精品解析：2026年河南周口市郸城县春蕾中学九年级一模数学试题

2026年河南周口市郸城县春蕾中学九年级一模数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 已知关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当一元二次方程根的判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程即可确定 的值． 【详解】解：关于 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 3. 星空作幕、前海湾畔灯火璀璨，第十五届全国运动会在粤港澳三地的同心期盼中圆满落幕．据官方统计，截至2025年11月16日，十五运会市场开发收入达亿元，涵盖赞助、捐赠、门票、特许经营等方面．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将亿转化为普通整数，再根据科学记数法转化为（要求， 为正整数）确定 和 的值即可． 【详解】解：亿． 4. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断即可． 【详解】二次函数的图象开口向上， ， 函数图象与 轴交于负半轴， ， 对称轴在 轴右侧， ， ， ，故 不正确； 由图象可知，对称轴， ，故 不正确； 由图象可知，当 时，， ，故 正确； 由图象可知，当 时，， ，故 不正确． 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体从正面看，得到主视图为 ． 6. 已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意； B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意； C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意； D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意． 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 个五角星，第 个图案中有 个五角星，第 个图案中有 个五角星，第 个图案中有 个五角星，，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察前几个图案中五角星的数量，归纳出第 个图案中五角星数量的代数式，将代入计算即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第个图案中五角星的个数为； 第 个图案中五角星的个数为； 第 个图案中五角星的个数为； 第 个图案中五角星的个数为；  ； ∴第 个图案中五角星的个数为； 当时，； ∴第个图案中五角星的个数为 ． 8. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小、调查是否具有破坏性，判断各选项是否适合采用普查． 【详解】解：A、调查某校九年级3班体育中考情况，范围小，人数少，适宜采用普查， B、调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查， C、调查全国中学生每天作业完成时间，调查范围过大，不适宜普查， D、调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况，调查范围较大，不适宜普查， 9. 如图，点C、D是以 为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ， ， ，证明是等边三角形，，得，根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：连接 ， ， ，如图， ∵点C、D是以 为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 10. 如图， 是 的直径，， 是 上两点，连接 ，， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接 ， ∵， ∴， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 12. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共6个，现从袋子中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球的次数约为总抽取次数的，则袋子中红色球有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】根据大量重复试验中频率稳定于概率，得到抽到红色球的概率为，再结合概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红色球有 个． ∵大量重复抽取后，抽到红色球的频率约为， ∴抽到红色球的概率为， ∴， 解得： ． 13. 如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得： ，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 14. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形 沿对角线 方向平移得到正方形 ，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【解析】 【分析】由平移的性质得到，求出 ，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形 沿对角线 方向平移得到正方形 ，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在 中，， ，点M，N分别在边 和 上，且，作交 于D，交 于E（D在E左侧），若 上存在一点P，使得， 则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意可得，设，则可列方程得到 之间的关系，即可解答，熟练利用角度的转换得到对应角的正切值相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 即， 同理可得， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 可得， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行化简； （2）先分别计算零指数幂、负指数幂及三角函数，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 求代数式的值，其中， 【答案】 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，合并同类项，再利用单项式的除法法则化简得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 18. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将 绕点C逆时针旋转 ，得到 请画出 ． （2）以点O为位似中心，将 在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出 上的点D，使． 【答案】（1） 解：如图所示， 即为所求： （2） 解：如图所示，即为所求： （3） 解：如图所示，点D即为所求： 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接 ，，，记 与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转 后的对应点、，然后依次连接、、C，得到 ； （2）分别连接、 、 并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1） 解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得： 或或， 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）①且m为整数；②当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元 【解析】 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①设篮球有m个，则足球有个，，根据题意，列出不等式求出m的范围，即可；②设购买的总费用是w元，根据题意，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设篮球有m个，则足球有个，根据题意得： ， 解得：且m为整数． ②设购买的总费用是w元， ， ， ∴w随着m的减小而减小； 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元． 20. 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 【答案】树的高度为米 【解析】 【分析】由正切函数得，再由即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ，， 在中，， ， ． 答：树的高度为米． 21. 如图， 是 的切线，为切点， 是 的直径，是 上的一点，，连接交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当时，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 是 的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在 上， 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接 ，先证出，得出，进而即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用证出得出，再由勾股定理即可得出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又，， ，， ， ， 是 的直径，是 上的一点， ， 又， ． ∴ ∴在 中，． 22. 如图，抛物线与 轴交于，两点（点在点的左边），与 轴交于点，且．点 是线段 上一动点（点 不与点，点重合），过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）当与 相似时，求此时的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点，再代入抛物线可得答案； （2）先求出点，再求出直线 的关系式，然后设点，可得点，进而表示出，接下来作，交 于点E，由，根据勾股定理得，再根据已知条件得 ，，当和 相似，分两种情况：当时，可得，即可求出m的值，最后根据得出答案；当时，可得，同理求出m的值，求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得 或 ， ∴点． 设直线 的关系式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线 的关系式为． 设点， ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴． 过点P作，交 于点E， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴ ∴． 当和 相似，分两种情况： 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 当时， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 23. 已知：如图所示，在平面直角坐标系 中，，， ，若点M是边 上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作交 于点N． （1）求点B的坐标； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求BM的长； （3）在 上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）过点作于点 ，根据勾股定理求出，由三角形的面积公式得到，得到，再根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）根据平行证明，得到，设，则，根据的周长与四边形的周长相等列出等式，求出，即可得到答案； （3）分当时，当时，当时三种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：过点作于点 ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，则， 的周长与四边形的周长相等， ， 即， 解得， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得：当，则，， ①当时， ， ， ； ②当时， 此时四边形是正方形， ， ； ③当时，过点 作于点 ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南周口市郸城县春蕾中学九年级一模数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 星空作幕、前海湾畔灯火璀璨，第十五届全国运动会在粤港澳三地的同心期盼中圆满落幕．据官方统计，截至2025年11月16日，十五运会市场开发收入达亿元，涵盖赞助、捐赠、门票、特许经营等方面．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第 个图案中有 个五角星，第 个图案中有 个五角星，第 个图案中有 个五角星，第 个图案中有个五角星，，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 9. 如图，点C、D是以 为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 是 的直径， ， 是 上两点，连接 ，， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共6个，现从袋子中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球的次数约为总抽取次数的，则袋子中红色球有______个． 13. 如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 14. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形 沿对角线 方向平移得到正方形 ，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 15. 如图，在 中，， ，点M，N分别在边 和 上，且，作交 于D，交 于E（D在E左侧），若 上存在一点P，使得， 则____． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 求代数式的值，其中， 18. 无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将 绕点C逆时针旋转 ，得到 请画出 ． （2）以点O为位似中心，将 在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． （3）请仅用无刻度直尺，描出 上的点D，使． 19. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 20. 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 21. 如图， 是 的切线， 为切点， 是 的直径， 是 上的一点，，连接交于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当时，求 的长． 22. 如图，抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，且．点 是线段 上一动点（点 不与点 ，点 重合），过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）当与 相似时，求此时的面积． 23. 已知：如图所示，在平面直角坐标系 中，，， ，若点M是边 上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作交 于点N． （1）求点B的坐标； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求BM的长； （3）在 上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $