第22讲 圆的基本性质（复习讲义，5考点9题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 第22讲 圆的基本性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 圆的基本性质 题型01 圆的基本概念辨析 题型02 利用垂径定理求解 题型03 利用垂径定理解决实际问题 题型04 利用弧、弦、圆心角之间的关系求解 题型05 利用圆周角定理求解 题型06 利用圆周角定理推论求解 题型07 利用圆内接四边形的性质求解 题型08 圆的有关性质与证明 题型09 利用圆的有关性质解决多结论问题 05·重难突破·思维进阶难 60 突破一与圆的性质有关的新定义/阅读理解类问题 突破二 圆的基本性质与三角形、四边形综合 突破三 圆的基本性质与函数综合问题 06·优题精选·练能提分 105 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 圆的基本概念 湖南省卷T10 长沙市卷T14 / 理解圆的有关概念，掌握弦、直径、弧、圆心角等基本概念。 垂径定理及其推论 长沙市卷T14 长沙市卷T9 掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧）及其推论，能进行相关计算。 圆心角、弧、弦的关系 / / 理解圆心角、弧、弦之间的关系（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等）。 圆周角定理及其推论 湖南省卷T7 长沙市卷T8 湖南省卷T7 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等）。 圆内接四边形的性质 / 长沙市卷T24 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，外角等于内对角），能进行相关证明和计算。 命题预测 1. 圆的基本概念稳定考查（选择题/填空题，3-6分） 弦、直径、弧识别：从图形中识别基本元素；弧长计算：结合圆心角求弧长；与生活结合：如经纬度、车轮等实际问题 2. 垂径定理高频考查（填空题/解答题，6-8分） 求弦长：已知半径和弦心距求弦长；求半径：已知弦长和弦心距求半径；实际应用：拱桥、隧道等工程问题 3. 圆周角定理必考（选择题/填空题/解答题，6-10分） 角度计算：利用圆周角定理求角度；直径所对圆周角：90°角的构造与应用；多弧综合：多个圆周角的计算 4. 圆内接四边形综合考查（解答题，8-12分） 对角互补：利用性质求角度；与相似结合：圆内接四边形中的相似三角形；新定义探究：如“完美型双圆”四边形 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定理：垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；掌握公式：弧长公式、扇形面积公式；理解关系：圆心角、弧、弦的对应关系 2. 解题能力提升-辅助线技巧：有弦 → 作弦心距；有直径 → 连圆周角；有切线 → 连半径；方程思想：利用勾股定理列方程；分类讨论：两弦位置关系要分情况 3. 重点突破题型 ① 垂径定理与勾股定理结合求弦长② 圆周角定理与圆心角关系求角度③ 圆内接四边形与相似三角形综合④ 弧长公式与扇形面积的实际应用⑤ 新定义背景下的圆内接四边形探究 考点一 与圆有关的概念与性质 圆 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 圆周角 顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB. 弦和直径 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的弦BC.经过圆心的弦叫做直径，如图中的直径AC. 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 1.（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答． 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D． 考点二 垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. 延伸 （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2.（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 3.（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4.（2025·湖南·一模）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，连接，证明，结合三角形的内角和定理可得，证明为等边三角形；从而可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； 故选：D． 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 2.（2025·湖南·模拟）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 4.（2025·湖南·一模）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是______． 【答案】90°/90度 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，根据是的直径，得到的度数为，再根据，进而得到，得到的度数为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， 即：， ∴的度数为， ∴所对的圆周角的度数是； 故答案为：． 考点四 圆周角定理及推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 4..（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，从而可求． 【详解】解：， 又是的切线， ∴， ， 故选：C． 考点五 圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆；②见解析 (3)，， 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． （3）①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为_________． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角定理，熟悉掌握圆心角与圆周角的关系是解题的关键． 在优弧上取一点，连接，，利用角的等量代换求出的度数，即可用圆周角定理求解． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图所示： ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3.（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．根据对顶角相等、三角形内角和定理以及圆周角定理得到，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ． 是的直径， ∴ ， ． 故选D． 命题点一 圆的基本性质 ►题型01 圆的基本概念辨析 【典例】（2025·湖南常德·三模）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】利用弦的定义、三角形的内心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的内心到三角形三边的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确， 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的内心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识，难度不大． 【变式1】（2025·湖南祁阳·二模）如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，则，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵ ， ∴， 设， ， 在中， ， ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南张家界桑植县·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【变式3】（2025·湖南永州·模拟）现给出以下几个命题：长度相等的两条弧是等弧；等弧所对的弦相等；三点确定一个圆；矩形的四个顶点必在同一个圆上；三角形的外心到三角形的三边距离相等．其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解题的关键． 【详解】等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误； 等弧所对的弦相等，故本答案正确； 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本答案错误； 矩形的四个角等于，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故本答案错误； 正确的有个， 故选：． 【变式4】（2024·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点．连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标为， ， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， （等腰三角形的三线合一）， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． ►题型02 利用垂径定理求解 垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【答案】7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南祁阳·三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　） A．3 B．6 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，＝，再利用圆周角定理得到∠BOC＝45°，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE，从而得到CD的长． 【详解】∵AB⊥CD， ∴CE＝DE，＝， ∴∠BOC＝2∠BCD＝2×22.5°＝45°， ∴△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝OC＝6×＝3， ∴CD＝2CE＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故选：B． 【变式3】（2024·湖南益阳·三模）如图，在中，是直径，弦于点E，连接，，．下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理及圆周角定理的推论，熟练掌握垂径定理及圆周角定理推论是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不一定成立； 故选C． 【变式4】（2025·湖南长沙·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． ►题型03 利用垂径定理解决实际问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B    【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（    ）寸 A．5 B．12 C．13 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理可得，寸，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为寸，则寸，寸， ∵寸， ∴寸， ∵为的直径，弦，寸， ∴，寸， ∴在中，，即， 解得， ∴（寸）， 故选：D． 【变式3】．（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． ►题型04 利用弧、弦、圆心角之间的关系求解 1）圆心到弦的距离叫做弦心距，有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线. 2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. 3）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（知一推三）. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南张家界桑植县·模拟）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【变式2】．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．根据C为的中点得到，即可求出，根据圆周角定理可以求出． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称：最短路线问题，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图添加适当的辅助线是解题的关键． 作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据对称性可得，，从而可得，此时有最小值即为，再利用圆周角定理可得，从而可得，再根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，最后可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可解答． 【详解】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，， ∴，， ∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为 ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． ►题型05 利用圆周角定理求解 【解题思路】 1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. 2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. 3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 【典例】（2025·湖师大附中·模拟）如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 【答案】3 【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，设的半径为r，先由圆周角定理得，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， ∵扇形的面积为， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的半径为3， 故答案为：3． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______． 【答案】8 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，根据，，得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵是的内接正边形的一边， ∴， 故答案为：8． 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，作于点，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解，即可解题． 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，作于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形，有， 为弧的中点， . ， ，半圆的直径为，， ，即与圆心重合，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． ►题型06 利用圆周角定理推论求解 直径所对的圆周角等于90°，所以我们可以利用直径构造直径所对的圆周角，进而得到直角三角形，而后可以利用两锐角互余计算角的度数，也可以利用勾股定理计算线段的长度，还可以结合其他几何知识进行相关的推理证明. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，点，是直径两侧圆弧上的两点，连接交于点，连接，，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形锐角互余，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则，，由直角三角形锐角互余求出，再由即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式1】（2025·湖南长沙开福区·模拟）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角以及同弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 由直径所对的圆周角可得，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4】（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接 (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ►题型07 利用圆内接四边形的性质求解 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时，往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点C，D是以为直径的半圆O上的两点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理推论及圆内接四边形性质，先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 在半圆O中，为直径， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质，由题意，结合圆内接四边形对角互补即可得到答案．熟记圆内接四边形对角互补是解决问题的关键． 【详解】解：是四边形的外接圆， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 【变式3】（2025·湖南株洲·模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可. 【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=50°， 由圆周角定理得，2∠A=∠BOD=100°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式4】（2025·湖南衡阳·二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，可求出，即可得，进一步可求出． 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键． ►题型08 圆的有关性质与证明 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，垂直的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，对顶角线段，同角的余角相等的性质得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连接，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用（1）的结论求得线段，，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质求得，设，则，利用相似三角形的判定与性质求得k值，则结论可求． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的 性质定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 【变式2】（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． (1)求证：是圆的切线； (2)若，求圆的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)圆的半径为， 【分析】（1）由作图可知，圆周角定理结合角的和差关系，推出，即可得证； （2）延长，交于点，圆周角定理，得到，解直角三角形，直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，即可得到半径的长，证明，求出的长即可． 【详解】（1）证明：由作图可知． 是圆的直径， ， ， ， 即， ∴， 是圆的直径， 是圆的切线． （2）如图，延长，交于点． 是圆的直径， ． ，， ， ， ， ， ， 圆的半径为． 由（1）知， 又∵， ， ，即． ． 【点睛】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由垂径定理得到，然后求出，即可证明出； （2）首先得出，然后得到，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为是的直径，弦， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2）由（1）的结论，知， 所以 ． ►题型09 利用圆的有关性质解决多结论问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④． 【详解】解：∵点E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点， ∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵， ∴， ∵点E是的内心， ∴，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的有3个， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，再结合圆周角定理得，因为都是的半径，得证，都是的切线，运用垂径定理得，即得，进行解答即可． 【详解】解：由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，故A选项不符合题意； 由作图痕迹得出是的直径， ∴， ∵都是的半径， ∴，都是的切线， 故B选项不符合题意； 则， ∴， ∴， 故D选项不符合题意； 无法证明， 故C选项符合题意； 故选：C 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中， （1）作和的垂直平分线交于点O； （2）以点O为圆心，长为半径作圆； （3）分别与和的垂直平分线交于点M，N； （4）连接，其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中， ①；②；③点O是的外心；④点P是的内心． 所有正确结论的序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理可对①②进行判断;同时根据三角形外心的定义可对③进行判断;利用圆周角定理可得到为角平分线，则利用三角形内心的定义可对④进行判断即可． 【详解】解：作的垂直平分线，则平分，则;所以①正确; 作的垂直平分线，则平分，则： ，，所以②错误; 点O是线段，的垂直平分线的交点 点O是的外心， 所以③正确; 点是的中点， ， 点为的中点 ， 则点为的内心，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图，垂径定理和圆周角定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式3】（2025·湖南湘西·校联考模拟预测）如图，的直径垂直于弦，垂足为，点是上的一点点不与，重合，连接，，，，点在的延长线上，与交于点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①②④ 【分析】连接和，根据垂径定理求出，推出，根据圆周角定理和等腰三角形性质求出，即可推出答案． 【详解】解：连接，，    ，是直径， ，弧弧，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ①②④正确； 和根据已知不能推出相等， 和相似是错误的，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，熟练运用以上知识是解题的关键 【变式4】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 【答案】①②③④ 【分析】先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④. 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， 在中，， ∵， ∴，故⑤不正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键． 突破一 与圆的性质有关的新定义/阅读理解类问题 【典例】综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 【答案】（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，则，据此可得答案； （2）作于点，分点在点左侧和点在点右侧，两种情况，解直角三角形求出的长，设出的长，表示出的长，根据，，建立方程讨论求解即可； （3）延长交于点，连接、，证明，推出，即可得到，解直角三角形得到；设，则，，进而得．求出．则，据此可得答案． 【详解】解：（1），是中边上的“亮点”，理由如下： 是的高线， ， ， ∵， ∴， ， ， 点是中边上的亮点 在中，是中线， ， 点是中边上的亮点． （2）过点作于， ①如图，当点在点左侧时， 在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍） ∴； ②如图，当点在点右侧时，由①可知，， 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍） 即． 综上所述，的长为4或9． （3）延长交于点，连接、， ，， ， ， ． 点是中边上的亮点， ， ． ∵， ∴ ， 设，则，． ． 在中，． 又， ．解得． ． 【变式1】我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 【变式3】在校园智慧景观设计项目中，井盖作为常见的圆形元素，蕴含着丰富的数学知识．学完“圆”的基本性质后，康老师带领同学们以井盖相关问题开展数学探究活动．         【初步洞察】 我们将校园内的圆形井盖抽象为圆，假设井盖所在圆为 ，明明在内设计了一个三角形，连接，问：与的数量关系是什么？ 萱萱发现：延长，交于点，连接，可以找到数量关系． 浩浩发现：连接，并延长交于点，连接，可以找到数量关系． 请选择一名同学的方法推断出数量关系并证明． 【深入剖析】 在校园井盖的设计优化中，为了增强图案的美感，增添一些线条如图2，内接于，过点作，分别交、⊙O于、，过点作，交于，连接．求证：； 【拓展应用】 校园特殊形状井盖的设计分析中，晨晨突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助晨晨解决这个问题． 【答案】初步洞察：，证明见解析；深入剖析：见详解；拓展应用： 圆的直径为 【分析】本题为圆的综合题，考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． [初步洞察]分别选择不同的同学，利用圆周角定理进行角度转换即可解答； [深入剖析] 连接并延长交圆于点，连接，证明，由，即可求解； [拓展应用] 连接并延长交圆于点，连接、、，证明，再用勾股定理，即可求解． 【详解】[初步洞察] 若选择萱萱同学 证明：延长，交于点，连接， 为的直径， ， ； 若选择浩浩同学 证明：连接，并延长交于点，连接， 为的直径， ， ， ， [深入剖析]证明：如图，连接并延长交圆于点，连接， ， ， 为的直径 ， ， ， ， ， ， ， 由初步洞察知：， ， ， ， ， ， ， [拓展应用]解：如图，连接并延长交圆于点，连接、、， 则，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴圆的直径为． 【变式4】【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 突破二 圆的基本性质与三角形、四边形综合 【典例】如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）先求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）①连接，由圆周角定理得，，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②取上一点，使得，连接，，．证明为等边三角形，作于点．在求出和，进而可求出，然后可求半径； （3）先判断在运动过程中形状不变，当为直径时，最大，然后求出的长即可求出的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：① 如图1，连接． ∵，， ∴， 又， ∴； ②如图2，取上一点，使得，连接，，． ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 作于点． ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ （3）解：∵为定值， ∴是定值， ∴是定值， ∵， ∴在运动过程中形状不变，当为直径时，最大． ∴， ∴， ∴， 即最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 【变式1】如图1，的直径垂直弦于点E，且． (1)求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】(1)8 (2)①详见解析；②的长为或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴； （2）①证明：连接，如图2， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②解：当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 即， ∴； 当时， 在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【变式2】如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过添加辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）连接，先证明，进而根据圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质可得，然后根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，，，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得，的长，然后设（），则利用的面积可求出的值，从而可得，的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵，，， ∴， （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ （3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，，， 设的半径为（），则 为的直径， ， ， 平分， ， 由圆周角定理得：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 设（），则 在中，由勾股定理得：，即 解得：（负值舍去） ， ， 的面积为． 【变式3】如图，在中，是锐角，，点为射线上一动点，连结，以为直径作． (1)当， ①如图（1），若与相切，求直径的长； ②如图（2），若经过点，求直径的长． (2)如图（3），交于点，交于点，将沿所在的直线翻折，点的对应点为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①利用切线的性质得到，利用三角函数的定义求得的长，再利用勾股定理求解即可； ②连结，，求得是的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解； （2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，得到，求得和的长，再利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：①是的直径， 与相切于点， ． ，， ， 根据勾股定理，得； ②如图，过作于点，连接，， ， ∴是的直径，， 四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ，，，， ， 根据勾股定理，得， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接，， ，， ， ， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． 【变式4】已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题． 突破三 圆的基本性质与函数综合问题 【典例】（2025·湖南长沙·二模）如图，为圆O的直径，弦，垂足为E点．点G为弧上的一点，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)若点G为的中点，且，求的长度； (3)若点G在线段的延长线上，连接与交于点H，连接，若，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，等角对等边，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可； （2）连接，先求得，继而得出长，再由勾股定理得出长度，进而证明，即可求解； （3）先证明是中位线，再证明，设，则，圆O的直径为r，求得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵为圆O的直径，弦， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵为圆O的直径， ∴， ∵O、E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，圆O的直径为r， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）通过证明，进而得到，再根据等高三角形得到，最后代入计算即可； （3）分别证明和得到、，然后代入，最后根据完全平方公式的非负性求解最值． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ，即； （2）解：∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ， ∵， ∴， ∴， ∴相似比为， ，即， 和是等高三角形， ，即， ， 与之间的函数关系式； （3）解：在中，， ∵， ，即：，解得：， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ，即最小值为， ∴， ∴的最大值为． 【变式2】如图1，已知点为外一点，、为的切线，切点分别为点、点，连接，点在优弧上运动，连接与交于另一点，与弦于点． (1)判断，对的打“√”，错的打“×” ①（    ） ②（    ） ③（    ） (2)如图2，若点为优弧的中点，且，求的值． (3)如图1，设，，求关于的函数解析式． 【答案】(1)①√；②√；③√ (2) (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由切线长定理即可判断①，由圆的切线的性质结合圆周角定理证明，即可判断②，证明，即可判断③； （2）连接，是的垂直平分线，且经过圆心，则，那么，设，，则，则，由勾股定理得，则，解得，，再由，代入化简计算即可； （3）先证明，则，由（1）得，则，可得，证明，则，同理可证明：，，然后对这几个式子进行适当的变形处理求解即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， ∵点为外一点，、为的切线，切点分别为点、点， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴①②③均正确， 故：①√；②√；③√； （2）解：如图，连接， ∵是为优弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，且经过圆心， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同除以得，， 解得：或（舍）， ∵ ∴ ∴， ； （3）解：如图： 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴由得：， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数关系式，锐角三角函数等知识点，难度较大，技巧性很强，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式3】如图，在Rt中，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，连接与内切圆相交于另一点，连接，，，，，且 (1)求的度数； (2)若，，，求与之间的函数关系； (3)试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值1，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质，圆周角定理的应用； （1）连接，，根据切线的性质推出四边形为矩形，进而根据圆周角定理得出，根据，即可求解； （2）连接，根据圆周角定理得出优弧所对圆心角为，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）连接，，证明，，推出，进而证明，得出，即可得出，从而得出结论． 【详解】（1）连接，， ，与圆相切， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ． （2）如图，连接， 由（1）可知，， 设，则， 则优弧所对圆心角为， ， ． ， ，， 即y=x． （3）为定值，证明如下：如图连接，， 与圆相切， ， ， ， ， ， 同理可得， ，， ，， ，， 又， ， ， ， 即为定值． 【变式4】在中，，点是线段上一点，过，，三点的交边于点，连接，，，，交于点，平分． (1)求证：； (2)若，求； (3)若，，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出是的直径，根据平分，得出，进而根据半径相等可得，根据，等量代换得出，即可得证； （2）根据已知得出，设，则，证明，得出，即可求解； （3）根据已知得出，设，则，根据（2）得出，同理得出，进而表示出，根据相似三角形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴是的直径， ∵平分． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ （3）解：∵， ∴ 设，则， ∴， 同（2）可得， ∴即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式5】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 1.（2025·湖南湘西·模拟）下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的结论有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的概念等知识点一一判断即可. 【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； ③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径； ④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确； ⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确. 故选C. 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点．若，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据弦于点．得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：设的长为， ∵， 则， ∵弦于点． ∴， 在中，， 即， 解得， 故选：B． 3.（2025·湖南·模拟）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 4.（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．根据对顶角相等、三角形内角和定理以及圆周角定理得到，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ． 是的直径， ∴ ， ． 故选D． 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理求得 ，然后解直角三角形即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤． 6.（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 7.（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8.（2025·湖南·模拟预测）如图，点A，B，E在以为直径的上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，先根据垂径定理得到垂直平分，则，根据等腰三角形的性质求得，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，又， ∴， ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， 故选：C． 9.（2025·湖南株洲·一模）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． (1)求的值； (2)若的半径为2，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质即可解答； （2）设，利用勾股定理列方程求得，即可解答． 【详解】（1）解：设正方形的边长为a， 则圆O的半径， ， ； （2）解：为的直径， ， 半径， ， ， 设， 则， ， ． 10.（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和相似三角形的性质是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，从而可得，由此即可得证； （2）先根据等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 所以的半径为． 11.（2025·湖南永州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． (1)在点，，中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【答案】(1)点和 (2) (3)或2 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“m倍点”的定义是解此题的关键． （1）根据“m倍点”的定义结合反比例函数的定义分析即可得解； （2）当时，，结合题意可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解； （3）由题意可得函数的“m倍点”为，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C，由两点间的距离公式得出，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； ∵， ∴点不是函数y的“1倍点”； ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； 综上，点和是函数y的“1倍点”； 故答案为：点和； （2）解：当时，， ∵函数存在唯一的“3倍点”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴函数的“m倍点”为， 如图所示，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数， ∴或2． 12.（2025·湖南长沙·三模）对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题： (1)请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①正方形一定是“直径关联四边形”；（   ） ②“直径关联四边形”一定有内角等于；（   ） ③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（   ） (2)如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为． ①若，求的值． ②若，求的值． 【答案】(1)“√”，“√”，“√” (2)① ；②3 【分析】（1）①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”； ②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√” ③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得， 得. 故括号里打“√”． （2）①连接，根据题意，得，根据题意，得， 结合列式解答即可． ②连接，证明，利用三角形相似，正切函数的定义，解答即可． 【详解】（1）解：①正方形的外心和内心重合，符号定义，一定是“直径关联四边形”，故括号里打“√”； ②“直径关联四边形”一定有内角等于，故括号里打“√”； ③如果四边形是“直径关联四边形”，根据切线长定理，得， ∴. 故括号里打“√”． 故答案为：“√”，“√”，“√”． （2）①解：连接， 根据题意，得， ∵的圆心O在上， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得． ②解：连接， ∵的圆心O在上， ∴， ∴， ∵与、、、分别相切于点、、、， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，切线长定理，圆内接四边形的性质，正切函数的应用，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线． 13.（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)120 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的内心为三个内角平分线的交点的性质得到，，再利用三角形的内角和定理解答即可； （2）设与交于点，利用（1）的方法得到，利用圆周角定理，角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可得出，则可得结论； （3）连接，利用三角形的内心的性质和三角形的外角的性质，圆周角定理和等式的性质得到，则，利用垂径定理可得，则；利用相似三角形的判定与性质求得．则；利用相似三角形的判定与性质得到，则可求结论． 【详解】（1）解：是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ． 故答案为：120； （2）证明：设与交于点，如图，   是的内心， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ． ，， ， ， ； （3）解：连接，如图，   是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． ，， ， ， ． ， 关于的函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键． 1．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D． 【详解】解；A、若，则，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2.（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 3.（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 4.（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 5.（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 6.（2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质； 根据题意证出，得到，设，则，表示出，，连接，在中，求出，在和中，表示出，，列式计算出，再利用勾股定理计算直径即可． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴， 在中，， 连接， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 的直径为：， 故答案为：． 7.（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 8.（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 10.（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 11.（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 12.（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮 【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系． ［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可； （2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用； ［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速． 【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个， ∵ ∴， 故答案为：，，； （2）从动轮的转速为（圈/分钟）， “惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致， ∴从动轮的转速为每分钟160圈； ［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮． 13.（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． ， ． （2）证明：， ． ， ， 又， ， ， ． 由（1）知，， 又， ， ． ， ． ∵， ， ， ， ． （3）解：由（2）知，， 的周长为． 设，则． 由（2）可知，． 又， ， ， ， ． 又， ， ． 过点C作，垂足为P，则． 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ． 在中，，即． ， ， ， ． 在中，， ， 解得，或（舍去）． ． 的周长为． 【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导． 14.（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸： 【分析】探究发现：图形面积分割法得出，根据得出； 实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：探究发现：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，，；． 实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， 在中，． ∵将线段绕点逆时针旋转得， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， ∴由探究发现可得：． 拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴由探究发现可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 第22讲 圆的基本性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 圆的基本性质 题型01 圆的基本概念辨析 题型02 利用垂径定理求解 题型03 利用垂径定理解决实际问题 题型04 利用弧、弦、圆心角之间的关系求解 题型05 利用圆周角定理求解 题型06 利用圆周角定理推论求解 题型07 利用圆内接四边形的性质求解 题型08 圆的有关性质与证明 题型09 利用圆的有关性质解决多结论问题 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一与圆的性质有关的新定义/阅读理解类问题 突破二 圆的基本性质与三角形、四边形综合 突破三 圆的基本性质与函数综合问题 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 圆的基本概念 湖南省卷T10 长沙市卷T14 / 理解圆的有关概念，掌握弦、直径、弧、圆心角等基本概念。 垂径定理及其推论 长沙市卷T14 长沙市卷T9 掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧）及其推论，能进行相关计算。 圆心角、弧、弦的关系 / / 理解圆心角、弧、弦之间的关系（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等）。 圆周角定理及其推论 湖南省卷T7 长沙市卷T8 湖南省卷T7 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等）。 圆内接四边形的性质 / 长沙市卷T24 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，外角等于内对角），能进行相关证明和计算。 命题预测 1. 圆的基本概念稳定考查（选择题/填空题，3-6分） 弦、直径、弧识别：从图形中识别基本元素；弧长计算：结合圆心角求弧长；与生活结合：如经纬度、车轮等实际问题 2. 垂径定理高频考查（填空题/解答题，6-8分） 求弦长：已知半径和弦心距求弦长；求半径：已知弦长和弦心距求半径；实际应用：拱桥、隧道等工程问题 3. 圆周角定理必考（选择题/填空题/解答题，6-10分） 角度计算：利用圆周角定理求角度；直径所对圆周角：90°角的构造与应用；多弧综合：多个圆周角的计算 4. 圆内接四边形综合考查（解答题，8-12分） 对角互补：利用性质求角度；与相似结合：圆内接四边形中的相似三角形；新定义探究：如“完美型双圆”四边形 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定理：垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质；掌握公式：弧长公式、扇形面积公式；理解关系：圆心角、弧、弦的对应关系 2. 解题能力提升-辅助线技巧：有弦 → 作弦心距；有直径 → 连圆周角；有切线 → 连半径；方程思想：利用勾股定理列方程；分类讨论：两弦位置关系要分情况 3. 重点突破题型 ① 垂径定理与勾股定理结合求弦长② 圆周角定理与圆心角关系求角度③ 圆内接四边形与相似三角形综合④ 弧长公式与扇形面积的实际应用⑤ 新定义背景下的圆内接四边形探究 考点一 与圆有关的概念与性质 圆 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 圆周角 顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB. 弦和直径 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的弦BC.经过圆心的弦叫做直径，如图中的直径AC. 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 1.（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 考点二 垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. 延伸 （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 2.（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 3.（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南·一模）如图，已知是圆O的直径，A，B是圆O上的两点，交于点C，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖南·模拟）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于_____． 4.（2025·湖南·一模）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是______． 考点四 圆周角定理及推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 4..（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 考点五 圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为_________． 3.（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 命题点一 圆的基本性质 ►题型01 圆的基本概念辨析 【典例】（2025·湖南常德·三模）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的内心到三角形三边的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【变式1】（2025·湖南祁阳·二模）如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南张家界桑植县·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式3】（2025·湖南永州·模拟）现给出以下几个命题：长度相等的两条弧是等弧；等弧所对的弦相等；三点确定一个圆；矩形的四个顶点必在同一个圆上；三角形的外心到三角形的三边距离相等．其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______． ►题型02 利用垂径定理求解 垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）： 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【变式1】（2025·湖南祁阳·三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　） A．3 B．6 C．6 D．12 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·湖南益阳·三模）如图，在中，是直径，弦于点E，连接，，．下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南长沙·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 ►题型03 利用垂径定理解决实际问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·一模）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（    ）寸 A．5 B．12 C．13 D．26 【变式3】．（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． ►题型04 利用弧、弦、圆心角之间的关系求解 1）圆心到弦的距离叫做弦心距，有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线. 2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. 3）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（知一推三）. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南张家界桑植县·模拟）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【变式2】．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为________． ►题型05 利用圆周角定理求解 【解题思路】 1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. 2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. 3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 【典例】（2025·湖师大附中·模拟）如图，分别与相切于两点，，则______． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______． 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为______． ►题型06 利用圆周角定理推论求解 直径所对的圆周角等于90°，所以我们可以利用直径构造直径所对的圆周角，进而得到直角三角形，而后可以利用两锐角互余计算角的度数，也可以利用勾股定理计算线段的长度，还可以结合其他几何知识进行相关的推理证明. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，点，是直径两侧圆弧上的两点，连接交于点，连接，，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙开福区·模拟）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（      ）     A． B． C． D． 【变式4】（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接 (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． ►题型07 利用圆内接四边形的性质求解 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时，往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点C，D是以为直径的半圆O上的两点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·二模）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南株洲·模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南衡阳·二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，，则的度数为（　　） A． B． C． D． ►题型08 圆的有关性质与证明 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【变式2】（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径．以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． (1)求证：是圆的切线； (2)若，求圆的半径及的长． 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． ►题型09 利用圆的有关性质解决多结论问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中， （1）作和的垂直平分线交于点O； （2）以点O为圆心，长为半径作圆； （3）分别与和的垂直平分线交于点M，N； （4）连接，其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中， ①；②；③点O是的外心；④点P是的内心． 所有正确结论的序号是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南湘西·校联考模拟预测）如图，的直径垂直于弦，垂足为，点是上的一点点不与，重合，连接，，，，点在的延长线上，与交于点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是 ．    【变式4】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 突破一 与圆的性质有关的新定义/阅读理解类问题 【典例】综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 【变式1】我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【变式2】综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【变式3】在校园智慧景观设计项目中，井盖作为常见的圆形元素，蕴含着丰富的数学知识．学完“圆”的基本性质后，康老师带领同学们以井盖相关问题开展数学探究活动．         【初步洞察】 我们将校园内的圆形井盖抽象为圆，假设井盖所在圆为 ，明明在内设计了一个三角形，连接，问：与的数量关系是什么？ 萱萱发现：延长，交于点，连接，可以找到数量关系． 浩浩发现：连接，并延长交于点，连接，可以找到数量关系． 请选择一名同学的方法推断出数量关系并证明． 【深入剖析】 在校园井盖的设计优化中，为了增强图案的美感，增添一些线条如图2，内接于，过点作，分别交、⊙O于、，过点作，交于，连接．求证：； 【拓展应用】 校园特殊形状井盖的设计分析中，晨晨突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助晨晨解决这个问题． 【变式4】【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 突破二 圆的基本性质与三角形、四边形综合 【典例】如图1，非直径的弦，在上运动，连接，，，． (1)如图2，当点，重合时，若，，则______． (2)如图3，当弦在弦所对的优弧上时，延长，交于点，，，． ①求证； ②求半径． (3)如图4，在（2）条件下，连接，直接写出的最大值． 【变式1】如图1，的直径垂直弦于点E，且． (1)求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【变式2】如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 【变式3】如图，在中，是锐角，，点为射线上一动点，连结，以为直径作． (1)当， ①如图（1），若与相切，求直径的长； ②如图（2），若经过点，求直径的长． (2)如图（3），交于点，交于点，将沿所在的直线翻折，点的对应点为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 【变式4】已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 突破三 圆的基本性质与函数综合问题 【典例】（2025·湖南长沙·二模）如图，为圆O的直径，弦，垂足为E点．点G为弧上的一点，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)若点G为的中点，且，求的长度； (3)若点G在线段的延长线上，连接与交于点H，连接，若，求y与x之间的函数关系式． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 【变式2】如图1，已知点为外一点，、为的切线，切点分别为点、点，连接，点在优弧上运动，连接与交于另一点，与弦于点． (1)判断，对的打“√”，错的打“×” ①（    ） ②（    ） ③（    ） (2)如图2，若点为优弧的中点，且，求的值． (3)如图1，设，，求关于的函数解析式． 【变式3】如图，在Rt中，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，连接与内切圆相交于另一点，连接，，，，，且 (1)求的度数； (2)若，，，求与之间的函数关系； (3)试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式4】在中，，点是线段上一点，过，，三点的交边于点，连接，，，，交于点，平分． (1)求证：； (2)若，求； (3)若，，求与之间的函数关系式． 【变式5】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 1.（2025·湖南湘西·模拟）下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的结论有（ 　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，弦于点．若，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2025·湖南·模拟）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 4.（2025·湖南常德·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，与相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（    ）    A． B． C．3 D． 6.（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 7.（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 8.（2025·湖南·模拟预测）如图，点A，B，E在以为直径的上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9.（2025·湖南株洲·一模）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． (1)求的值； (2)若的半径为2，求弦的长． 10.（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分． (1)求证：； (2)若，求的半径． 11.（2025·湖南永州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． (1)在点，，中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 12.（2025·湖南长沙·三模）对于四边形，若其外接圆圆心和内切圆圆心都在四边形的某一条对角线上，则称该四边形为“直径关联四边形”．请根据定义，解答下列问题： (1)请判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①正方形一定是“直径关联四边形”；（   ） ②“直径关联四边形”一定有内角等于；（   ） ③如果四边形是“直径关联四边形”，则有．（   ） (2)如图，四边形是“直径关联四边形”，圆心在线段上，与、、、分别相切于点、、、，连接、，分别交于点、，设的半径为，的半径为． ①若，求的值． ②若，求的值． 13.（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：    (1)如图1，连接、，当时，则________； (2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：； (3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式． 1．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 2.（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 3.（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 6.（2025·浙江·中考真题）如图，矩形内接于是上一点，连接分别交于点．若，则的直径为________． 7.（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 8.（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 9.（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 10.（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 11.（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 12.（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 13.（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 14.（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $