对顶角。 2.直接用对顶角相等列等式计算角度。 3.结合邻补角、垂直，先求已知角再推导对顶角。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，直线，相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（　　） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知直线与交于点，，，则___________． 题型二 邻补角及其性质 解｜题｜技｜巧 1. 识别：有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为 180°。 2.计算：用 ∠1+∠2=180°，知一求一。 3. 区分：邻补角是相邻且互补，补角只要求和为 180°。 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，图中邻补角有几对（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．55° C．125° D．135° 【变式3】如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，则∠BOE等于（　　） A．65° B．60° C．50° D．45° 题型三 垂直的定义 解｜题｜技｜巧 1.判定：夹角为90°→两直线垂直；两直线垂直→夹角为 90°。 2.符号：看到“⊥” 直接写 90°，看到 90° 直接标⊥。 3.计算：利用直角拆分、对顶角、邻补角求角。 【典例1】如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（　　） A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③ 【变式1】在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（　　） ①两直线相交所成的四个直角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】如图，AO⊥OB，若∠AOC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式3】如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1=40°，则下列结论正确的是（　　） A．∠2=∠3=50° B．∠2=∠3=40° C．∠2=40°，∠3=50° D．∠2=50°，3=40° 题型四 垂线的画法及其性质 解｜题｜技｜巧 1.画法：一落、二移、三画，直角边对齐、过定点、画直线。 2. 性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.作图：标垂足、写垂直符号，步骤规范不省略。 【典例1】已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式1】下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B． C． D． 【变式2】过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A．B．C．D． 题型五 垂线最短的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 核心：直线外一点到直线，垂线段最短。 2.应用：修路、引水、最短路径，一律作垂线段。 3.区分：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1】数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段____，理由是___． 【变式3】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点， 则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是______．    题型六 点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 1.定义：点到直线垂线段的长度（是数值，不是线段）。 2.找法：过点作垂线，垂足间线段长度即距离。 3.易错：距离是长度，必须带单位；垂线段是图形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为 米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C） 的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，，点到直线的距离是以下哪条 线段的长（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 题型七 相交线的综合题 解｜题｜技｜巧 1.步骤：先标对顶角、邻补角、直角→列等式→代入计算。 2.方法：把复杂角拆成已知角 + 直角 / 对顶角。 3.书写：每一步注明依据（对顶角相等、垂直定义等）。 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，直线和相交于点，射线，在内部， 与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【变式2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 题型八 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜技｜巧 1. 同位角：F 型，同侧同旁。 2.内错角：Z 型，之间两旁。 3.同旁内角：U 型，之间同旁。 4.技巧：先找截线，再辨被截线，按位置特征快速匹配。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，与是一对（    ） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列所示的四个图形中，与属于同位角的有（     ） A．①②④ B．①④ C．④ D．②③④ 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列说法中正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是内错角 题型九 平行线及其画法 解｜题｜技｜巧 1.画法：一落、二靠、三移、四画，直尺靠紧三角尺平移。 2.前提：过直线外一点才能画平行线，直线上一点不行。 3.表示：用 **∥** 符号，规范书写。 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江·期中）下列说法中，错误的个数是（    ） ①两条不相交的直线叫作平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④如果两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（22-23七年级·浙江·期中）如图，在的方格中，有两条线段，．利用方格完成以下操作． （1）过点A作的平行线（点D在格点上）； （2）过点B作的垂线（点E在格点上）． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点P是内一点．（以下作图工具不限） (1)过点P画直线l平行于； (2)过点P画直线垂直，垂足为Q； (3)量出点P到的距离．（精确到） 题型十 平行线基本事实 解｜题｜技｜巧 1.公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 2.推论：a∥b，a∥c→b∥c（平行传递性）。 3.判断：紧扣 “有且只有”“直线外一点” 关键词。 【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列说法中，正确的有（　　） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式3】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）：_____． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 题型十一 平行线判定的条件 解｜题｜技｜巧 1.选依据：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补→平行。 2.先找角：锁定三线八角，判断角的关系。 3.补条件：题目缺条件时，按三种判定反向补充。 【典例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，请你添加一个条件，使，这个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）根据，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，请添加一个条件：______________，使． 题型十二 平行线判定的证明 解｜题｜技｜巧 1. 模板：已知角关系→推出平行，注明判定依据。 2.步骤：标角→找等量 / 互补→写判定→得平行。 3.规范：每步因果清晰，不跳步，依据写括号内。 【典例1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，是的平分线，，，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 题型十三 平行线的性质求角 解｜题｜技｜巧 1.模板：已知平行→得角相等 / 互补，计算角度。 2.组合：平行 + 对顶角 + 邻补角 + 垂直，连环推导。 3.顺序：先由平行得角关系，再代入数值计算。 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，一副三角板放置在两条平行线之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十四 平行线的性质在实际生活中的应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：把实物图转化为平行线 + 截线几何图。 2.用性质：平行→角相等 / 互补，求拐角、方位角。 3.书写：先说明平行，再用性质计算。 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变 化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果 ，，那么光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【变式2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，，当为（     ）时，与平行． A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十五 平行线的性质解决折叠问题 解｜题｜技｜巧 1.核心：折叠前后角相等，折痕为角平分线。 2.步骤：标折叠等角→用平行性质得角关系→列方程求解。 3.关键：折叠角 + 平行线内错角 / 同旁内角联立。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度 数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 【变式2】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十六 通过阅读推理过程填空 解｜题｜技｜巧 1.抓依据：填定义 / 公理 / 性质 / 判定（对顶角相等、两直线平行等）。 2.顺逻辑：由已知→推导→结论，因果对应。 3.记高频：垂直定义、平行公理、同位角相等、两直线平行等。 【典例1】如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，点D在上，交于点E，点F在上，． (1)说明与平行的理由． 理由如下： ∵（    ）， ∴（    ）． ∵， ∴（    ）． ∴（    ）． (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．证明：． 证明：∵（已知）， ∴① （② _）， 又∵（已知）， ∴③______（等式的基本事实）， ∴④______⑥______（同位角相等，两直线平行）， ∴（⑥ ） 又∵（已知）， ∴⑦（等式的基本事实）， ∴（⑧ ）． 题型十七 平行线性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 1.区分： 2.判定：角关系→平行（证平行用判定） 性质：平行→角关系（求角用性质） · 连环：先判定得平行，再用性质求角。 · 书写：先证平行，再用平行推角。 【典例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，点在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、OF、OG，其中，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 题型十八 生活中的平移 解｜题｜技｜巧 1.判断平移：形状、大小、方向都不变，只改变位置，就是平移。 2. 排除干扰：旋转、翻转、缩放都不是平移。 3.建模：把生活场景转化为直线方向、等距离移动的几何图形。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各汽车标志可以看作是由其中某部分图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象中，属于平移的是（    ） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 题型十九 图形的平移 解｜题｜技｜巧 1.抓两要素：平移方向+平移距离。 2.定对应点：原图点→新图点，连线平行且相等。 3.性质牢记：形状大小不变、对应线段平行（共线）且相等、对应角相等。 4.题型二十 利用平移的性质计算 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图是Deepseek的标志，通过平移该标志可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列各组图形中，能用一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）下列各图中，三角形M平移后能与三角形N重合的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列图形中，能通过原图平移得到的是（   ） A．B．C．D． 题型二十 利用平移的性质计算 解｜题｜技｜巧 1. 线段计算：对应线段相等，直接代换长度。 2.角度计算：对应角相等，直接代换角度。 3.周长 / 面积：平移不改变周长与面积，直接用原图计算。 4. 路径长度：平移距离之和就是总路径长。 【典例1】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，沿射线方向平移到（点在线段上），若，，则平移距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角 形．已知，则有下列说法：①；②；③；④图 中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④ 【变式3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，的周长为，将沿方向平移 至，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 平移的实际应用 解｜题｜技｜巧 1. 四步标准：定方向距离→找关键点→平移关键点→顺次连线。 2. 画对应点：过关键点作平行且等长的线段。 3. 规范：连线要直，对应点清晰，标注方向与距离。 【典例1】（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，长米，宽 米，为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为米，小明沿着小 路的中间，从入口到出口所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是______平方厘米．    【变式2】（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是_______． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某公园为方便行人观赏花木，拟在一块方形绿化带中修建如图 所示的小路，若绿化带周长为，且路宽忽略不计，则小路总长为_______． 题型二十二 平移作图 解｜题｜技｜巧 1. 四步标准：定方向距离→找关键点→平移关键点→顺次连线。 2. 画对应点：过关键点作平行且等长的线段。 3. 规范：连线要直，对应点清晰，标注方向与距离。 【典例1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在6×6的方格纸上有，请按以下要求画格点三角形（顶点都在格点上）： (1)在图1中，过点B作线段的平行线； (2)在图2中，平移，得到，使得点P在内部的格点上． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点 和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小方格边长为，已知点和三角形的顶点都在格点上．平移三角形，使得点落在，点A的对应点是． (1)画出平移后的三角形； (2)点A到直线的距离为______． 【变式3】（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点处，点分别移动到点处．    (1)请画出平移后的三角形； (2)试说明：三角形是由三角形如何平移得到的； (3)若连接，则这两条线段之间的关系是_________． 题型二十三 相交线与平行线的综合题 解｜题｜技｜巧 · 全流程：标角→找对顶 / 邻补 / 垂直 / 平行→用判定与性质→计算。 · 模型：熟练用F/Z/U型、折叠模型、拐角模型。 · 规范：步骤完整、依据明确、角度计算准确。 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在三角形中，，直线． (1)如图1，点E在直线上，若，求的度数； (2)如图2，点E在直线的下方，交于点F，G是上一点，连接交于点H，点K在、之间且在的右侧，连接、．若、分别是和的平分线，试说明； (3)在（1）的条件下，点P、Q在直线上，点P在点Q左侧，，平分交于点M，点N是直线上方一点，．若．请直接写出的度数． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）在下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（     ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能够判定的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的个数为（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ④两条直线被第三条直线所做，同位角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线与直线，分别交于点，，，，则1的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点E是上一点，点F是上一点，与互余，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则____度． 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是_____． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 12．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，． (1)请说明的理由． (2)若平分，时，求的度数． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)补全三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，点分别在上，． (1)判断与的大小关系，并说明理由． (2)若，平分，求的度数． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）完成下面的证明． 如图，与互补，，求证：．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整． 证明：与互补，（已知） ∴．（_____________________） ．（__________________） ，（已知） ，（等量代换）即__________________． ．（__________________） ．（__________________） 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，．    (1)证明：； (2)若， ①，求的度数； ②求证： 18．（23-24七年级下·浙江·期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $